山东省春季高考平面向量部分知识点梳理及历年真题分析

山东省春季高考平面向量部分知识点梳理及历年真题分析1.什么是向量？向量是既有大小又有方向的量，一般用𝒂⃗⃗，𝒃⃗⃗…表示，或者使用𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗表示（其中A表示起点，B表示终点）。方向和大小都相同的向量相等。|𝒂⃗⃗|或者|𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗|叫做向量的模，表示的向量的长度，是一个数值。2.使用图形表示向量的加减法3.平行四边形法则：4.向量的坐标表示法5.向量的坐标运算若𝒂⃗⃗=(x1,y1),𝒃⃗⃗=(x2,y2),则𝒂⃗⃗±𝒃⃗⃗=(x1±x2,y1±y2)例如：𝒂⃗⃗=(2,3),𝒃⃗⃗=(7,4)，则𝒂⃗⃗+𝒃⃗⃗=（9,7）𝒂⃗⃗−𝒃⃗⃗=（-5，-1）若点A(x1,y1)，点B(x2,y2)，则𝐀𝐁⃗⃗⃗⃗⃗=𝐎𝐁⃗⃗⃗⃗⃗⃗—𝐎𝐀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(x2-x1,y2-y1)例如：A（3,2），B（7,1），则𝐀𝐁⃗⃗⃗⃗⃗=（4，-1）若𝒂⃗⃗=(x1,y1)，则𝛌𝒂⃗⃗=(𝛌x1,𝛌y1)例如𝒂⃗⃗=(3,5)，则𝟏𝟐𝒂⃗⃗=（𝟑𝟐，𝟓𝟐）6.向量中数量积的运算及意义1.向量积（内积）的几何意义：𝒂⃗⃗∙𝒃⃗⃗=|𝒂⃗⃗|∙|𝒃⃗⃗|∙𝐜𝐨𝐬𝒂⃗⃗,𝐛（其中∙𝐜𝐨𝐬𝒂⃗⃗,𝐛表示𝒂⃗⃗,𝐛夹角的余弦值）所以𝐜𝐨𝐬𝒂⃗⃗,𝐛=𝒂⃗⃗∙𝒃⃗⃗|𝒂⃗⃗|∙|𝒃⃗⃗|，应用这个公式可以求两个向量的夹角。2.向量积（内积）的物理意义（了解即可）：力的做功公式W=FScos𝛉3.向量积（内积）的坐标公式：若𝒂⃗⃗=(x1,y1),𝒃⃗⃗=(x2,y2),则𝒂⃗⃗∙𝒃⃗⃗=x1∙y1+x2∙y27.向量平行和垂直关系的总结平行关系：如果两个向量平行，那么这两个向量应存在𝒂⃗⃗=𝛌𝒃⃗⃗，例如𝒂⃗⃗=(4,2),𝐛=（2,1）是平行向量垂直关系：如果两个向量垂直，那么这两个向量的余弦值应该是0，所以𝒂⃗⃗∙𝒃⃗⃗=02014年春考真题第4题4.直线2x-3y+4=0的一个方向向量为A.(2,-3)B.(2,3)C.(1,23)D.(-1,23)2/3解析：与直线2x-3y+4=0平行且经过原点的直线是直线2x-3y=0，验证得C(1,23)在这条直线上，所以答案为C2014年春考真题第11题11.向量𝑎=（2m，n），𝑏⃗=(32，1)，且𝑎=2𝑏⃗，则m和n的值分别为A.m=log23，n=1B.m=log23，n=2C.m=log32，n=1D.m=log32，n=2解析：因为𝑎=2𝑏⃗，所以（2m，n）=2(32，1)=（3,2）所以2m=3，n=2，解得m=log23，答案为B2014年春考真题第14题14.向量𝑎=（3,0），𝑏⃗=（-3,4），则𝑎,𝑎+b⃗的值为A.𝜋6B.𝜋4C.𝜋3D.𝜋2解析：𝑎+b⃗=(0,4),𝑎=(3,0),所以𝑎∙（𝑎+b⃗）=0×3+4×0=0，即𝑎与𝑎+b⃗向量垂直。所以夹角为𝜋2，答案选D2013年春考真题第6题已知点M（1,2），N（3,4），则12MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗的坐标是（）A.（1,1）B.（1,2）C.（2,2）D.（2,3）解析：MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(3-1,4-2)=(2,2),12MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,1),答案选A2012年春考真题第7题7.如图所示，已知P,Q是线段AB的两个三等分点，O是线段AB外一点，设OA⃗⃗⃗⃗⃗=a，OB⃗⃗⃗⃗⃗=b，则OP⃗⃗⃗⃗⃗等于A.13𝑎+13bB.13𝑎+23bC.23𝑎+13bD.23𝑎+23b解析：先将OP⃗⃗⃗⃗⃗表示出来，OP⃗⃗⃗⃗⃗=OB⃗⃗⃗⃗⃗+BP⃗⃗⃗⃗⃗，BP⃗⃗⃗⃗⃗=23BA⃗⃗⃗⃗⃗=23（OA⃗⃗⃗⃗⃗−OB⃗⃗⃗⃗⃗）=23（a-b），所以OP⃗⃗⃗⃗⃗=OB⃗⃗⃗⃗⃗+BP⃗⃗⃗⃗⃗=b+23（a-b）=23a+13b，答案选C2012年春考真题第18题已知平行四边形OABC，OA⃗⃗⃗⃗⃗=(4,2),OC⃗⃗⃗⃗⃗=(2,6),则OB⃗⃗⃗⃗⃗与AC⃗⃗⃗⃗⃗夹角的余弦值是A.√22B.−√22C.√55D.−√55解析：如图OB⃗⃗⃗⃗⃗=OA⃗⃗⃗⃗⃗+AB⃗⃗⃗⃗⃗=OA⃗⃗⃗⃗⃗+OC⃗⃗⃗⃗⃗=（4+2,2+6）=（6,8）AC⃗⃗⃗⃗⃗=OC⃗⃗⃗⃗⃗−OA⃗⃗⃗⃗⃗=（-2,4）OB⃗⃗⃗⃗⃗∙AC⃗⃗⃗⃗⃗=（-2×6+4×8）=20，|OB⃗⃗⃗⃗⃗|=√62+82=10,|AC⃗⃗⃗⃗⃗|=√(−2)2+42=√20=2√5,cosOB⃗⃗⃗⃗⃗,AC⃗⃗⃗⃗⃗=OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗∙AC⃗⃗⃗⃗⃗|OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗|∙|AC⃗⃗⃗⃗⃗|=2010×2√5=√55,答案选C