天津大学结构力学6.

结构力学Structuralmechanics第6章位移法水利工程仿真与安全国家重点实验室6.1引言位移法产生的背景20世纪初，钢筋混凝土结构逐渐用于工程结构，并出现了刚架结构。以位移为基本未知量的计算方法逐渐发展1914转角位移法1932力矩分配法30-50年代渐进法20世纪50年代电子计算机出现，结构力学进入新阶段结构分析的矩阵法等数值方法获得迅速发展随后，在非线性分析、非弹性分析、结构抗震分析等方面都取得了进展位移法普遍适用于各种不同类型的静定或超静定结构，更适合于编制大型通用分析程序力法适用于存在多余力的超静定结构，不适用于没有多余力的静定结构，位移法对静定和超静定结构同样有效！位移法基本方程可直接用转角位移方程建立，操作简便！6.1引言位移法是“渐进法”和“矩阵位移法”的基础。对于很多问题，用位移法比力法省事。力法，9个基本未知量位移法，1个基本未知量6.1引言6.2.1转角位移方程通式等截面直杆ab，抗弯刚度EI，跨长l，受直接荷载作用，称a端为近端，b端为远端近端弯矩为Mab，剪力为FQab，转角为θa，侧移为Δa远端弯矩为Mba，剪力为FQba，转角为θb，侧移为Δb图6.2所示为杆端力/力矩和位移/转角的正方向注意力和位移的方向规定6.2等截面直杆的转角位移方程将杆的受力变形状况分解为三个部分：两端只有转角θa和θb，而无侧移，无直接荷载，杆端弯矩为M’ab、M’ba，剪力为F’Qab、F’Qba两端只有相对线位移δ=Δb-Δa而无转角，无直接荷载，杆端弯矩为M’’ab、M’’ba，剪力为F’’Qab、F’’Qba6.2等截面直杆的转角位移方程两端没有转角和位移，只有直接荷载作用杆端弯矩为MFab、MFba，剪力为FFQab、FFQba，称为荷载作用下的固端弯矩和固端剪力根据叠加原理和力与位移的正负号规定，有：6.2等截面直杆的转角位移方程对图6.2b所示受杆端弯矩的简支梁，用单位荷载法易得：解得其中，称为杆的线刚度。杆端剪力为：6.2等截面直杆的转角位移方程图6.2c所示两端固定梁发生相对侧移δ=Δb-Δa的情况，等价于图6.3所示悬臂梁，在b端受力偶M’’ab=M’’ba和集中力同时作用。由材力公式得：此式同样可用力法导出。6.2等截面直杆的转角位移方程相应的杆端剪力在上两式中，称为杆件的侧移角（弦转角）。将式（c）、（d）和（f）、（g）代入（a）得：上式称为等截面直杆段转角位移方程，反映杆端力与杆端位移间的关系。其中固端弯矩和剪力与跨间荷载有关，称为载常数。常用荷载下的载常数见书中表。6.2等截面直杆的转角位移方程6.2.2转角位移方程的简化转角位移方程(6.2)适用于两端均为刚结点的一般形式，对于下列两种特殊情况，方程形式可以简化。(1)远端铰接(图6.4a)。简化为：其中修正的固端弯矩和固端剪力按下式确定：6.2等截面直杆的转角位移方程(2)远端滑移（图6.4b）。简化为：修正固端弯矩按下式计算：6.2等截面直杆的转角位移方程用位移法计算连续梁和无侧移刚架的步骤：确定基本未知量。根据变形连续性，每个内部刚结点只有一个未知转角，固定支座处转角为零，铰支座处的转角和滑移支座处的线位移均不作为基本未知量；计算荷载作用下的固端弯矩；利用转角位移方程写出每个内结点相关构件的近端弯矩算式，并根据结点力矩平衡条件建立位移法基本方程从平衡方程解得结点转角，再代回已列出的杆端弯矩算式，求出所有杆端弯矩，进而绘制内力图。6.3连续梁和无侧移刚架的计算例6-1用位移法求图6.5a所示连续梁的杆端弯矩，并绘制弯矩图和剪力图。圆圈内数字表示各杆线刚度的相对值。解：(1)基本未知量：θ1、θ2。(2)按表求固端弯矩：6.3连续梁和无侧移刚架的计算(3)利用转角位移方程（6.2），写出结点1和结点2相关杆件的近端弯矩，并按力矩平衡条件建立基本方程。结点1：由结点1的力矩平衡条件，有结点2：由结点2的力矩平衡条件，有6.3连续梁和无侧移刚架的计算(4)联立求解方程（b）与（d），得注意：由于给定的i是各杆线刚度的相对值，故求得的结点转角θ1和θ2也只是相对值而不是实际值。但由转角位移方程（6.2）可知，这并不影响求出杆端内力的实际值。将已求得的θ1和θ2代回式（a）和（c），得各杆的杆端弯矩：6.3连续梁和无侧移刚架的计算作连续梁的弯矩图和剪力图，见图6.5b、c。6.3连续梁和无侧移刚架的计算例6-2用位移法求图6.6a所示刚架的杆端弯矩，作弯矩图。已知各杆线刚度：梁为1，柱为1.5。解：(1)基本未知量为θ1、θ2。(2)固端弯矩为6.3连续梁和无侧移刚架的计算(3)建立位移法方程结点1：结点1的力矩平衡方程：结点2：结点2的力矩平衡方程：6.3连续梁和无侧移刚架的计算(4)由（f）、（h）解得：将θ1和θ2的已知值回代，得各杆端弯矩：6.3连续梁和无侧移刚架的计算6.3连续梁和无侧移刚架的计算小结有几个未知结点位移就建立几个平衡方程；杆件分析、建立各杆件刚度方程是基础；如果结点上有集中力偶，平衡方程中应该包括外力偶。无侧移刚架—在荷载作用下，结点只有转角而无线位移有侧移刚架—在荷载作用下，结点既有转角又有线位移判断结点的线位移要考虑：是否忽略杆件的轴向变形？为使刚架无线位移要不要附加侧向支撑？需要多少附加侧向支撑？独立线位移数=需附加的侧向支撑数6.4有侧移刚架的计算例（图6.7a）忽略轴向变形，各杆两端无轴向相对线位移，∴为限制侧移，只需设3个水平支撑（图6.7b）无论有侧移或无侧移，用位移法计算有两个基本点：(1)确定基本未知量；(2)利用平衡条件建立基本方程6.4有侧移刚架的计算无侧移刚架，基本未知量只有结点转角，基本方程就是结点力矩平衡方程；有侧移刚架，基本未知量包括结点转角和线位移，必须补充足够的侧力平衡方程图6.7刚架，有6个未知转角和3个独立侧向线位移，在6个结点力矩平衡方程外还要补充3根横梁隔离体的侧力平衡方程：6.4有侧移刚架的计算例6-3图6.9a所示刚架的几何物理参数、竖向荷载与图6.6相同，左端改为竖向链杆支撑，且该端有水平荷载18kN试用位移法求杆端弯矩和杆端剪力。解（1）基本未知量—结点转角θ1、θ2，水平侧移Δ（或侧移角φ=Δ/5）6.4有侧移刚架的计算荷载下的固端弯矩：（2）位移法方程结点1和结点2相关杆件的近端弯矩分别为结点力矩平衡方程：6.4有侧移刚架的计算取横梁为隔离体，图6.9b，由侧力平衡条件有：其中故的侧力平衡方程：6.4有侧移刚架的计算联立求解（a）与（b），得三个位移的相对值：杆端弯矩和杆端剪力为：6.4有侧移刚架的计算例6-4用位移法求图6.10a所示刚架的结点转角和侧移，并作弯矩图。已知立柱01、横梁12和斜柱23的线刚度i分别为1、2、2。解：(1)基本未知量：结点1和结点2的转角θ1、θ2和立柱01的侧移角图中三根杆件的侧移角不是相互独立的，存在下列关系：6.4有侧移刚架的计算（2）位移法方程由转角位移方程（6.9）可直接写出：由结点力矩平衡条件可得：6.4有侧移刚架的计算横梁隔离体的受力见图6.10c。力系对矩心A的力矩平衡条件为化简后联立求解（c）、（d）得：弯矩图见图6.10d。6.4有侧移刚架的计算6.4a位移法基本体系6.4有侧移刚架的计算6.4a位移法基本体系6.4有侧移刚架的计算6.4a位移法基本体系具有n个独立结点位移的超静定结构：6.4有侧移刚架的计算6.4a位移法基本体系位移法典型方程：意义—第1个方程表示：在荷载和位移Z1、Z2、Zn共同作用下，基本结构的第1个附加约束中产生的反力与原结构相同（=0）；其余类推k11是第一个约束发生单位位移时在自身引起的反力，k12、k13是第2、3个约束分别发生单位位移时在第1个约束引起的反力；由反力互等定理kij=kji（刚度矩阵对称），F1P是荷载在第1个约束引起的反力（自由项）6.4有侧移刚架的计算6.4a位移法基本体系例题：试做图示刚架的弯矩图。6.4有侧移刚架的计算如果基本体系与原结构发生相同的结点位移，则附加约束上的约束反力一定等于0。6.4a位移法基本体系（1）Z1=1单独作用时，附加约束的反力k11、k21。★附加刚臂上的约束力以顺时针为正★附加链杆上的约束力以读者规定的方向为正6.4有侧移刚架的计算6.4a位移法基本体系（2）Z2=1单独作用时，附加约束的反力k12、k22。6.4有侧移刚架的计算6.4a位移法基本体系（3）荷载单独作用时，附加约束的反力F1P、F2P。6.4有侧移刚架的计算6.4a位移法基本体系将三种情况下的附加约束反力叠加，得位移法方程为将求得的系数和自由项代入方程，求解得6.4有侧移刚架的计算位移法方程的物理意义：基本结构在荷载和结点位移作用下，附加约束反力等于0。6.4a位移法基本体系将三种情况下的弯矩图叠加6.4有侧移刚架的计算6.4a位移法基本体系例题：试做图示刚架的弯矩图。解（1）选择基本结构（2）建立位移法方程6.4有侧移刚架的计算6.4a位移法基本体系（3）求系数和自由项，解方程6.4有侧移刚架的计算6.4a位移法基本体系将系数和自由项代入方程，解得（4）利用叠加原理，作弯矩图6.4有侧移刚架的计算结点集中力偶不影响MP图，但影响FiP6.4a位移法基本体系例题：试做图示刚架的弯矩图。解（1）选择基本结构（2）建立位移法方程6.4有侧移刚架的计算6.4a位移法基本体系（3）求系数和自由项6.4有侧移刚架的计算6.4a位移法基本体系将系数和自由项代入方程，解得（5）利用叠加法作出弯矩图6.4有侧移刚架的计算结点集中力不影响MP图，但影响FiP位移法五步曲建基本体系列典型方程计算系数和自由项解基本方程求内力6.4有侧移刚架的计算小结—力法和位移法的比较力法位移法基本体系去约束加约束基本方程变形协调方程平衡方程系数和自由项位移力解方程求未知力Xi求未知位移Zi求内力6.4有侧移刚架的计算对称刚架：奇数跨偶数跨荷载对称荷载反对称荷载一般荷载—先分解，再叠加6.5对称性的利用奇数跨对称刚架、对称荷载对称轴上的截面只有弯矩、轴力和竖向线位移没有剪力、水平线位移和角位移∴半刚架相应位置为滑移支座6.5对称性的利用奇数跨对称刚架，反对称荷载对称轴截面只有剪力、水平线位移和角位移没有弯矩、轴力和竖向线位移∴半刚架相应位置为竖向链杆支座6.5对称性的利用偶数跨对称刚架、对称荷载对称轴结点没有竖向和水平线位移，也没有转角∴该结点相当于固定端对称轴上的杆件只有轴力，没有弯矩和剪力6.5对称性的利用偶数跨对称刚架、反对称荷载半刚架如图6.14b，对称轴上立柱的线刚度减为原来的一半。原结构对称轴上立柱的弯矩和剪力为半刚架相应杆件的两倍，轴力为0。6.5对称性的利用例题：试求图示组合结构的内力。已知横梁的EA=2EI。吊杆的E1A1=EI/20。解：（1）取半边结构6.5对称性的利用(2)选择基本结构(4)求系数和自由项(3)建立位移法方程6.5对称性的利用6.5对称性的利用6.5对称性的利用(5)作弯矩图6.5对称性的利用例试用位移法分析图示刚架。（1）基本未知量Δ1、Δ2、Δ3（2）基本体系计算杆件线性刚度i，设EI0=1，则位移法补充例题例试用位移法分析图示刚架。（3）位移法方程(4)计算系数：k11、k12、k13、k21、k23、k31、k32、k33位移法补充例题位移法补充例题位移法补充例题