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2015年山东省济宁市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题．每小题5分．共50分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2015•济宁一模）若集合A={x|1gx＜1}，B={y|y=sinx，x∈R}，则A∩B=（）A．（0，1）B．（0，1]C．[﹣1，1]D．∅【考点】：交集及其运算．【专题】：集合．【分析】：求出A中不等式的解集确定出A，求出B中y的范围确定出B，找出A与B的交集即可．【解析】：解：由A中不等式变形得：lgx＜1=lg10，即0＜x＜10，∴A=（0，10），由y=sinx∈[﹣1，1]，得到B=[﹣1，1]，则A∩B=（0，1]，故选：B．【点评】：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）（2015•济宁一模）已知i为虚数单位，复数z满足iz=1+i，则=（）A．1+iB．1﹣iC．﹣1+iD．﹣1﹣i【考点】：复数代数形式的乘除运算．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：利用复数的运算法则与共轭复数的定义即可得出．【解析】：解：∵iz=1+i，∴﹣i•iz=﹣i（1+i），化为z=1﹣i，∴=1+i．故选：A．【点评】：本题考查了复数的运算法则与共轭复数的定义，属于基础题．3．（5分）（2007•广东）已知简谐运动的图象经过点（0，1），则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为（）A．T=6，φ=B．T=6，φ=C．T=6π，φ=D．T=6π，φ=【考点】：y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义；三角函数的周期性及其求法．【专题】：计算题；压轴题．【分析】：根据图象上点的坐标满足解析式，由已知的范围求出函数的初相，再根据正弦函数的周期和周期公式求出此函数的最小正周期．【解析】：解：由题意知图象经过点（0，1），即2sinφ=1，又因可得，，由函数的周期得T==6，故选A．【点评】：本题考查了复合三角函数的周期以及初相的求法，主要根据定义和已知的范围进行求解，考查了对定义的运用能力．4．（5分）（2014•辽宁）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α【考点】：空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：A．运用线面平行的性质，结合线线的位置关系，即可判断；B．运用线面垂直的性质，即可判断；C．运用线面垂直的性质，结合线线垂直和线面平行的位置即可判断；D．运用线面平行的性质和线面垂直的判定，即可判断．【解析】：解：A．若m∥α，n∥α，则m，n相交或平行或异面，故A错；B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，故B正确；C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故C错；D．若m∥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α或n⊥α，故D错．故选B．【点评】：本题考查空间直线与平面的位置关系，考查直线与平面的平行、垂直的判断与性质，记熟这些定理是迅速解题的关键，注意观察空间的直线与平面的模型．5．（5分）（2015•济宁一模）已知如图1所示是某学生的14次数学考试成绩的茎叶图，第1次到第14次的考试成绩依次记为A1，A2，…A14，图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个程序框图，则输出的n的值是（）A．8B．9C．10D．11【考点】：程序框图；茎叶图．【专题】：算法和程序框图．【分析】：算法的功能是计算学生在14次数学考试成绩中，成绩大于等于90的次数，根据茎叶图可得成绩大于等于90的次数，即n值．【解析】：解：由程序框图知：算法的功能是计算学生在14次数学考试成绩中，成绩大于等于90的次数，由茎叶图得，在14次测试中，成绩大于等于90的有：93、99、98、98、94、91、95、103、101、114共10次，∴输出n的值为10．故选：C．【点评】：本题借助茎叶图考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是关键．6．（5分）（2015•济宁一模）下列说法不正确的是（）A．“若a+b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”的逆命题为真B．存在正实数a，b，使得lg（a+b）=1ga+1gbC．命题p：∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0，则￢p：∀x∈R，使得x2+x﹣1≥0D．a+b+c=0是方程ax2+bx+c=0（a≠0）有一个根为1的充分必要条件【考点】：命题的真假判断与应用．【专题】：简易逻辑．【分析】：A，写出命题“若a+b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”的逆命题，可判断A；B，举例说明，存在正实数a=b=2，使得lg（a+b）=1ga+1gb，可判断B；C，写出命题p：∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0的否定，可判断C；D，利用充分必要条件的概念，从“充分性”与“必要性”两个方面，可判断D．【解析】：解：对于A，“若a+b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”的逆命题为“若a，b中至少有一个不小于1，则a+b≥2”为假命题，例如a=2≥1，b=﹣1，则a+b=1＜2，故A错误；对于B，存在正实数a=b=2，使得lg（2+2）=1g2+1g2，故B正确；对于C，命题p：∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0，则￢p：∀x∈R，使得x2+x﹣1≥0，故C正确；对于D，a+b+c=0⇒方程ax2+bx+c=0（a≠0）有一个根为1，即充分性成立；反之，若方程ax2+bx+c=0（a≠0）有一个根为1，则a+b+c=0，即必要性成立；所以，a+b+c=0是方程ax2+bx+c=0（a≠0）有一个根为1的充分必要条件，即D正确．综上所述，错误的选项为A，故选：A．【点评】：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查四种命题之间的关系及真假判断，考查全称命题与特称命题及充分必要条件，属于中档题．7．（5分）（2015•济宁一模）若函数f（x）=kax﹣a﹣x（a＞0且a≠1）在（﹣∞，+∞）上既是奇函数又是增函数，则函数g（x）=loga（x+k）的图象是（）A．B．C．D．【考点】：函数的图象．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：由函数f（x）=kax﹣a﹣x，（a＞0，a≠1）在（﹣∞，+∞）上既是奇函数，又是增函数，则由复合函数的性质，我们可得k=1，a＞1，由此不难判断函数的图象．【解析】：解：∵函数f（x）=kax﹣a﹣x，（a＞0，a≠1）在（﹣∞，+∞）上是奇函数则f（﹣x）+f（x）=0即（k﹣1）（ax﹣a﹣x）=0则k=1又∵函数f（x）=kax﹣a﹣x，（a＞0，a≠1）在（﹣∞，+∞）上是增函数则a＞1则g（x）=loga（x+k）=loga（x+1）函数图象必过原点，且为增函数故选C【点评】：若函数在其定义域为为奇函数，则f（﹣x）+f（x）=0，若函数在其定义域为为偶函数，则f（﹣x）﹣f（x）=0，这是函数奇偶性定义的变形使用，另外函数单调性的性质，在公共单调区间上：增函数﹣减函数=增函数也是解决本题的关键．8．（5分）（2015•济宁一模）设变量x，y满足约束条件，则z=2x﹣2y的取值范围为（）A．[4，32]B．[，8]C．[8，16]D．[，4]【考点】：简单线性规划．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：由约束条件作出可行域，令t=x﹣2y，由线性规划知识求得t的范围，再由指数函数的值域得答案．【解析】：解：由约束条件作出可行域如图，令t=x﹣2y，化为直线方程的斜截式得：，联立，解得A（﹣2，﹣2），联立，解得C（﹣1，2）．由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最小，t最大，最大值为2；当直线过C时，直线在y轴上的截距最大，t最小，最小值为﹣5．则t∈[﹣5，2]，由z=2x﹣2y=2tt∈[﹣5，2]，得z∈．故选：D．【点评】：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了指数函数的值域，是中档题．9．（5分）（2015•济宁一模）设偶函数f（x）对任意x∈R，都有f（x+3）=﹣，且当x∈[﹣3，﹣2]时，f（x）=4x，则f（107.5）=（）A．10B．C．﹣10D．﹣【考点】：函数的周期性．【专题】：计算题．【分析】：先通过有f（x+3）=﹣，且可推断函数f（x）是以6为周期的函数．进而可求得f（107.5）=f（5.5），再利用f（x+3）=﹣以及偶函数f（x）和x∈[﹣3，﹣2]时，f（x）=4x即可求得f（107.5）的值．【解析】：解：因为f（x+3）=﹣，故有f（x+6）=﹣=﹣=f（x）．函数f（x）是以6为周期的函数．f（107.5）=f（6×17+5.5）=f（5.5）=﹣=﹣=﹣=．故选B【点评】：本题主要考查了函数的周期性．要特别利用好题中有f（x+3）=﹣的关系式．在解题过程中，条件f（x+a）=﹣通常是告诉我们函数的周期为2a．10．（5分）（2015•济宁一模）已知抛物线y=x2与双曲线﹣x2=1（a＞0）有共同的焦点F，O为坐标原点，P在x轴上方且在双曲线上，则•的最小值为（）A．2﹣3B．3﹣2C．D．【考点】：平面向量数量积的运算．【专题】：计算题；平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：求出抛物线的焦点，即有双曲线的c=2，进而得到双曲线的方程，设P（m，n），（n），则n2﹣3m2=3，再由向量的数量积的坐标表示，化简整理成关于n的方程，再由二次函数的最值求法，即可得到最小值．【解析】：解：抛物线y=x2与的焦点F为（0，2），则双曲线﹣x2=1的c=2，则a2=3，即双曲线方程为=1，设P（m，n），（n），则n2﹣3m2=3，则•=（m，n）•（m，n﹣2）=m2+n2﹣2n=﹣1+n2﹣2n=﹣2n﹣1=（n﹣）2﹣，由于区间[，+∞）在n=的右边，则为增区间，则当n=时，取得最小值，且为=3﹣2．故选B．【点评】：本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，考查平面向量的数量积的坐标表示，考查二次函数在区间上的最值，考查运算能力，属于中档题和易错题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．（5分）（2015•济宁一模）已知sin2α=，则cos2（α+）=．【考点】：二倍角的余弦；二倍角的正弦．【专题】：计算题；三角函数的求值．【分析】：用二倍角的余弦公式化简后代入已知即可．【解析】：解：∵sin2α=，∴cos2（α+）====．故答案为：．【点评】：本题主要考查了二倍角的余弦公式的应用，属于基本知识的考查．12．（5分）（2015•济宁一模）如果在一次试验中，测得（x，y）的四组数值分别是x16171819y50344131根据上表可得回归方程=﹣5x+，据此模型预报当x为20时，y的值为26.5．【考点】：线性回归方程．【专题】：概率与统计．【分析】：本题考查的知识点是线性回归直线的性质，由线性回归直线方程中系数的求法，我们可知（，）在回归直线上，满足回归直线的方程，我们根据已知表中数据计算出（，），再将点的坐标代入回归直线方程，求出对应的a值，即可得出结论．【解析】：解：==17.5，==39∴回归方程过点（17.5，39）代入=﹣5x+得39=﹣5×17.5+，∴=126.5∴x=20时，y=﹣5×20+126.5=26.5，故答案为：26.5．【点评】：本题就是考查回归方程过定点（，），考查线性回归方程，考查待定系数法求字母系数，是一个基础题．13．（5分）（2015•济宁一模）某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为4π．【考点】：简单空间图形的三视图；球的体积和表面积．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：几何体为圆锥，根据三视图判断圆锥的高与底面半径，设外接球的半径为R，结合图形求得R，代入球的表面积公式计算．【解析】：解：由三视图知：几何体为圆锥，圆锥的高为1，底面半径为1，设外接球的半径为R，则由题设图得：则（R﹣1）2+1=R2，解得：R=1．∴外接球的表面积S=4π×12=4π．故答案为：4π【点评】：本题考查了由三视图求几何体的外接球的表面积，结合图形的求得外接球的半径是解答本题的关键