山东省淄博一中2014届高三上学期期中模块考试数学(理)试题Word版含答案

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、“对任意的实数x，不等式x2＋2x＋a0均成立”的充要条件是（）Ａ．a1B．a≥1C.a1D.a≤12、不等式0121xx的解集为()A.,121.B.1,21C.1,21D.,121,3、如果等差数列{}na中，35712aaa，那么a1＋a2＋……＋a9的值为（）A.18B.27C.54D.364、设非零向量a、b、c满足||||||cba，cba，则向量a、b间的夹角为（）A.150°B.120°C.60°D.30°5、下列结论一定恒成立的是（）A.1sin2(,)sinxxkkZxB.若a，b为正实数，则2aba+b≥abC．若a1，a2∈(0,1),则a1a2a1＋a2―1D.aaaa2136、设曲线11xyx在点（3，2）处的切线与直线10axy垂直，则a=()A．2B．12C．―12D．―27、若函数y=2x图象上存在点(,)xy满足约束条件30230xyxyxm,则实数m的最大值为（）A．12B．1C．32D．28、如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱1AA面111CBA，正视图是边长为2的正方形，俯视图为一个等边三角形，该三棱柱的侧视图面积为()A.23B.3C.22D.49、设Sn是等差数列{an}的前n项和，若3184SS，则168SS等于()（A）91（B）31（C）103（D）8110、在各项均为正数的等比数列{an}中，若a5a6=9，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10=()(A)12(B)2＋log35(C)8(D)1011、已知向量a=(cos，sin)，b=(3，1)，则|2a―b|的最大值和最小值分别为（）A.4，0B.16，0C.2，0D.16，412、已知a2＋b2=1，b2＋c2=2，c2＋a2=2，则ab＋bc＋ca的最小值为（）Ａ．3―12B．12―3C.―12―3D.12＋3第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：1．用蓝、黑色钢笔或圆珠笔直接答在试卷上。2．答卷前先将密封线内的项目填写清楚。密封线内不准答题。二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案须填在答题纸上．．．．．．．．．.13、已知直线)0,0(022babyax经过圆42122yx的圆心，则11ab的最小值为.14、不等式0212xx的解集为.错误!未指定书签。5、观察下列等式:2112212322212632222124310照此规律,第n个等式可为__16、给出下列命题：①半径为2，圆心角的弧度数为12的扇形面积为12；②若、为锐角，11tan(),tan,23则π24；③函数πcos(2)3yx的一条对称轴是2π3x；④3π2是函数sin(2)yx为偶函数的一个充分不必要条件.其中真命题的序号是.三、解答题：解答应写在答题纸相应位置，并写出相应文字说明、证明过程或演算步骤.本大题共6个小题，共74分。17、（本小题满分12分）在△ABC中,a=3,b=26,∠B=2∠A.(I)求cosA的值；(II)求c的值.18、（本小题满分12分）已知数列{an}中，a1=1，an+1=an＋2n＋1,且n∈N*。（1）求数列{an}的通项公式；（2）令bn=2n+1anan+1,数列{bn}的前n项和为Tn.如果对于任意的n∈N*,都有Tnm，求实数m的取值范围。19、(本小题满分12分)如图,为处理含有某种杂质的污水,要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱.污水从A孔流入,经沉淀后从B孔流出.设箱体的长度为a米,高度为b米.已知流出的水中该杂质的质量分数与a,b的乘积ab成反比.现有制箱材料60平方米.问当a,b各为多少米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A,B孔的面积忽略不计).20、（本小题满分12分）已知集合A={x||x―a|4}，B={x|x2―3(a＋1)x＋2(3a＋1)0}(其中a∈R).(1)若a=1，求A∩B；（2）求使AB的a的取值范围.21、（本小题满分13分）某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为80π3立方米，且L≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c3)千元．设该容器的建造费用为y千元．ABb2a(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；(2)求该容器的建造费用最小时的r.22、（本小题满分13分）已知数列{an}的首项a1=5，前n项和为Sn，且Sn+1=2Sn＋n＋5,且n∈N*。（I）证明数列{an＋1}是等比数列；（II）令f(x)=a1x＋a2x2＋……＋anxn,求函数f(x)在点x=1处的导数f(1),并比较2f(1)与23n2―13n的大小.三、解答题：17、解:(I)因为a=3,b=26,∠B=2∠A.所以在△ABC中,由正弦定理得326sinsin2AA.所以2sincos26sin3AAA.故6cos3A.………………………5分18、解：（1）∵an+1=an＋2n＋1,∴an―an-1=2n―1,而a1=1，∴an=a1＋(a2―a1)＋(a3―a2)＋……＋(an―an-1)=1＋3＋5＋……＋(2n―1)=n(1+2n-1)2=n2……………5分（2）由（1）知：bn=2n+1anan+1=2n+1n2(n+1)2=1n2―1(n+1)2∴Tn=(112―122)＋(122―132)＋......＋(1n2―1(n+1)2)=1―1(n+1)2∴数列{bn}是递增数列，∴最小值为1―1(1+1)2=34只需要34m∴m的取值范围是(34,＋∞)……………12分19、解法一：设y为流出的水中杂质的质量分数，则y=kab，其中k为比例系数，且k0，依题意，即所求的a,b值使y最小。据题意有：4b＋2ab＋2a=60(a0,b0)∴b=30-a2+a(0a30)ABb2a∴ab=a×30-a2+a=30a-a22+a=―a＋32―642+a=34―(a＋2＋64a+2)≤34―2(a+2)·64a+2=18当a＋2=64a+2时取等号，y达到最小值。…………………8分此时解得a=6,b=3答：当a为6米,b为3米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。………12分解法二：设y为流出的水中杂质的质量分数，则y=kab，其中k为比例系数，且k0，依题意，即所求的a,b值使y最小。据题意有：4b＋2ab＋2a=60(a0,b0)即2b＋ab＋a=30∵a＋2b≥22ab∴30―ab=a＋2b≥22ab∴ab＋2ab―30≤0…………………7分∵(a0,b0)∴0ab≤18当a=2b时取等号，ab达到最大值18。…………………10分此时解得a=6,b=3答：当a为6米,b为3米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。………………………12分21、[审题视点]根据体积求出r，l的关系，由l≥2r确定r的取值范围；由圆柱的侧面积和球的表面积建立造价y关于r的函数关系，然后利用导数求其最小值．21、解(1)设容器的容积为V，由题意知V＝πr2l＋43πr3，又V＝80π3，∴πr2l＋43πr3＝80π3故l＝V－43πr3πr2＝803r2－43r＝4320r2－r.由于l≥2r，∴4320r2－r≥2r.∴0r≤2.所以建造费用y＝2πrl×3＋4πr2c＝2πr×4320r2－r×3＋4πr2c＝4π(c－2)r2＋160πr，0r≤2.………………………6分(2)由(1)得y＝8π(c－2)r－160πr2＝8πc－2r2r3－20c－2，0r≤2.由于c3，所以c－20.当r3－20c－2＝0时，r＝320c－2，∴当y0时，r320c－2；当y0时，0r320c－2∴函数y在(0,320c－2]上为减函数，在[320c－2,＋∞)上为增函数①当2≤320c－2，即3c≤92时，函数y在(0,2]上为减函数，所以r＝2是函数y的最小值点．②当2≥320c－2，即c≥92时，∴函数y在(0,320c－2]上为减函数，在[320c－2,2]上为增函数∴所以r＝320c－2是函数y的极小值点，也是最小值点．………………………12分综上所述，当3c≤92时，建造费用最小时r＝2；当c92时，建造费用最小时r＝320c－2.………………………13分320c－2xyo利用导数解决实际生活中的最优化问题时，首先应根据已知条件建立函数模型，然后利用导数分析函数模型，求解相关最值，但要注意变量的实际意义和取值范围．（II）由（I）知321nna因为212()nnfxaxaxax所以112()2nnfxaaxnax从而12(1)2nfaana=23212321(321)nn