金融数学第三章

第三章均值方差证券投资组合选择模型马科维茨Markowitz《证券组合选择》投资选择：风险（低）收益（高）之间的“平衡”基于期望收益率上的投资决策，最多只能获得最高的平均收益率风险收益的“数量化”前沿组合、无差异曲线数学性质第一节风险和收益的数学度量用随机变量表示未来的收益率用期望代表：平均收益率方差代表风险（得到平均收益率的不确定性）从分布函数（条件太强）计算收益和风险从“历史”样本估计收益和风险nttnttnrrnrnrrr12211111)(,...,证券之间关联性——相关系数某一证券价格的变动可能伴随着另一证券价格的变动。关联性普遍存在。需要度量关联性的方向和程度随机变量的协方差和相关系数从联合分布可计算。用历史数据计算（3.10）(3.11)212112221121),cov())((),cov(rrrrrrErr三种相关程度：1、完全线性相关：完全决定另一个ρAB＝1或ρAB＝-1rA＝a＋b×rB,σ2A＝b2×σ2B2、不完全线性相关：“部分”决定另一个rA＝a＋b×rB＋εσ2A＝b2×σ2B＋σ2（ε）3、不相关：一证券的变化对另一证券的变化“没有贡献”ρAB＝0或cov（rA，rB）＝0组合的期望和方差计算方法以两组合为例，多组合类推“两证券组合”的收益率数学表示法证券A和B，以总资金的WA的比例投资于A，以WB于B。WA＋WB＝1，则拥有证券组合P＝（WA，WB）WA，WB为组合P中A的权数和B的权数假设AB的收益率为rA和rB，则P的收益率为rP＝WA×rA＋WB×rB权数可以为负。WA＜0，表示该组合投资者卖空证券A两证券组合的期望收益率与方差计算方法必须知道相关系数或协方差E（rP）＝WA×E（rA）＋WB×E（rB）σ2P＝W2A×σ2A＋W2B×σ2B＋2×WA×WB×ρAB×σA×σB选择不同的组合权数，得到不同的组合，从而得到不同的期望收益率和方差。WA和WB有无限种取法，投资者有无限多种证券组合可供选择。每个投资者根据自己对收益和方差（风险）的偏好，选择符合自己要求的证券组合两种证券的结合线分多种情况：双曲线、直线、折线构建0风险组合、存在无风险证券情况第二节马克维茨模型的运作过程模型的假设条件假设1：收益率的概率分布是已知的；假设2：风险用收益率的方差或标准方差表示；假设3：影响决策的因素为期望收益率和风险；假设4：投资者遵守占优原则，即，同一风险水平下，选择收益率较高的证券；同一收益率水平下，选择风险较低的证券。投资组合几何表示和可行域选定了证券的投资比例，就确定了组合。可以计算该组合的期望收益率EP和标准差σP以EP为纵坐标、σP为横坐标，在EP-σP坐标系中可以确定一个点。每个组合对应EP-σP中的一个点反过来，EP-σP中的某个点有可能反映某个组合选择“全部”有可能选择的投资比例，那么，全部组合在EP-σP中的“点”组成EP-σP中的区域可行域（feasibleset）可行域中的点所对应的组合才是“有可能实现”的组合。可行域之外的点是不可能实现的证券组合。可行域＝机会集可行域必须满足的形状左上边缘部分向外凸或直线—“凸集”可以证明，边界是双曲线。有效边界和有效组合判断组合好坏的公认标准——投资者共同偏好第一：以期望衡量收益率，方差衡量风险，仅关心期望和方差第二：期望收益率越高越好，方差越小越好可行域内部和右下边缘上的任意组合，均可以在左上边界上找到一个比它好的组合。淘汰最佳组合“必须来自”左上边界——有效边界有效组合——有效边界对应的组合对风险补偿的偏好和无差异曲线增加同样的风险，不同的投资者所要求得到的期望收益率补偿的高低可能不一样。补偿数额越高，对风险越厌恶对某个特定投资者，根据对风险的态度，可以得到一系列满意程度相同（无差异）的组合无差异曲线的特征波动方向一定是从左下方向右上方，单调性曲线将变得越来越陡，凸函数无差异曲线的形状（弯曲程度）因人而异，反映投资者的风险偏好态度无差异曲线族中的曲线互不相交，等高线不相交根据无差异曲线可以比较任意两个组合的好坏无差异曲线位置越靠左上，满意程度越高C＞A＝B＞D切点是最佳证券组合点第三节组合有效前沿的数学推导定义：一个证券组合被称为是前沿证券组合，如果它在所有“等均值收益率”的证券组合中，方差最小每个前沿证券组合一定对应一个收益率“前沿证券组合q”＝对应收益率q的前沿组合前沿证券组合的数学表示假定在无摩擦市场上存在N(＞1)种风险资产，允许无限制卖空。假设收益率的方差有限，并且均值不相等，而且，任何一个资产的收益率不能由其它资产收益率的线性组合表出（收益率线性无关）。它们收益率的方差——协方差矩阵V是正定矩阵前沿组合的数学表述和求解前沿组合权重向量Wp是下列二次规划问题的解是前沿证券对应的收益率用拉格朗日乘子法求解VWWTWrERWTpT2111)~(min)~(prE0,11,,1)1(1),1(1)~(21111111ABCDVCRVRBRVAAVRCVDhRAVBVDgrhEgWTTTpp证券组合前沿任何前沿证券组合可以表示成上述形式。任何能写成上述形式的组合是一个前沿证券组合对应不同的收益率，优化问题可以得到不同的解，进而得到不同的前沿证券组合。“取遍”所有可能的收益率，其“轨迹”就是一条曲线。由全体“前沿证券组合”构成的“集合”——证券组合前沿（portfoliofrontier）。是今后定义有效边界（有效前沿）的基础证券组合前沿的性质g和h是两个特殊“解向量”性质3-1：g对应的收益率是0，g+h对应1。性质3-2：任何前沿证券组合可以由g和g＋h通过再组合得到。可以表示成“线性组合”。性质3-2ａ：前沿证券组合可以由任意两个不相同的前沿证券组合进行再组合而得。证券组合有效前沿的几何结构收益率标准差（方差）——均值空间机会集（可行域）是双曲线所围的区域前沿组合的协方差（3.22）方差这是一条双曲线。渐进线中心点为（0，A／C）)~(//)~(/)/)~((/)~(pppprCDCArECDCArECr11222双曲线图形A/CE(r)0MVP机会集C/1双曲线)(r在收益率的方差——均值空间中，机会集是顶点为（C-1/2，A/C）的抛物线图形))~()~(()~(BrAErCEDrppp2122最小方差证券组合mvpmvp＝minimumvarianceportfolio所有可行证券组合中mvp的方差最小mvp是双曲线（抛物线）的顶点mvp的坐标（C－1/2，A/C）mvp的投资权重性质3-3：对所有的证券组合p（不仅限于前沿证券组合）111VCWmvpCrrrmvpmvpp/)~var()~,~cov(1有效证券组合（或有效边界）efficientportfolios双曲线从mvp开始：向右上方的一支，是有效的向右下方的一支，是无效的“有效组合”＝“前沿组合”＋“期望A/C”凸组合定义：非负，和为1。性质3-4：有效证券组合集是凸集第四节零协方差前沿证券组合zc(p)与p是有特殊关系的前沿证券组合，非前沿组合也有0协方差zc(p)的概念前沿证券p的零协方差前沿证券组合zc(p)，之间的协方差为0性质3-5：对于的任意一个有效前沿证券组合p（p≠mvp），存在唯一的零协方差前沿证券组合zc（p）。前沿证券组合zc（p）和p的地位是“对称的”从证明中可以看出，不同时是有效组合zc(p)的几何含义双曲线：切线在纵轴上的截距抛物线：p和mvp的连线的截距)~()(pzcrEzc(p)mvppE(r)A/C0)(rC/1非前沿组合的零协方差组合对非前沿证券组合q，与q协方差为零的全部组合中，组合Q的方差最小。仍记，Q＝zc（q）数学表达为规划问题VWWTWVWWTqT21110min用拉格朗日求解zc(q)Q＝zc(q)是q与mvp的再组合，Wq是负数。期望收益率为mvpqqqqqzcWrCrCWrCW)~()~()~()(222111)~()~()~()~()()(qqqpzcqzcrCrArERWrE221zc(q)的几何含义证券组合q的0协方差前沿组合zc(q)的收益率的期望值是证券组合q和mvp的连线在纵轴上的截矩。图3.11apZc(q)zc(p)垂直传导性定理3.1：任意非前沿证券组合q及前沿证券组合p)~var()~var()~var()~var()()(qzcpzcqprrrrE(r)0)~(pr2)~()(pzcrE)~()(qzcrEq0F1FZc(p)水平传导性定理3.2：任意非前沿证券组合q及前沿组合p0)~,~cov()~()~()(qpzcqprrrErEE(r)0)~(pr2)~()(pzcrE)~()(qzcrEpqZc(q)0F1FqFq零协方差组合生成的前沿曲线FqFq是规划问题随E的变动，得到曲线FqFq上的点是zc（q）和zc（p）的再组合Fq与有效前沿F0在zc（p）点相切取不同的q，得到不同的Fq，F0是Fq的包络线VWWTWERWVWWTTqT21110min第五节用前沿组合对任意组合定价利用零协方差证券组合对资产定价任意证券组合i与前沿组合期望方面的关系任意证券组合i，任选一个前沿组合p（mvp除外），PI是p和i的结合线（仍然是双曲线）可以证明，PI与证券组合前沿（由所有资产生成）相切于p点，“最外层”。两条曲线在p点的斜率相等，得到定价公式。)~()~,~cov())~()~(()~()~()()(ppiippzcpippzcirrrrErErErE2定价公式推导的图形说明E(r)pmvpzc(p)qA/Ci0)()(pzcrEC/1)(r另一种推导方法利用I和p的协方差的表达式，将p的具体投资比例代入可得定理3.3：任意一个证券组合q的收益率期望值都可以表示成任意一个前沿证券组合p（除mvp外）与其对应的前沿证券组合zc（p）的收益率均值的线性组合zc(p)和p的地位是对称的，zc（zc（p）＝pzc(p)和p互换，定价公式另一种形式（3.28）)~()~()()~()(pippzcipirErErE1定价公式的事后形式事前形式（式中有期望E），不含随机变量事后形式（没有期望E），含随机变量或误差将定价公式中的E去掉，得定理3.4：对于两个协方差为零的前沿证券组合p和zc（p），总可以将任意证券组合q表示为这两个前沿证券组合的线性组合，即如果q是前沿组合，则没有误差项。前岩组合可以被线性表示（性质3.2a）,)~(,)~,~cov()~,~cov(~~~)(~)()(001qqpzcqpqpqppzcqpqErrrrr第六节存在无风险证券情况下的证券组合前沿和定价如果投资对象中含有无风险证券，有效前沿组合（有效边界）的“模样”有特殊性有效前沿组合以及其有关几何结构性质有所加强，其结论更细化曲线变成直线无风险证券情况下组合前沿问题的数学提法和求解021111212121111fffTfffppfTTpTWTrErWRWCrArBrRVrRHrRVHrrEWrWRWrEVWWVWWpfTT)()()()~())()~((minmin},{)~()(Wp是风险资产的权重（N维向量）无风险收益率rf无风险证券情况下证券组合前沿是直线型截距，斜率都可以计算“斜率一正一负两条直线)~()~()~()~(pfpfpprHrrEHrrEr无风险证券情况下组合前沿的组合含义和几何结构无风险收益率的大小将会影响证券