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最小二乘法从前面的学习中,我们知道最小二乘法可以用来处理一组数据,可以从一组测定的数据中寻求变量之间的依赖关系,这种函数关系称为经验公式.本课题将介绍最小二乘法的精确定义及如何寻求与之间近似成线性关系时的经验公式.假定实验测得变量之间的个数据,,…,,则在平面上,可以得到个点,这种图形称为“散点图”,从图中可以粗略看出这些点大致散落在某直线近旁,我们认为与之间近似为一线性函数,下面介绍求解步骤.考虑函数,其中和是待定常数.如果在一直线上,可以认为变量之间的关系为.但一般说来,这些点不可能在同一直线上.记,它反映了用直线来描述,时,计算值与实际值产生的偏差.当然要求偏差越小越好,但由于可正可负,因此不能认为总偏差时,函数就很好地反映了变量之间的关系,因为此时每个偏差的绝对值可能很大.为了改进这一缺陷,就考虑用来代替.但是由于绝对值不易作解析运算,因此,进一步用来度量总偏差.因偏差的平方和最小可以保证每个偏差都不会很大.于是问题归结为确定中的常数和,使为最小.用这种方法确定系数,的方法称为最小二乘法.由极值原理得,即解此联立方程得(*)问题I为研究某一化学反应过程中,温度℃)对产品得率(％)的影响,测得数据如下:温度℃)100110120130140150160170180190得率(％)45515461667074788589(1)利用“ListPlot”函数,绘出数据的散点图(采用格式:ListPlot[{,,…,},Prolog-AbsolutePointSize[3]]);(2)利用“Line”函数,将散点连接起来,注意观察有何特征?(采用格式:Show[Graphics[Line[{,,…,}]],Axes-True]);(3)根据公式(*),利用“Apply”函数及集合的有关运算编写一个小的程序,求经验公式;(程序编写思路为:任意给定两个集合A(此处表示温度)、B(此处表示得率),由公式(*)可定义两个二元函数(集合A和B为其变量)分别表示和.集合A元素求和:Apply[Plus,A]表示将加法施加到集合A上,即各元素相加,例如Apply[Plus,{1,2,3}]=6;Length[A]表示集合A元素的个数,即为n;A.B表示两集合元素相乘相加;A*B表示集合A与B元素对应相乘得到的新的集合.)(4)在同一张图中显示直线及散点图;(5)估计温度为200时产品得率.然而,不少实际问题的观测数据,,…,的散点图明显地不能用线性关系来描叙,但确实散落在某一曲线近旁,这时可以根据散点图的轮廓和实际经验,选一条曲线来近似表达与的相互关系.问题II下表是美国旧轿车价格的调查资料,今以表示轿车的使用年数,(美元)表示相应的平均价格,求与之间的关系.使用年数12345678910平均价格2651194314941087765538484290226204(1)利用“ListPlot”函数绘出数据的散点图,注意观察有何特征?(2)令,绘出数据的散点图,注意观察有何特征?(3)利用“Line”函数,将散点连接起来,说明有何特征?(4)利用最小二乘法,求与之间的关系;(5)求与之间的关系;(6)在同一张图中显示散点图及关于的图形.思考与练习1.假设一组数据:,,…,变量之间近似成线性关系,试利用集合的有关运算,编写一简单程序:对于任意给定的数据集合,通过求解极值原理所包含的方程组,不需要给出、计算的表达式,立即得到、的值,并就本课题I/(3)进行实验.注:利用Transpose函数可以得到数据A的第一个分量的集合,命令格式为:先求A的转置,然后取第一行元素,即为数据A的第一个分量集合,例如(A即为矩阵)=(数据A的第一个分量集合)=(数据A的第二个分量集合)B-C表示集合B与C对应元素相减所得的集合,如=.2.最小二乘法在数学上称为曲线拟合,请使用拟合函数“Fit”重新计算与的值,并与先前的结果作一比较.注:Fit函数使用格式:设变量为x,对数据A进行线性拟合,如对题1中的A拟合函数为:=