天津科技大学2014-2015年高数(下册)期末考试考点及习题

天津科技大学2014-2015年高数（下册）期末考试考点及习题1天津科技大学2014-2015年高数（下册）期末考试考点及习题2014-2015学年度高等数学（一、二）期末考试说明与习题解答内容多元微分重积分线面积分级数微分方程选择(1)基本概念(收敛发散)(2)正项级数比较判别法(3)条件收敛与绝对收敛关系(4)方程类型判断(5)解的基本概念填空(1)具体函数求高节导数值(2)三重积分某一积分限(直角坐标)(3)将第二型曲面积分化为二重积分(填被积函数)(4)级数一般项(5)一阶线性方程解的结构大题全微分(可能为隐含数)在极坐标计算二重积分(积分区域为圆或扇形)利用格林公式计算第二型曲线积分(1)任意项级数条件收敛与绝对收敛(2)幂级数收敛区间(3)间接方法展开函数(利用11x)(1)一阶齐次方程求特解(2)二阶常系数齐次方程求特解(3)二阶常系数非齐次方程求通解(给出相应齐次方程通解)说明填空选择每个3分，共30分；大题每个7分，共十个题（包含一道综合题）整张试卷只有一张答题纸,不得篡改题号答题一、填空题(1)具体函数求高阶导数值1．设函数xyzsin，则2(0,0)|___1___.zxy2．设函数3xyz，则2(0,0)|zxy=0．3．设xyez，则2(0,0)2|zx=0．(2)三重积分某一积分限(直角坐标)1．在直角坐标系下,VzyxfId),,(=633x+2y2______66000(x,y,z)xdxdyfdz,其中由三个坐标面及平面623zyx围成．2．在直角坐标系下,VzyxfId),,(=11__1____000(x,y,z)dxdyfdz,,其中由平面天津科技大学2014-2015年高数（下册）期末考试考点及习题2平面，，，111zyx及三个坐标面围成．3．在直角坐标系下,VzyxfId),,(=2222242y24_______2(x,y,z)xxxdxdyfdz,,其中是由平面2z及旋转抛物面zyx222所围成的闭区域．(3)将第二型曲面积分化为二重积分(填被积函数)1．若是介于圆柱面)0(222aayx内的平面yxz的下侧，曲面积分yxzyxRdd),,(=__R(x,y,xy)_____Ddxdy．其中积分区域D是xOy平面圆域222xya．2．若是右半球面221zxy的左侧，曲面积分(x,y,z)dzdxf=22_f(x,1,z)______Dxzdzdx．其中积分区域D是xOz平面圆域221xz(4)级数一般项1.若级数1)1(nnu收敛，则nnulim1.2．若级数1nnu的部分和1nnSn，则它的一般项nu1n(1)n．3.若级数1nnu收敛，则nnulim0.(5)一阶线性方程解的结构1．若*y是一阶非齐次线性微分方程)()(xQyxPy的一个特解，Y是相应一阶齐次线性微分方程0)(yxPy的通解，则一阶非齐次线性微分方程)()(xQyxPy的通解是y*y+Y.二、选择题(1)基本概念(收敛发散)1．若级数)(1nnnvu发散，则下列结论中正确的是（D）.（A）级数1nnu与1nnv都收敛；（B）级数1nnu与1nnv都发散；天津科技大学2014-2015年高数（下册）期末考试考点及习题3（C）级数1nnu与1nnv一个收敛，另一个发散；（D）级数1nnu与1nnv都发散，或者一个收敛，另一个发散．2．若级数1nnu收敛于s，则（A）.（A）limnnss；（B）limnns不存在；（C）2snnu；（D）nlimu0x.(2)正项级数比较判别法1．下列级数发散的是（A）(A)11nn(B)1311nn(C)141nnn(D)1211nn2．若实数列nnncba（321，，n），下列论断中正确的是（D）．（A）若1nnb收敛，则1nna收敛（B）若1nnb发散，则1nnc发散（C）若1nnb发散，则1nna发散（D）若)(1nnnac收敛，则1)(nnnab收敛(3)条件收敛与绝对收敛关系1．对任意项级数，下列论断中正确的是（B）．（A）若级数1nnu收敛，则级数1nnu收敛（B）若级数1nnu发散，则级数1nnu发散（C）若级数1nnu发散，则级数1nnu发散（D）若级数1nnu收敛，则级数nnnu1)1(收敛(4)方程类型判断天津科技大学2014-2015年高数（下册）期末考试考点及习题41．下列微分方程不能化为齐次方程的是（C）.(A)yxyxdxyd；(B)xyyxyxlndd；(C)xxyy1dd；(D)yxyxyxtan.2．下列微分方程中为一阶线性微分方程的是（B）.(A)xyxyxyln3dd2；(B)25)1(12ddxxyxy；(C)2)(ddyxxy；(D)yxyxylndd.3．微分方程02dd)6(2yxyxy是（C）.(A)变量可分离方程；(B)齐次方程；(C)关于xx、的一阶线性方程；(D)关于yy、的一阶线性方程.4．在求解微分方程12yyy时，作变量代换（B），可将该方程降为一阶微分方程。.（A）)(xpy；（B）)(ypy；（C）)(xpy；（D）)(2xpy.(5)解的基本概念1..方程0sin)()(432xyxyy是2阶微分方程．2．微分方程yxyy2)(的通解中含有C个独立的任意常数.(A)1；(B)2；(C)3；(D)4.3．函数Cxxy2（其中C是任意常数）是微分方程2y的（B）.(A)通解；(B)特解；(C)所有解；(D)以上都不对.4．若函数)(1xy，)(2xy是二阶齐次线性方程0)()(yxQyxPy的两个特解，则)()(2211xyCxyCy（B）.（A）是该方程的特解；（B）是该方程的通解；（C）是该方程的解；（D）不是该方程的解．三、全微分(可能为隐函数)1．设函数),(yxzz由方程zzyxln222确定，求dz．天津科技大学2014-2015年高数（下册）期末考试考点及习题5解：222(,,)lnFxyzxyzz令；122,2xyzFxFyFzz，2222,1212zxzzyzxzyz222xz2yzdz1212dxdyzz2．求函数)sin(xyzu的全微分ud．解：dzcosdy)cos(dx)cos(duxyzxyxyzxzxyzyz四、重积分题（在极坐标计算二重积分(积分区域为圆或扇形)1．计算二重积分Dyxyx221dd，其中积分区域}1),{(22yxyxD．解：1022010222)1ln(212d1d1ddDyxyx2ln．2．计算二重积分22221ddxyxyxy.解：22212220012dddd3xyxyxyrr3．若区域D为圆域224xy，计算.dd422Dyxyx解：22222004ddd4dDxyxyrrr3222012[(4)]3r163五、线面积分（利用格林公式计算第二型曲线积分）1．计算曲线积分Lyxyxyxd)(d)(3232，L是上半圆域222ayx)0(a，0y正向边界．解：由格林公式，原式43dd3dd)(34003D22ayxyxa．2．计算曲线积分Lyxxdy)2(dx其中L曲线xysin上从0x到x的一段与x轴围成的平面区域的负向边界．解：如图，由格林公式，天津科技大学2014-2015年高数（下册）期末考试考点及习题6原式=Ddxdy)01(=2．3．yyxxyxLd)cos(d)(2，其中L是圆周22xxy上从点)0,0(O到点)0,2(A的一段有向圆弧．解：补直线AO，用由格林公式，原式AoLOA38dd2d202xxyxD六、级数（1）任意项级数条件收敛与绝对收敛：1．1)1(nnnn．解：由nnnnnn211)1(，有1)1(nnnn发散．又设nnun1，则nnunnnnu11111，且01limlimnnunnn，由莱布尼茨审敛法，得1)1(nnnn收敛．综上，级数1)1(nnnn是条件收敛的．2．1cosnnnn．解：任意项级数．因为3/2cos1nnnn，而级数12/31nn收敛，有级数1cosnnnn敛，所以级数1cosnnnn绝对收敛．3．nnnnn1ln)1(1．解：交错级数．由11)11ln(lim11ln)1(lim2/3nnnnnnnnn及级数12/31nn收敛，得级数天津科技大学2014-2015年高数（下册）期末考试考点及习题711ln)1(nnnnn收敛，所以级数nnnnn1ln)1(1绝对收敛．（2）幂级数收敛区间1．求幂级数12nnnx的收敛区间．解：记nna21，因为21lim1nnnaa，所以收敛半径为2R，收敛区间为)2,2(．2求幂级数nnnx)1(21的收敛区间．解：由222limlim11nnnnnnaa，得幂级数的nnnx)1(21收敛半径21R．所以收敛区间为)23,21(．3.求幂级数112nnnx的收敛区间．解：212121)1(lim)()(limxxnnxxuxunnnnnn．当12x，即1x时，级数112nnnx绝对收敛；当12x，级数112nnnx发散．所以，幂级数112nnnx的收敛半径1R，收敛区间为)1,1(．（3）间接方法展开函数(利用11x，并且不用写出收敛区间)1将函数1()2fxx展开为x的幂级数解：10011111()2222212nnnnnnxfxxxx2.将函数1()2fxx展开为(1)x的幂级数解：1001111(x1)(1)()()(1)13(1)333313nnnnnnfxxxx天津科技大学2014-2015年高数（下册）期末考试考点及习题83．将函数231)(2xxxf展开为x的幂级数解：2111)2)(1(1231)(2xxxxxxxfnnnnnnnnnnnxxx0100)211()1(2)1(21)1(4.将函数231)(2xxxf展开为)2(x的幂级数解：2111)2)(1(1231)(2xxxxxxxf4/)2(11413/)2(1131)2(41)2(31xxxxnnnnnnnnnnnnnxxx)2()4131()1(4)2()1(413)2()1(31011005．将函数fxxx()14展开为(1)x的幂级数解：因为14131131113xxx(),且nxxxx21111x，所以nnxxxxx3)1(3)1(311313111314122，于是nnxxxxx