搜索
-1-2015年山东省烟台市高考数学一模试卷（文科）一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）（2015•烟台一模）设i是虚数单位，a∈R，若是一个纯虚数，则实数a的值为（）A．B．﹣1C．D．1【考点】：复数的基本概念．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：通过复数的乘除运算化简复数为a+bi的形式，利用复数是纯虚数，求出a即可．【解析】：解：==．因为复数是纯虚数，所以2a﹣1=0，解得a=．故选：C．【点评】：本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念，是基础题．2．（5分）（2015•烟台一模）已知集合P={x|（x﹣3）（x﹣6）≤0，x∈Z}，Q={5，7}，下列结论成立的是（）A．Q⊆PB．P∪Q=PC．P∩Q=QD．P∩Q={5}【考点】：集合的包含关系判断及应用．【专题】：计算题；集合．【分析】：化简P={x|（x﹣3）（x﹣6）≤0，x∈Z}={3，4，5，6}，从而解得．【解析】：解：P={x|（x﹣3）（x﹣6）≤0，x∈Z}={3，4，5，6}，故P∩Q={5}；故选D．【点评】：本题考查了集合的化简与运算，属于基础题．3．（5分）（2015•烟台一模）已知向量=（1，2），=（1，0），=（4，﹣3）．若λ为实数，（+λ）⊥，则λ=（）A．B．C．1D．2【考点】：数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】：平面向量及应用．-2-【分析】：由题意可得+λ=（1+4λ，2﹣3λ），由垂直可得数量积为0，可得λ的方程，解方程可得．【解析】：解：∵=（1，2），=（1，0），=（4，﹣3）．∴+λ=（1+4λ，2﹣3λ）∵（+λ）⊥，∴4（1+4λ）﹣3（2﹣3λ）=0，解得λ=故选：B【点评】：本题考查数量积与向量的垂直关系，属基础题．4．（5分）（2015•烟台一模）若条件p：|x|≤2，条件q：x≤a，且p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是（）A．a≥2B．a≤2C．a≥﹣2D．a≤﹣2【考点】：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】：简易逻辑．【分析】：先解绝对值不等式求出条件p，然后根据充分不必要条件的概念即可求得a的取值范围．【解析】：解：p：﹣2≤x≤2，q：x≤a；p是q的充分不必要条件；∴a≥2．故选A．【点评】：考查解绝对值不等式，充分不必要条件的概念，并且可借助数轴求解．5．（5分）（2015•烟台一模）某几何体三视图如图所示，其中三角形的三边长与圆的直径均为2，则该几何体体积为（）A．B．C．D．【考点】：由三视图求面积、体积．-3-【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：利用三视图判断组合体的形状，利用三视图的数据求解组合体的体积即可．【解析】：解：由三视图可知组合体是下部是半径为1的球体，上部是底面直径为2，母线长为2的圆锥，该几何体体积为两个几何体的体积的和，即：=．故选：D．【点评】：本题考查三视图求解组合体的体积，判断组合体的形状是解题的关键．6．（5分）（2015•烟台一模）已知点M（x，y）的坐标满足，N点的坐标为（1，﹣3），点O为坐标原点，则的最小值是（）A．12B．5C．﹣6D．﹣21【考点】：简单线性规划．【分析】：由=x﹣3y，设z=x﹣3y，作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义结合线性规划即可得到结论．【解析】：解：设z==x﹣3y，由z=x﹣3y得y=x﹣，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y=x﹣，由图象可知当直线y=x﹣，经过点A时，直线y=x﹣的截距最大，此时z最小，由，解得，即A（3，8），此时代入目标函数z=x﹣3y，得z=3﹣3×8=﹣21．∴目标函数z=x﹣3y的最小值是﹣21．故选：D．-4-【点评】：本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义以及向量的数量积公式是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．7．（5分）（2015•烟台一模）将函数y=2sin（ωx﹣）（ω＞0）的图象分别向左．向右各平移个单位后，所得的两个图象的对称轴重合，则ω的最小值为（）A．B．1C．2D．4【考点】：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】：三角函数的图像与性质．【分析】：由三角函数的图象平移得到平移后的两个函数的解析式，再由两函数的对称轴重合得到ωx+=ωx﹣或ωx+=ωx﹣+kπ，k∈Z．由此求得最小正数ω的值．【解析】：解：把函数y=2sin（ωx﹣）（ω＞0）的图象向左平移个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为：y=2sin=2sin（ωx+），向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为：y=2sin=2sin（ωx﹣）．∵所得的两个图象对称轴重合，∴ωx+=ωx﹣①，或ωx+=ωx﹣+kπ，k∈Z②．解①得ω=0，不合题意；解②得ω=2k，k∈Z．∴ω的最小值为2．故选：C．【点评】：本题主要考查三角函数的平移，三角函数的平移原则为左加右减上加下减，考查了三角函数的对称性，是中档题．-5-8．（5分）（2015•烟台一模）如图是一容量为100的样本的重量的频率分布直方图，则由图可估计样本的平均重量为（）A．13B．12C．11D．10【考点】：频率分布直方图．【专题】：概率与统计．【分析】：根据频率和为1，求出小组15～20的频率，再求样本数据的平均值即可．【解析】：解：根据频率分布直方图，得；小组15～20的频率是（1﹣0.06+0.1）×5=0.2，∴样本数据的平均值是7.5×0.06×5+12.5×0.1×5+17.5×0.2=12．故选：B．【点评】：本题考查了利用频率分布直方图求数据的平均值的应用问题，是基础题目．9．（5分）（2015•烟台一模）已知P（x，y）是直线kx+y+4=0（k＞0）上一动点，PA是圆C：x2+y2﹣2y=0的一条切线，A是切点，若PA长度最小值为2，则k的值为（）A．3B．C．2D．2【考点】：直线与圆的位置关系．【专题】：计算题；直线与圆．【分析】：利用PA是圆C：x2+y2﹣2y=0的一条切线，A是切点，PA长度最小值为2，可得圆心到直线的距离PC最小，最小值为，由点到直线的距离公式可得k的值．【解析】：解：圆C：x2+y2﹣2y=0的圆心（0，1），半径是r=1，∵PA是圆C：x2+y2﹣2y=0的一条切线，A是切点，PA长度最小值为2，∴圆心到直线的距离PC最小，最小值为，∴由点到直线的距离公式可得=，∵k＞0，∴k=2故选：D．【点评】：本题考查直线和圆的方程的应用，点到直线的距离公式等知识，是中档题．-6-10．（5分）（2015•烟台一模）已知f（x）=，不等式f（x+a）＞f（2a﹣x）在上恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）B．（﹣∞，0）C．（0，2）D．（﹣2，0）【考点】：函数单调性的性质．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：根据二次函数的单调性容易判断出函数f（x）在R上单调递减，所以根据题意得到x+a＜2a﹣x，即2x＜a在上恒成立，所以只需满足2（a+1）＜a，解该不等式即得实数a的取值范围．【解析】：解：二次函数x2﹣4x+3的对称轴是x=2；∴该函数在（﹣∞，0]上单调递减；∴x2﹣4x+3≥3；同样可知函数﹣x2﹣2x+3在（0，+∞）上单调递减；∴﹣x2﹣2x+3＜3；∴f（x）在R上单调递减；∴由f（x+a）＞f（2a﹣x）得到x+a＜2a﹣x；即2x＜a；∴2x＜a在上恒成立；∴2（a+1）＜a；∴a＜﹣2；∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）．故选：A．【点评】：考查二次函数的对称轴，二次函数的单调性，以及分段函数单调性的判断方法，函数单调性定义的运用，以及一次函数的单调性．二.填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）11．（5分）（2015•烟台一模）函数的定义域为{x|x＞2且x≠3}．【考点】：函数的定义域及其求法；对数函数的定义域．【专题】：计算题．【分析】：根据对数函数及分式有意义的条件可得，解不等式可得【解析】：解：根据对数函数及分式有意义的条件可得解可得，x＞2且x≠3故答案为：{x|x＞2且x≠3}【点评】：本题属于以函数的定义为平台，求集合的交集的基础题，也是高考常考的基础型．12．（5分）（2015•烟台一模）某程序框图如图所示，现依次输入如下四个函数：-7-①f（x）=cosx；②f（x）=③f（x）=lgx；④f（x）=，则可以输出的函数的序号是④．【考点】：程序框图．【专题】：算法和程序框图．【分析】：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件（a）f（x）+f（﹣x）=0，即函数f（x）为奇函数；（b）f（x）存在零点，即函数图象与x轴有交点．逐一分析四个答案中给出的函数的性质，不难得到正确答案．【解析】：解：由程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件：（a）f（x）+f（﹣x）=0，即函数f（x）为奇函数；（b）f（x）存在零点，即函数图象与x轴有交点．由于f（x）=cosx不是奇函数，故不满足条件（a），由于f（x）=的函数图象与x轴没有交点，故不满足条件（b），由于f（x）=lgx为非奇非偶函数，故不满足条件（a），∵f（x）=，∴f（﹣x）==﹣=﹣f（x）即f（x）=是奇函数，-8-又∵f（0）==0，∴函数f（x）=的图象与x轴有交点，故f（x）=符合输出的条件，故答案为：④．【点评】：本题考查的知识点是程序框图，其中根据程序框图分析出程序的功能是解答的关键．13．（5分）（2015•烟台一模）已知曲线y=asinx+cosx在x=0处的切线方程是x﹣y+1=0，则实数a的值为1．【考点】：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】：计算题；导数的概念及应用．【分析】：由题意求导y′=acosx﹣sinx，从而可得acos0﹣sin0=1；从而解得．【解析】：解：y′=acosx﹣sinx，∵曲线y=asinx+cosx在x=0处的切线方程是x﹣y+1=0，而x﹣y+1=0的斜率为1；故acos0﹣sin0=1；解得，a=1；故答案为：1．【点评】：本题考查了导数的求法及其几何意义的应用，属于基础题．14．（5分）（2015•烟台一模）已知抛物线y2=2px的焦点F与双曲线﹣=1的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的焦点为K，点A在抛物线上，且|AK|=|AF|，则△AFK的面积为32．【考点】：圆锥曲线的综合．【专题】：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：由双曲线﹣=1得右焦点为（4，0）即为抛物线y2=2px的焦点，可得p．进而得到抛物线的方程和其准线方程，可得K坐标．过点A作AM⊥准线，垂足为点M．则|AM|=|AF|．可得|AK|=|AM|．可得|KF|=|AF|．进而得到面积．【解析】：解：由双曲线﹣=1得右焦点为（4，0）即为抛物线y2=2px的焦点，∴=4，解得p=8．∴抛物线的方程为y2=16x．其准线方程为x=﹣4，∴K（﹣4，0）．-9-过点A作AM⊥准线，垂足为点M．则|AM|=|AF|．∴|AK|=|AM|．∴∠MAK=45°．∴|KF|=|AF|．∴△AFK的面积为|KF|2=32．故答案为：32．【点评】：熟练掌握双曲线、抛物线的标准方程及其性质是解题的关键．15．（5分）（2015•烟台一模）给定方程：（）x+sinx﹣1=0，下列命题中：①该方程没有小于0的实数解；②该方程有无数个实数解；③该方程在（﹣∞，0）内有且只有一个实数解；④若x0是该方程的实数解，则x0＞﹣1．则正确命题是②③④．【考点】：命题的真假判断与应用．【专题】：计算题；函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．【分析】：根据正弦函数的符号和指数函数的性质，可得该方程存在小于0的实数解，故①不正确；根据指数函数的图象与正弦函数的有界性，可得方程有无数个正数解，故②正确；根据y=（）x﹣1的单调性与正弦函数的有界性，分析可得当x≤﹣1时方程