金融经济学第3章

第3章不确定（风险）下的选择理论引言•1、货币有时间价值r的期限结构。•2、风险与收益权衡r的风险结构CAPM。风险表现为一系列现金流CF是不确定的，典型的如股票、企业债的现金流。此时，CF的期望值用r的期望值贴现。•而“期望的r的大小取决于风险的大小”是人们借贷和消费选择的结果。122111nnCFCFCFPrrr122[][][]1[]1[]1[]nnECFECFECFPErErEr比较：人们在确定(无风险)的借贷利率r下的借贷、消费的选择480BAU2(C0,C1)W1=1100W0=1000590450550100110本年消费下年消费U1(Y0,Y1)•某人的禀赋（收入）为本年的550单位消费品(甚至就是货币)和下一年的480单位消费品（点A表示）。•W0W1为资本市场线，斜率为(1+r)。•为了当期和未来消费的效用最大，需做出借贷的选择决策和相应的消费决策，如点B所示。人们在不确定(有风险)借贷利率r下的借贷、消费的选择？C1C0w0C0Y0AY1C11C12C13r5%10%20%30%50%105110120130150C1(=480+)585590600610630•例如，下一年的收益率有5种状况，如果选择了本年贷出100单位消费品（本年消费变为550-100=450），则：•这样的消费能给该个体带来多大的效用呢？•本年消费是确定的，效用也就确定，而下一年的消费不是唯一的，所以关键是下一年消费到底给个体带来多大的效用。r5%10%20%30%50%r的概率P(r)0.20.30.10.250.15C1585590600610630效用u(585)u(590)u(600)u(610)u(630)•能不能这样呢？•u(585)×0.2+u(590)×0.3+u(600)×0.1+u(610)×0.25+u(630)×0.15，其中u(·)为确定了的消费的效用。这样得到的效用被称为期望效用，又因为确定了的消费的效用本身是消费品数量的函数，所以期望效用是可能消费的数量的一个函数。本章大纲建立不确定情况下消费效用大小的衡量方法及决策原理：1、不确定条件下的偏好关系与期望效用函数2、个体风险厌恶与效用函数的形式3.1期望效用函数•期望效用函数的产生原因：•在时间1消费的不确定，消费不确定的原因是r不确定，而r不确定又是因为在时间1经济有不同的可能性状况。上例中，在时间1经济有5种可能性状况。•期望效用函数的作用：不确定下的借贷和消费的选择同样根据的是偏好，而期望效用函数是不确定性下的消费偏好表示方式。不确定下的消费（随机消费）被称为消费计划定义3.1：消费计划是指当未来不同的可能性状况成为现实时，每一种状况下经济主体可消费的消费品数量。其中，每种可能性状况都对应有相应的概率。比如，未来有5种可能性状况ω1,---,ω5，发生的可能性为P(ω)，分别对应5种可能的消费。表3-1一个消费计划xω1ω2ω3ω4ω5P(ω)0.20.30.10.20.2x(ω)23180•不确定下消费的期望效用函数的定义：•期望效用函数是各种可能的状况下的消费效用的期望值。公式为：•（状况有限）•（状况无限）•其中，ω为各种可能的状况，Ω是ω的集合。•有了期望效用函数，就可以比较不同消费计划，作为决策的依据。EuxuxPuxdPω1ω2ω3ω4ω5证券甲的r5%10%20%30%50%105110120130150x(ω)585590600610630证券乙的r0%9%15%38%60%100109115138160y(ω)580589595618640•例子：某人的禀赋为本年的550单位消费品和下一年的480单位消费品。资本市场有两只证券，收益率不同，本年贷出100单位消费品，则下一年的消费计划有两种可能：ω1ω2ω3ω4ω5P(ω)0.20.30.10.250.15x585590600610630u(x)u(585)u(590)u(600)u(610)u(630)y580589595618640u(y)u(580)u(589)u(595)u(618)u(640)•哪一种消费计划（证券）好呢？•只需要比较E[u(x)]和E[u(y)]，即u(585)×0.2+u(590)×0.3+u(600)×0.1+u(610)×0.25+u(630)×0.15和u(580)×0.2+u(589)×0.3+u(595)×0.1+u(618)×0.25+u(640)×0.15的大小。•消费计划的集合X：•可以被选择的消费计划可能不止两个而是有多个，所有消费计划形成的集合记为X。•偏好关系及其符号的规范表示：•表示x偏好于y；表示x严格偏好于y；表示y偏好于x；表示x与y无差异。•偏好关系的期望效用表示：•称个体的偏好有一个的期望效用表示，如果存在一个函数u，使得消费计划集合X中的一个消费计划x偏好于另一个消费计划y（即）当且仅当E[u(x)]≥E[u(y)]。xyxyxyxyxyω1ω2ω3ω4ω5P(ω)0.20.30.10.250.15x(ω)585590600610630y(ω)580589595618640•上例如果经济主体认为消费计划x偏好于消费计划y。•如果能找到一个函数u，使得u(585)×0.2+u(590)×0.3+u(600)×0.1+u(610)×0.25+u(630)×0.15大于u(580)×0.2+u(589)×0.3+u(595)×0.1+u(618)×0.25+u(640)×0.15。•这说明了这个偏好关系可以用期望效用表示。3.2期望效用函数的存在性•一、期望效用表达定理•定理3.1（期望效用表达定理）：定义在消费计划集合X上的偏好关系，若它满足如下5个公理，则该偏好关系可以用期望效用函数表示。公理1、2、3•公理1X上的偏好关系，满足自反性。意思是，消费计划自己和自己比不差。•公理2X上的偏好关系，满足完备性。意思是，X集合中的任意两个消费计划都是可以进行比较的。•公理3X上的偏好关系，满足传递性。意思是，在X集合中，如果x优于y，y优于z，则可以得到x优于z。•公理4（独立性公理IndependentAxiom）•对于p,q∈X,p偏好于q,意味着ap+(1-a)r偏好于aq+(1-a)r,对任意r∈X,任意a∈(0,1)成立。•公理4的含义：引入一个额外的不确定性的消费计划不会改变个体原有的偏好。•说明：投资者的一个消费计划p、q或r也可以看成一张张彩票（lottery），消费计划中所有可能的消费量为彩票的各种可能的奖金数额。则ap+(1-a)r是一张复合彩票(acompoundlottery)，以a的概率获得彩票p，以(1-a)的概率获得彩票r。此公理含义是如果个体认为彩票p偏好于彩票q，那么个体会认为复合彩票ap+(1-a)r偏好于复合彩票aq+(1-a)r。复合彩票到底是什么•一张彩票y1，获得奖金100的概率是1/4，获奖金50的概率是3/4；另一张彩票y2，获奖金200的概率是1/3，获得奖金150的概率是2/3。•现发行一张复合彩票，获得彩票y1的概率是1/2，获得彩票y2的概率是1/2。1122;1/4,3/4;100,50;1/3,2/3;200,150yPyyPy彩票彩票121/21/21/21/4,1/23/4,1/21/3,1/22/3;100,50,200,150yyy复彩•公理5（阿基米德公理，ArchimedeanAxiom）•对于p,q,r∈X,pqr,则存在实数a,b∈(0,1)使得ap+(1-a)rqbp+(1-b)r。•􀂉含义：没有哪一个消费计划p好到使得对任意满足q偏好于r的消费计划q,r，无论概率b多么小，复合彩票bp+(1-b)r不会比q差。•同样，没有哪一个消费计划r，差到使得对任意满足p偏好于q的消费计划p,q，无论概率a多么大，复合彩票ap+(1-a)r不会比q好。•即集合X中不存在无限好或无限差的消费计划。二、期望效用不作为不确定下的选择准则的情形•反对期望效用作为选择准则的例子是：个体经过深思熟虑之后，反而会选择不符合期望效用的消费计划方案。•典型的如下面介绍的“阿莱悖论”。“Allais悖论”(1953)•一个有趣的例子说明个体的偏好可能不符合期望效用准则。课堂游戏：一等奖250万美元；二等奖50万美元；三等奖0美元。决策者先在如下两个彩票间进行选择：(括号内数字为奖金的概率)11(0,1,0),(0.10,0.89,0.01)LL再在如下两个彩票间进行选择：22(0,0.11,0.89),(0.10,0,0.90)LL•当L1和L1’作为备选方案时选L1，当L2和L2’作为备选方案时选L2’，就违背了期望效用原则。•􀂉•因为通过计算表明，如果遵从期望效用原则的投资者L1和L1’之间偏好L1’，那么他必须在L2和L2’之间偏好L2。因为，将三个结果的效用表示为：250,50,0uuu,假定有一个期望效用函数，选择L1意味着500.102500.89500.010uuuu同时加上：0.8900.8950uu，应该就有0.11500.8900.102500.900uuuuWhy？•“阿莱悖论”显示的是个体的偏好违反独立性公理的情况，这时，个体的偏好不能用期望效用函数表示。ω1ω2ω3ω4ω5P(ω)0.20.30.10.250.15x(ω)585590600610630y(ω)580589595618640•现在来研究各种可能的状况下的消费效用。•u(585)，u(590)，u(600)等等是多少？•显然，不同消费者的u(585)，u(590)，u(600)不同，但有什么共同特征吗？3.3风险厌恶•我们想到，不管是谁，随着消费量的增加，效用增加但边际效用递减。•但是这两个人对风险（不确定性）的厌恶程度不同。那什么是风险厌恶？wwuu585600590590600585•为了说明风险厌恶这个概念，考虑一个赌博，它以概率p有一个正的收益h1，以概率（1-p）有负收益h2。•定义3.2：一个赌博称为是公平的是指ph1+(1-p)h2=0。•个体的初始财富为W0，他不参与一个公平赌博，则其效用值是U(W0)，若参与，则其财富会起变化，变化的财富的期望效用是以p取(W0＋h1)，以（1－p）取(W0＋h2)。风险厌恶：定义3.3：如果个体不喜欢参与任何公平的赌博，即u(W0)=u[p(W0+h1)+(1-p)(W0+h2)]pu(W0+h1)+(1-p)u(W0+h2)=E[u(W)]，则称个体是风险厌恶的。个体风险厌恶是指个体不愿意接受或至多无差异于任何公平的赌博。个体严格风险厌恶是指个体不乐意接受任何公平的赌博。()uww()uwW0u(W0+h1)W0+h2个体风险厌恶对应着效用函数u是一个凹函数（效用随消费量的增加而增加但边际效用递减）。W0+h1u(W0)u(W0+h2)E(u(W))定义3.4（阿罗，普拉特）：对于有二阶导数的效用函数的个体，称为个体在财富为W时的绝对风险厌恶系数。()()()AuWRWuW3.4风险厌恶系数•定义3.6：•如果，称个体是递减绝对风险厌恶的。•如果，称个体是递增绝对风险厌恶的。•如果，称个体是常绝对风险厌恶的。()0AdRWdW()0AdRWdW()0AdRWdW　3.5风险厌恶系数的特征三个例子•二次型效用函数（递增绝对风险厌恶）222(),02()1,(),()(),011AAbuzzzbuzbzuzbdRzbbRzbzdzbz1/bu(z)z•负指数效用函数（常绝对风险厌恶）2(),0()0,()0,()(),0bzbzbzAAuzebuzbeuzbedRzR