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-1-2015年山东省枣庄市舜耕中学高考数学模拟试卷（文科）（4月份）一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知a，b∈R，i是虚数单位，若a﹣i与2+bi互为共轭复数，则（a+bi）2=（）A．5﹣4iB．5+4iC．3﹣4iD．3+4i【考点】：复数代数形式的乘除运算．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：由条件利用共轭复数的定义求得a、b的值，即可得到（a+bi）2的值．【解析】：解：∵a﹣i与2+bi互为共轭复数，则a=2、b=1，∴（a+bi）2=（2+i）2=3+4i，故选：D．【点评】：本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．2．（5分）集合A={x|0≤x≤2}，B={x|x2﹣x＞0}，则A∩B=（）A．RB．（﹣∞，0）∪（1，2）C．∅D．（1，2]【考点】：交集及其运算．【专题】：集合．【分析】：根据集合的基本运算进行求解即可．【解析】：解：B={x|x2﹣x＞0}={x|x＞1或x＜0}，则A∩B={x|1＜x≤2}，故选：D．【点评】：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．3．（5分）已知，，且，则=（）A．（2，﹣4）B．（﹣2，4）C．（2，﹣4）或（﹣2，4）D．（4，﹣8）【考点】：平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】：平面向量及应用．【分析】：利用向量模的平方等于向量坐标的平方和向量共线坐标交叉相乘相等列出方程组求出．【解析】：解：设=（x，y），由题意可得，-2-解得或，∴=（2，﹣4）或（﹣2，4）．故选：C．【点评】：本题考查向量模的求法，向量共线的充要条件：向量的坐标交叉相乘相等．4．（5分）若条件p：|x|≤2，条件q：x≤a，且p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是（）A．a≥2B．a≤2C．a≥﹣2D．a≤﹣2【考点】：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】：简易逻辑．【分析】：先解绝对值不等式求出条件p，然后根据充分不必要条件的概念即可求得a的取值范围．【解析】：解：p：﹣2≤x≤2，q：x≤a；p是q的充分不必要条件；∴a≥2．故选A．【点评】：考查解绝对值不等式，充分不必要条件的概念，并且可借助数轴求解．5．（5分）某几何体三视图如图所示，其中三角形的三边长与圆的直径均为2，则该几何体体积为（）A．B．C．D．【考点】：由三视图求面积、体积．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：利用三视图判断组合体的形状，利用三视图的数据求解组合体的体积即可．【解析】：解：由三视图可知组合体是下部是半径为1的球体，上部是底面直径为2，母线长为2的圆锥，该几何体体积为两个几何体的体积的和，即：=．故选：D．【点评】：本题考查三视图求解组合体的体积，判断组合体的形状是解题的关键．-3-6．（5分）已知点M（x，y）的坐标满足，N点的坐标为（1，﹣3），点O为坐标原点，则的最小值是（）A．12B．5C．﹣6D．﹣21【考点】：简单线性规划．【分析】：由=x﹣3y，设z=x﹣3y，作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义结合线性规划即可得到结论．【解析】：解：设z==x﹣3y，由z=x﹣3y得y=x﹣，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y=x﹣，由图象可知当直线y=x﹣，经过点A时，直线y=x﹣的截距最大，此时z最小，由，解得，即A（3，8），此时代入目标函数z=x﹣3y，得z=3﹣3×8=﹣21．∴目标函数z=x﹣3y的最小值是﹣21．故选：D．【点评】：本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义以及向量的数量积公式是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．-4-7．（5分）将函数y=2sin（ωx﹣）（ω＞0）的图象分别向左．向右各平移个单位后，所得的两个图象的对称轴重合，则ω的最小值为（）A．B．1C．2D．4【考点】：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】：三角函数的图像与性质．【分析】：由三角函数的图象平移得到平移后的两个函数的解析式，再由两函数的对称轴重合得到ωx+=ωx﹣或ωx+=ωx﹣+kπ，k∈Z．由此求得最小正数ω的值．【解析】：解：把函数y=2sin（ωx﹣）（ω＞0）的图象向左平移个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为：y=2sin[ω（x+）﹣]=2sin（ωx+），向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为：y=2sin[ω（x﹣）﹣]=2sin（ωx﹣）．∵所得的两个图象对称轴重合，∴ωx+=ωx﹣①，或ωx+=ωx﹣+kπ，k∈Z②．解①得ω=0，不合题意；解②得ω=2k，k∈Z．∴ω的最小值为2．故选：C．【点评】：本题主要考查三角函数的平移，三角函数的平移原则为左加右减上加下减，考查了三角函数的对称性，是中档题．8．（5分）如图是一容量为100的样本的重量的频率分布直方图，则由图可估计样本的平均重量为（）A．13B．12C．11D．10【考点】：频率分布直方图．【专题】：概率与统计．-5-【分析】：根据频率和为1，求出小组15～20的频率，再求样本数据的平均值即可．【解析】：解：根据频率分布直方图，得；小组15～20的频率是（1﹣0.06+0.1）×5=0.2，∴样本数据的平均值是7.5×0.06×5+12.5×0.1×5+17.5×0.2=12．故选：B．【点评】：本题考查了利用频率分布直方图求数据的平均值的应用问题，是基础题目．9．（5分）已知P（x，y）是直线kx+y+4=0（k＞0）上一动点，PA是圆C：x2+y2﹣2y=0的一条切线，A是切点，若PA长度最小值为2，则k的值为（）A．3B．C．2D．2【考点】：直线与圆的位置关系．【专题】：计算题；直线与圆．【分析】：利用PA是圆C：x2+y2﹣2y=0的一条切线，A是切点，PA长度最小值为2，可得圆心到直线的距离PC最小，最小值为，由点到直线的距离公式可得k的值．【解析】：解：圆C：x2+y2﹣2y=0的圆心（0，1），半径是r=1，∵PA是圆C：x2+y2﹣2y=0的一条切线，A是切点，PA长度最小值为2，∴圆心到直线的距离PC最小，最小值为，∴由点到直线的距离公式可得=，∵k＞0，∴k=2故选：D．【点评】：本题考查直线和圆的方程的应用，点到直线的距离公式等知识，是中档题．10．（5分）已知f（x）=，不等式f（x+a）＞f（2a﹣x）在[a，a+1]上恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）B．（﹣∞，0）C．（0，2）D．（﹣2，0）【考点】：函数单调性的性质．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：根据二次函数的单调性容易判断出函数f（x）在R上单调递减，所以根据题意得到x+a＜2a﹣x，即2x＜a在[a，a+1]上恒成立，所以只需满足2（a+1）＜a，解该不等式即得实数a的取值范围．【解析】：解：二次函数x2﹣4x+3的对称轴是x=2；∴该函数在（﹣∞，0]上单调递减；∴x2﹣4x+3≥3；同样可知函数﹣x2﹣2x+3在（0，+∞）上单调递减；∴﹣x2﹣2x+3＜3；-6-∴f（x）在R上单调递减；∴由f（x+a）＞f（2a﹣x）得到x+a＜2a﹣x；即2x＜a；∴2x＜a在[a，a+1]上恒成立；∴2（a+1）＜a；∴a＜﹣2；∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）．故选：A．【点评】：考查二次函数的对称轴，二次函数的单调性，以及分段函数单调性的判断方法，函数单调性定义的运用，以及一次函数的单调性．二．填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．）11．（5分）函数的定义域为{x|x＞2且x≠3}．【考点】：函数的定义域及其求法；对数函数的定义域．【专题】：计算题．【分析】：根据对数函数及分式有意义的条件可得，解不等式可得【解析】：解：根据对数函数及分式有意义的条件可得解可得，x＞2且x≠3故答案为：{x|x＞2且x≠3}【点评】：本题属于以函数的定义为平台，求集合的交集的基础题，也是高考常考的基础型．12．（5分）某程序框图如图所示，现依次输入如下四个函数：①f（x）=cosx；②f（x）=③f（x）=lgx；④f（x）=，则可以输出的函数的序号是④．-7-【考点】：程序框图．【专题】：算法和程序框图．【分析】：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件（a）f（x）+f（﹣x）=0，即函数f（x）为奇函数；（b）f（x）存在零点，即函数图象与x轴有交点．逐一分析四个答案中给出的函数的性质，不难得到正确答案．【解析】：解：由程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件：（a）f（x）+f（﹣x）=0，即函数f（x）为奇函数；（b）f（x）存在零点，即函数图象与x轴有交点．由于f（x）=cosx不是奇函数，故不满足条件（a），由于f（x）=的函数图象与x轴没有交点，故不满足条件（b），由于f（x）=lgx为非奇非偶函数，故不满足条件（a），∵f（x）=，∴f（﹣x）==﹣=﹣f（x）即f（x）=是奇函数，又∵f（0）==0，∴函数f（x）=的图象与x轴有交点，故f（x）=符合输出的条件，-8-故答案为：④．【点评】：本题考查的知识点是程序框图，其中根据程序框图分析出程序的功能是解答的关键．13．（5分）已知曲线y=asinx+cosx在x=0处的切线方程是x﹣y+1=0，则实数a的值为1．【考点】：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】：计算题；导数的概念及应用．【分析】：由题意求导y′=acosx﹣sinx，从而可得acos0﹣sin0=1；从而解得．【解析】：解：y′=acosx﹣sinx，∵曲线y=asinx+cosx在x=0处的切线方程是x﹣y+1=0，而x﹣y+1=0的斜率为1；故acos0﹣sin0=1；解得，a=1；故答案为：1．【点评】：本题考查了导数的求法及其几何意义的应用，属于基础题．14．（5分）（2015•烟台一模）已知抛物线y2=2px的焦点F与双曲线﹣=1的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的焦点为K，点A在抛物线上，且|AK|=|AF|，则△AFK的面积为32．【考点】：圆锥曲线的综合．【专题】：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：由双曲线﹣=1得右焦点为（4，0）即为抛物线y2=2px的焦点，可得p．进而得到抛物线的方程和其准线方程，可得K坐标．过点A作AM⊥准线，垂足为点M．则|AM|=|AF|．可得|AK|=|AM|．可得|KF|=|AF|．进而得到面积．【解析】：解：由双曲线﹣=1得右焦点为（4，0）即为抛物线y2=2px的焦点，∴=4，解得p=8．∴抛物线的方程为y2=16x．其准线方程为x=﹣4，∴K（﹣4，0）．过点A作AM⊥准线，垂足为点M．则|AM|=|AF|．∴|AK|=|AM|．∴∠MAK=45°．∴|KF|=|AF|．∴△AFK的面积为|KF|2=32．故答案为：32．【点评】：熟练掌握双曲线、抛物线的标准方程及其性质是解题的关键．-9-15．（5分）给定方程：（）x+sinx﹣1=0，下列命题中：①该方程没有小于0的实数解；②该方程有无数个实数解；③该方程在（﹣∞，0）内有且只有一个实数解；④若x0是该方程的实数解，则x0＞﹣1．则正确命题是②③④．【考点】：命题的真假判断与应用．【专题】：计算题；函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．【分析】：根据正弦函数的符号和指数函数的性质，可得该方程存在小于0的实数解，故①不正确；根据指数函数的图象与正弦函数的有界性，可得方程有无数个正数解，故②正确；根据y=（）x﹣1的单调性与正弦函数的有界性，分析可得当x≤﹣1时方程没有实数解，当﹣1＜x＜0时方程有唯一实数解，由此可得③④都正确．【解析】：解：对于①，若α是方程（）x+sinx﹣1=0的一个解，则满足（）α=1﹣sinα，当α为第三、四象限角时（）α＞1，此时α＜0，因此该方程存在小于0的实数解，得①不