金融模型与计算课件-Chap1

同济大学金融模型与计算徐承龙1金融模型与计算AdvancedFinancialModelsandComputations徐承龙同济大学数学系风险管理研究所Office:致远楼208室,[e-mail]65983240-12082015年4月同济大学金融模型与计算徐承龙2马云：中国不缺金融机构最缺动态信用体系人民网2015/04/1709:251)“沃尔玛每年的增长率是2%-5%，淘宝每年也保持高速增长，相信淘宝超越沃尔玛的那天将是一个时代的结束和另一个时代的开始。”马云解释，沃尔玛时代的商业模式是大工业、大流通、大零售，商家有什么消费者买什么，但淘宝时代奉行的是个性化和多元化，需要大规模柔性化、定制化生产，消费者需要什么，商家提供什么，这是不同的商业法则。现在有的生产流水线上每件服装都不一样，因为对应着不同的客户，商业模式的变化已经发生在我们身边。同济大学金融模型与计算徐承龙3另一个让马云自豪的是，不管多大的商场摆放的商品超不过50万件，而淘宝可供选择的商品超过10亿件，这是以前无法想象的大消费平台。2)马云表示，互联网金融的本质是用数据说话，支付宝有将近4亿活跃用户，是全球最大的独立第三方支付平台，我们的核心思想不是做金融，而是建立消费者和中小企业的动态信用体系。“中国不缺金融机构，但是最缺动态信用体系，今天你是5A级客户，明天却可能面临破产，如果我们可以将所有人的网上痕迹进行建模分析，就可以清楚识别其中的风险。让天下没有难做的生意，这才是我们的使命。”马云表示，阿里巴巴是由互联网技术、数据技术和互联网精神驱动的数据公司。这些数据取之于民，用之于民，就如以前石油、水等是社会最宝贵的资源，未来，数据将是最宝贵的资源，数据的竞争将决定未来的成败。同济大学金融模型与计算徐承龙4金融的基本问题：定价、投资、风险度量与管理同济大学金融模型与计算徐承龙5金融的基本问题：定价、投资、风险度量与管理金融软件:SPSS、EVIEWS、R、SAS、Gauss、Matlab&同济大学金融模型与计算徐承龙6金融的基本问题：定价、投资、风险度量与管理金融软件:SPSS、EVIEWS、R、SAS、Gauss、Matlab&金融模型:离散的多元线性回归分析模型、自回归模型、GARCH、连续Vasicek、CIR、GBM、HJM、LIBOR、SHIBOR、Heston模型)同济大学金融模型与计算徐承龙7金融的基本问题：定价、投资、风险度量与管理金融软件:SPSS、EVIEWS、R、SAS、Gauss、Matlab&金融模型:离散的多元线性回归分析模型、自回归模型、GARCH、连续Vasicek、CIR、HJM、LIBOR、SHIBOR、GBM、Heston模型)金融知识、数学基础、计算机编程基础同济大学金融模型与计算徐承龙8金融的基本问题：定价、投资、风险度量与管理金融软件:SPSS、EVIEWS、R、SAS、Gauss、Matlab&金融模型:离散的多元线性回归分析模型、自回归模型、GARCH、连续Vasicek、CIR、HJM、LIBOR、SHIBOR、GBM、Heston模型)金融知识、数学基础、计算机编程基础例子：资产定价、最优投资组合、CDS、CDO定价、VaR风险度量、互联网金融中基于信用的贷款风险控制问题等.同济大学金融模型与计算徐承龙9学习内容学习本课程所需要的数学、数值计算基础以及Matlab知识金融标的资产的连续模型与离散化.Black－Scholes模型下的期权定价的二叉树方法、偏微分方程方法、有限差分方法以及蒙特卡罗方法.各种新型期权的定价方法.各种市场常用的复杂标的资产模型和随机利率模型介绍.复杂标的资产模型驱动的衍生产品定价的的偏微分方程方法和蒙特卡罗方法.离散时间序列表示的资产价格过程及其衍生产品定价.风险度量的VaR计算.同济大学金融模型与计算徐承龙10目录第一章预备知识§1.1数值逼近知识§1.2矩阵分解、线性方程组与非线性非线性方程组的求解§1.3概率论以及随机过程基础知识§1.4Matlab简介第二章资产§2.1随机数的生成§2.2随机数的生成（续）§2.3标的资产的定价模型与模拟§2.4金融衍生物定价的蒙特卡罗方法拟的基本原理与方法§2.5随机动态利率模型的模拟§2.6利率衍生物定价第三章方差减小技术§3.1控制变量法§3.2重点取样法（测度变换）§3.3对偶变量方法§3.4金融衍生品定价应用举例第四章金融衍生物定价的二叉树方法与有限差分方法同济大学金融模型与计算徐承龙11§4.1欧式与美式期权定价的二叉树方法§4.2欧式期权定价的有限差分方法§4.3障碍期权与亚式期权的有限差分方法§4.4美式期权的有限差分方法§4.5可转换债券定价的模型与模拟方法§4.5随机利率下金融衍生产品定价的有限差分方法第五章定价模型的参数估计§5.1基于标的资产历史数据的波动率直接估计法§5.2基于GARCH模型族的波动率估计§5.3基于高频数据的实际波动率估计法§5.4隐含波动率估计法第六章风险度量风险度量VaR的蒙特卡罗模拟参考文献同济大学金融模型与计算徐承龙12第一章科学计算基础知识§1.1数值逼近知识给定函数()fx或(,())iixfx，寻找简单函数()Px来拟合或插值。1)拉格朗日插值2)牛顿插值3)样条插值§1.1.1拉格朗日插值设插值点(,())iixfx,1,2,i……1()()()nniiixPxylxL其中()ilx为插值点ix上的基函数，1()niiiijxxlxxx（n-1次多项式）。若[,]ixab，等距分点，则会出现Range现象（一般不收敛）。例如取21()1fxx，[5,5]x若ix为等分节点，则当x取靠近区间[5,5]边界时不收敛；若ix为高斯点，()fx为连续函数，则在某个Sobolev空间，()()nnxfxL。同济大学金融模型与计算徐承龙13§1.1.2样条插值分段线性插值：在每一个小区间1[,]iixx上是线性函数。优点是：简单，如果()[,]fxCab，则处处收敛，即n，n()()Ixfx[,],()[,]xabfxCab。注意到，分段线性函数n()Ix在节点ixx处处不可导。进一步，需要光滑分段插值函数——三次样条插值，此时2n()[,]IxCab.在每一个区间1[,]iixx上，n()Ix为三次多项式，但是，需要确定4n个系数，我们可以通过求解相应的线性方程组。同济大学金融模型与计算徐承龙14§1.1.3数值求导已知()iiyfx，求'()ifx由导数定义，我们有前差商：'11()()()iiiiifxfxfxxx，后差商：'11()()()iiiiifxfxfxxx，中心差商：'1111()()()iiiiifxfxfxxx.上述方法只能大致求导数的值，不能太精确，也不稳定！稳定的数值求导算法：由()ifx（i=0,1,…n）n()Ix样条函数，再求导，成为数值求导。求样条函数时还需要附加其他初值、边界条件。同济大学金融模型与计算徐承龙15§1.1.4曲线拟合部分克服了插值不收敛的缺点。例如：()fxaxb，选择最佳,ab来拟合函数()fx.最常用的方法：最小二乘法目标函数：`21(())niiiiIaxbfxw显然(,)IIab，若**(,)abargmin(,)Iab则称**axb，为()fx的一次最佳拟合。一般拟合1()()()miiifxSxax，mn.实际拟合问题时对基函数的选择较难，而且在高维的情况下，确定参数的计算量很大。回归函数为基函数的线性组合时称为线性回归，最简单情形：yaxb即基函数为1,x.同济大学金融模型与计算徐承龙16下列情形称为非线性回归：()()(;)fxSxx其中函数(;)x中关于非线性的，为正态分布随机变量。例如，一次（线性）拟合：1()djjjPxaxc1d个参数需确定。二次二维拟合：211,2()+jjlssljlsPxaxbxxc.12(,)Txxx,ja,lsb,c待定。最佳曲线拟合参数确定共有2221个。二次d维拟合11,()+djjlssljlsdPxaxbxxc待定参数21dd。随着d的增大。待定参数个数也随之增大。同济大学金融模型与计算徐承龙17§1.1.5数值积分()(),()(),()bbaafxdxPxdxPxfxPx若为多项式（多项式可以替代，分段线性插值，样条插值等）（1）Newton-Cotes公式()Pxn0()()niiiLxylx0()(),nbbiiaaifxdxylxdx将区间[a,b]等分ixaih，bahn，1,...,in则我们可以得到公式：()()biinalxdxbaCinC称为Cotes系数。0()()nbiinaifxdxbayC——Newton-Cotes公式但上述公式效果不好（不收敛，不稳定）同济大学金融模型与计算徐承龙18（2）分段线性与抛物线插值逼近n()()PxIx()()bbnaafxdxIxdx可得出相应的求积公式。例如当()nIx为分段线性插值，可得复合梯形公式11()[()()](2nbinaibabafxdxfafbfxTnn），可以证明：若函数()fx为连续函数，n，上述求积公式收敛。当函数满足二阶连续可导，则进一步可得误差估计：(2)2()().12bnabafxdxTfh同理利用分段抛物线插值逼近原函数()fx,可得复合抛物线公式：11112()[(((6nbiinaiibafxdxfxfxfxSn）+4）+）]以及误差公式：(4)4()().2880bnabafxdxSfh同济大学金融模型与计算徐承龙19（3）基于高斯点上插值多项式的求积值------高斯点与高斯公式定义：若近似积分计算公式：0()()nbiiaifxdxfx对于()fx取任意次数2+1n的多项式，上式均精确成立，则称上述公式为高斯公式，ix为对应的高斯点，i为高斯系数。高斯公式等价于基于高斯点上的插值公式的积分值。设n()Ix为()fx的插值多项式，插值点为高斯点，则0()()()nbbniiaaifxdxIxdxfx其中()biialxdx同济大学金融模型与计算徐承龙20§1.2矩阵分解、线性方程组与非线性非线性方程组的求解§1.2.1LU分解ALU，L为上三角矩阵，U为下三角矩阵矩阵的三角分解与矩阵的初等矩阵分解等价1AA(左行右列)行变换：11PAA列变换：11APA其中1P为初等矩阵。1nAAA…,nA为上三角矩阵（下三角矩阵）特别地，若A满足一定条件，仅通过行变换即可化为nA.11nnPPAA…（例如在条件，A的主子式0i，下成立。）111121nnAPPPA….第一行乘1111(2,)kkamka…，n已知iP为下三角，则1iP为下三角，进一步111121nPPP…为下三角。ALU,其中111121nLPPP…，nUA.同济大学金融模型与计算徐承龙21在Matlab中，[,]()luLUA或[,,]()lupLUA其他一些分解，例如A为正定对称矩阵。A的LU分解为TALL.实际上，ALU,若A可逆，1110nmnuuUu11||||||1nnALUuu….0iiu1121111112100000100nnnnnnuuuuuUuuu同济大学金融模型与计算徐承龙22LDR分解:ALDR，L为单位下三角，R单位上三角，D为对角矩阵。特别，若A对称TLR，TALDL。由A的正定性可知，0i