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文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站月月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x||x+1|＜1}，B={x|（）x﹣2≥0}，则A∩∁RB=（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣2，﹣1]C．（﹣1，0）D．[﹣1，0）2．（5分）下列函数中，既是奇函数又在区间（0，+∞）上单调递增的函数为（）A．y=sinxB．y=1g2xC．y=lnxD．y=﹣x33．（5分）下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件C．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题D．若命题p：“∃x0∈R使x02+x0+1＜0”，则￢p为假命题4．（5分）如果a＞b＞0，那么下列不等式一定不成立的是（）A．log3a＞log3bB．（）a＜（）bC．a2+b2＜2a+2b﹣2D．a﹣＞b﹣5．（5分）某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）（锥体体积公式：V=Sh，其中S为底面面积，h为高）A．3B．2C．D．16．（5分）过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，点O是坐标原点，若|AF|=5，则△AOB的面积为（）A．5B．C．D．7．（5分）将函数y=cos（x﹣）的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位，所得图象的一条对称轴方程为（）文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站．x=B．x=C．x=D．x=π8．（5分）已知f（x）=x2+sin，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（x）的图象是（）A．B．C．D．9．（5分）过点P（4，2）作圆x2+y2=4的两条切线，切点分别为A，B，O为原点，则△OAB的外接圆方程是（）A．（x﹣2）2+（y﹣1）2=5B．（x﹣4）2+（y﹣2）2=20C．（x+2）2+（y+1）2=5D．（x+4）2+（y+2）2=2010．（5分）已知M（x，y）落在双曲线﹣=1的两条渐近线与抛物线y2=﹣2px（p＞0）的准线所围成的封闭区域（包括边界）内，且点M的坐标（x，y）满足x+2y+a=0．若a的最大值为2﹣2，则p为（）A．2B．4C．8D．16二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．（5分）已知F为双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为．12．（5分）设f（x）=，若f（f（1））=1，则a=．13．（5分）已知向量与的夹角为120°，且||=||=1，=+，则与的夹角大小为．14．（5分）一人在海面某处测得某山顶C的仰角为α（0°＜α＜45°），在海面上向山顶的方向行进m米后，测得山顶C的仰角为90°﹣α，则该山的高度为米．（结果化简）15．（5分）设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数h使得对于任意x∈M（M⊆D），有x+h∈M，且f（x+h）≥f（x），则称f（x）为M上的h高调函数．现给出下列命题：①函数f（x）=（）x为R上的1高调函数；②函数f（x）=sin2x为R上的π高调函数；文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站③若函数f（x）=x2为[﹣1，+∞）上的m高调函数，那么实数m的取值范围是[2，+∞）．④函数f（x）=1g（|x﹣2|+1）上的2高调函数．其中正确命题的序号是（写出所有正确命题的序号）．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（12分）已知向量=（sinx，sinx），=（sinx，﹣cosx），设函数f（x）=•，（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若f（A）=0，b+c=7，△ABC的面积为2，求边a的长．17．（12分）如图，简单组合体ABCDPE，其底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=2EC=2．（1）在线段PB上找一点M，使得ME⊥平面PBD；（2）求平面PBE与平面PAB的夹角．18．（12分）已知等差数列{an}满足：an+1＞an（n∈N*），a1=1，该数列的前三项分别加上1，1，3后顺次成为等比数列{bn}的前三项．（Ⅰ）分别求数列{an}，{bn}的通项公式an，bn；（Ⅱ）设，若恒成立，求c的最小值．19．（12分）某市环保部门对市中心每天环境污染情况进行调查研究，发现一天中环境污染指数f（x）与时刻x（时）的关系为f（x）=a|﹣a|+a+，x∈[0，24]，其中a是与气象有关的参数，且a∈（0，]，用每天f（x）的最大值作为当天的污染指数，记作M（a）．（Ⅰ）令t=，x∈[0，24]，求t的取值范围；（Ⅱ）按规定，每天的污染指数不得超过2，问目前市中心的污染指数是否超标？文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站．（13分）已知函数f（x）=+﹣lnx﹣，其中a∈R，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=x．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间与极值．21．（14分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设斜率为k的直线l与C相交于A，B两点，记△AOB面积的最大值为Sk，证明：S1=S2．山东省潍坊一中2015届高三上学期12月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x||x+1|＜1}，B={x|（）x﹣2≥0}，则A∩∁RB=（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣2，﹣1]C．（﹣1，0）D．[﹣1，0）考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：求出A与B中不等式的解集确定出A与B，根据全集R求出B的补集，找出A与B补集的交集即可．解答：解：由A中的不等式解得：﹣1＜x+1＜1，即﹣2＜x＜0，∴A=（﹣2，0），由B中的不等式变形得：（）x≥2=（）﹣1，解得：x≤﹣1，即B=（﹣∞，﹣1]，∵全集为R，∴∁RB=（﹣1，+∞），则A∩（∁RB）=（﹣1，0）．故选：C．点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．（5分）下列函数中，既是奇函数又在区间（0，+∞）上单调递增的函数为（）A．y=sinxB．y=1g2xC．y=lnxD．y=﹣x3考点：函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站分析：根据正弦函数的单调性，对数的运算，一次函数的单调性，对数函数的图象及单调性的定义即可判断每个选项的正误，从而找出正确选项．解答：解：根据y=sinx图象知该函数在（0，+∞）不具有单调性；y=lg2x=xlg2，所以该函数是奇函数，且在（0，+∞）上单调递增，所以选项B正确；根据y=lnx的图象，该函数非奇非偶；根据单调性定义知y=﹣x3在（0，+∞）上单调递减．故选B．点评：考查正弦函数的单调性，对数的运算，以及一次函数的单调性，对数函数的图象，奇偶函数图象的对称性，函数单调性的定义．3．（5分）下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件C．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题D．若命题p：“∃x0∈R使x02+x0+1＜0”，则￢p为假命题考点：命题的真假判断与应用；四种命题．专题：简易逻辑．分析：写出原命题的否命题，可判断A；根据充要条件的定义可判断B；根据原命题与逆否命题真假性相同可判断C；根据命题的否定与原命题真假性相反可判断D．解答：解：命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2≠1，则x≠1”，故A错误；当“x=﹣1”时，“x2﹣5x﹣6=0”成立，当“x2﹣5x﹣6=0”时，“x=﹣1或x=6”，即“x=﹣1”不一定成立，故“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的充分不必要条件，故B错误；命题“若x=y，则sinx=siny”为真命题，故命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题，故C正确；若命题p：“∃x0∈R使x02+x0+1＜0”为假命题，故￢p为真命题，故D错误；故选：C点评：本题以命题的真假判断为载体，考查了四种命题，充要条件，复合命题等知识点，难度不大，属于基础题．4．（5分）如果a＞b＞0，那么下列不等式一定不成立的是（）A．log3a＞log3bB．（）a＜（）bC．a2+b2＜2a+2b﹣2D．a﹣＞b﹣考点：不等式的基本性质．专题：不等式的解法及应用．分析：利用指数函数与对数函数、不等式的性质即可得出．解答：解：∵a＞b＞0，∴log3a＞log3b，，（a﹣1）2+（b﹣1）2≥0，，因此a2+b2＜2a+2b﹣2不成立，故选：C．文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站点评：本题考查了指数函数与对数函数、不等式的性质，属于基础题．5．（5分）某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）（锥体体积公式：V=Sh，其中S为底面面积，h为高）A．3B．2C．D．1考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据三棱锥的俯视图与侧视图判定三棱锥的一个侧面与底面垂直，判断三棱锥的高与底面三角形的形状及边长，把数据代入棱锥的体积公式计算．解答：解：由三棱锥的俯视图与侧视图知：三棱锥的一个侧面与底面垂直，高为，底面为等边三角形，边长为2，∴三棱锥的体积V=××2××=1．故选：D．点评：本题考查了由三棱锥的侧视图与俯视图求体积，判断三棱锥的结构特征及相关几何量的数据是解题的关键．6．（5分）过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，点O是坐标原点，若|AF|=5，则△AOB的面积为（）A．5B．C．D．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设A（x1，y1）、B（x2，y2），算出抛物线的焦点坐标，从而可设直线AB的方程为y=k（x﹣1），与抛物线方程联解消去x可得y2﹣y﹣4=0，利用根与系数的关系算出y1y2=﹣4．根据|AF|=5利用抛物线的抛物线的定义算出x1=4，可得y1=±4，进而算出|y1﹣y2|=5，最后利用三角形的面积公式加以计算，即可得到△AOB的面积．解答：解：根据题意，抛物线y2=4x的焦点为F（1，0）．设直线AB的斜率为k，可得直线AB的方程为y=k（x﹣1），文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站，得y2﹣y﹣4=0，设A（x1，y1）、B（x2，y2），由根与系数的关系可得y1y2=﹣4．根据抛物线的定义，得|AF|=x1+=x1+1=5，解得x1=4，代入抛物线方程得：y12=4×4=16，解得y1=±4，∵当y1=4时，由y1y2=﹣4得y2=﹣1；当y1=﹣4时，由y1y2=﹣4得y2=1，∴|y1﹣y2|=5，即AB两点纵坐标差的绝对值等于5．因此△AOB的面积为：S=△AOB=S△AOF+S△BOF=|OF|•|y1|+|OF|•|y2|=|OF|•|y1﹣y2|=×1×5=．故选：B点评：本题给出抛物线经过焦点F的弦AB，在已知AF长的情况下求△AOB的面积．着重考查了抛物线定义与标准方程、直线与圆锥曲线位置关系等知识，属于中档题．7．（5分）将函数y=cos（x﹣）的图象上各点的横坐标伸长到原来