金融经济学第七章套利定价

金融经济学套利定价理论（APT）8.1概述在上一章，为了得到投资者的最优投资组合，要求知道：回报率均值向量回报率方差-协方差矩阵无风险利率估计量和计算量随着证券种类的增加以指数级增加金融经济学2举例：假定证券分析员要详细分析50种股票，则需要输入如下这些数据：若n扩大一倍，即为100时，估计值几乎增加4倍达到5150个，进一步，如果n增大为2700，估计值达到360万个如此庞大的估计值个数，逼迫我们不得不寻找其他更容易实现的办法。金融经济学325050()/212251325nnnn个股票收益的估计个方差的估计个协方差的估计个估计值引入因子模型可以大大简化计算量由于因子模型的引入，使得估计Markowitz有效集的艰巨而烦琐的任务得到大大的简化。因子模型还给我们提供关于证券回报率生成过程的一种新视点一元或者多元统计分析，以一个或者多个变量来解释证券的收益，从而比仅仅以市场来解释证券的收益更准确。金融经济学48.2因子模型（Factormodel）定义：因子模型是一种假设证券的回报率只与不同的因子波动（相对数）或者指标的运动有关的经济模型。因子模型是APT的基础，其目的是找出这些因素并确认证券收益率对这些因素变动的敏感度。依据因子的数量，可以分为单因子模型和多因子模型。金融经济学58.2.1单因子模型引子若把经济系统中的所有相关因素作为一个总的宏观经济指数。假设：（1）证券的回报率仅仅取决于该指数的变化；（2）除此以外的因素是公司特有风险——残余风险则可以建立以宏观经济指数变化为自变量，以证券回报率为因变量的单因子模型。例如，GDP的预期增长率是影响证券回报率的主要因素。金融经济学6例1：设证券回报仅仅与市场因子回报有关其中=在给定的时间t，证券i的回报率=在同一时间区间，市场因子m的相对数=截距项=证券i对因素m的敏感度=随机误差项，itiimmtitrabreitrmtriaimbite[]0,cov(,)0,cov(,)0ititmtitjtEer金融经济学7因子模型回归年份IGDPt（%）股票A收益率（%）15.714.326.419.238.923.448.015.655.19.262.913.0金融经济学84%trtGDPI613.0%r63.2%e62.9%GDPI金融经济学9图中，横轴表示GDP的增长率，纵轴表示股票A的回报率。图上的每一点表示：在给定的年份，股票A的回报率与GDP增长率。通过线性回归，我们得到一条符合这些点的直线为（极大似然估计）4%2tGDPttrIe金融经济学10从这个例子可以看出，A在任何一期的回报率包含了三种成份：1.在任何一期都相同的部分a2.依赖于GDP的预期增长率，每一期都不相同的部分b×IGDPt3.属于特定一期的特殊部分et。金融经济学11通过分析上面这个例子，可归纳出单因子模型的一般形式：对时间t的任何证券i有时间序列其中：ft是t时期公共因子的预测值；rit在时期t证券i的回报；eit在时期t证券i的特有回报ai零因子bi证券i对公共因子f的敏感度(sensitivity),或因子载荷（factorloading）itiititrabfe（8.1）金融经济学12为简单计，只考虑在某个特定的时间的因子模型，从而省掉角标t，从而（8.1）式变为并且假设(1)cov(,)0ief(2)cov(,)0ijee[]0iEeiiiirabfe（8.2）金融经济学13假设(1)：因子f具体取什么值对随机项没有影响，即因子f与随机项是独立的，这样保证了因子f是回报率的唯一因素。若不独立，结果是什么？假设(2)：一种证券的随机项对其余任何证券的随机项没有影响，换言之，两种证券之所以相关，是由于它们具有共同因子f所致。如果上述假设不成立，则单因子模型不准确，应该考虑增加因子或者其他措施。金融经济学14对于证券i，由（8.2）其回报率的均值（期望值）为其回报率的方差2222iifeib因子风险非因子风险对于证券i和j而言，它们之间的协方差为2cov(,)cov(,)ijijiiijjjijfrrabfeabfebbiiirabf（8.3）金融经济学15单因子模型的优点1.单因子模型能够大大简化我们在均值-方差分析中的估计量和计算量。假定分析人员需要分析n种股票，则均值－方差模型：n个期望收益，n个方差，(n2-n)/2个协方差单因子模型：n个期望收益，n个bi，n个残差，一个因子f方差，共3n＋1个估计值。若n＝50，前者为1325，后者为151。2ei2f金融经济学16单因子模型具有两个重要的性质2.风险的分散化分散化导致因子风险的平均化分散化缩小非因子风险21222limlim(())limnpiiiinnipfepnDwabfeb22211nnpiiepieiiibwbw其中，，金融经济学17假设残差有界，即22eis且组合p高度分散化，即wi充分小，则对于资产i成立/iwn则有222222111nepissnn从而222222limlimppfeppfnnbb金融经济学18单因素模型的简化是有成本的，它仅仅将资产的不确定性简单地认为与仅仅与一个因子相关，这些因子如利率变化，GDP增长率等。例子：公用事业公司与航空公司，前者对GDP不敏感，后者对利率不敏感。单因素模型难以把握公司对不同的宏观经济因素的反应。8.2.2多因子模型金融经济学19两因子模型若只考虑一期的模型，则可以省略表示时间的下标，从而两因子模型方程为1122iiiiirabfbfe[]0,cov(,)0iijEeee其中，12cov(,)0,cov(,)0iiefef金融经济学20在两因子模型下，对于证券i，其回报率的均值1122iiiirabfbf其回报率的方差122222221212122cov(,)iififiieibbbbff对于证券i和j，其协方差为11221122cov(,)cov(,)ijijiiiijjjjrrabfbfeabfbfe22111222122112()cov(,)ijfijfijijbbbbbbbbff证券i对因子1的敏感度金融经济学21两因子模型同样具有单因子模型的重要优点：有关资产组合有效边界的估计和计算量大大减少（但比单因子增加），若要计算均方有效边界，需要n个期望收益，n个bi1，n个bi2，n个残差，2个因子f方差，1个因子间的协方差，共4n＋3个估计值。分散化导致因子风险的平均化。分散化缩小非因子风险。金融经济学22多因子模型对于n种证券相关的m（mn)个因子，证券i的收益可以表示为1miijjijrabfe[]0,cov(,)0cov(,)0,iijikEeefeeik1,...,;1,...,injm其中，金融经济学23CAPM与APT建立在均值-方差分析基础上的CAPM是一种理论上相当完美的模型，但实际上只有理论意义，因为假设条件太多、太严格！除CAPM理论外，另一种重要的定价理论是由StephenRoss在1976年建立的套利定价理论（Arbitragepricingtheory，APT），从另一个角度探讨了资产的定价问题。市场均衡条件下的最优投资组合理论=CAPM无套利假定下因子模型=APT金融经济学248.3套利定价理论（APT）CAPM是建立在一系列假设之上的非常理想化的模型，这些假设包括HarryMarkowitz建立均值-方差模型时所作的假设。这其中最关键的假设是同质性假设。相反，APT所作的假设少得多。APT的基本假设之一是：个体是非满足，而不需要风险规避的假设！每个人都会利用套利机会：在不增加风险的前提下提高回报率。只要一个人套利，市场就会出现均衡！金融经济学25定义：套利（Arbitrage）是同时持有一种或者多种资产的多头或空头，从而存在不承担风险的情况下锁定一个高于无风险利率的收益。不花钱就能挣到钱，即免费的午餐！两种套利方法：当前时刻净支出为0，将来获得正收益（收益净现值为正）当前时刻一系列能带来正收益的投资，将来的净支出为零（支出的净现值为0）。金融经济学261.特征：（1）买入、卖出同时完成；（2）交易者不承担任何风险；（3）不需要投资但有正的收益，或者交易利润率大于无风险利率。2.风险套利：实践中的套利行为投资者在特定市场同时进行买入、卖出交易的行为。先寻找具有不同价格的商品交易机会，当价差大到足以补偿交易成本以及所承担的可能风险时，套利者会迅速两边下单，完成交易。套利与投机交易的区别盈利的理念不同。操作的方式不同。套利的风险较小。套利的成本较低。假设现在6个月即期年利率为10%（连续复利，下同），1年期的即期利率是12%。如果有人把今后6个月到1年期的远期利率定为11%，则有套利机会。套利过程是：1.交易者按10%的利率借入一笔6个月资金（假设1000万元）2.签订一份协议（远期利率协议），该协议规定该交易者可以按11%的价格6个月后从市场借入资金1051万元（等于1000e0.10×0.5）。金融经济学293.按12%的利率贷出一笔1年期的款项金额为1000万元。4.1年后收回1年期贷款，得本息1127万元（等于1000e0.12×1），并用1110万元（等于1051e0.11×0.5）偿还1年期的债务后，交易者净赚17万元（1127万元-1110万元）。金融经济学30套利交易的基本方式（一）跨品种交易利用两种不同的，但相互关联的品种的合约价格差异进行套利，即买入某一交割月份某种品种的合约，同时卖出另一相同交割月份、相互关联的品种的合约，以期在有利时机同时将两种合约对冲平仓获利。在商品期货市场，分成两种情况：一是相关商品之间的套利；二是原料与成品之间的套利。（二）跨市场套利在某个交易所买入（或卖出）某一交割月份的某种商品合约的同时，在另一个交易所卖出（或买入）同一交割月份的同种商品合约，以期在有利时机分别在两个交易所对冲在手的期货合约，以期在有利时机分别在两个交易所对冲在手的合约获利。注意的因素：运输费用、交割品级的差异、交易单位与汇率波动、保证金和佣金成本。有什么错误？（三）期现套利某种期货合约，当期货市场与现货市场在价格上出现差距，交易者就会利用两个市场低买高卖，从而缩小现货市场与期货市场间的价差。（四）跨期套利在同一市场（主要是指同一交易所）上同时买入、卖出标的相同、不同交割月份的期货合约，以期在有利时机同时将两个交割月份不同的合约对冲平仓获利。分类:1.牛市套利:在正向市场上，如果攻击不足，需求相对旺盛，则会导致近期月份合约价格的上升幅度大于远期月份合约，则买入近期月份合约的同时，卖出远期月份合约而进行牛市套利。2.熊市套利:在正向市场上，若近期供给增加，需求减少，则近期合约价格的跌幅大于远期合约的跌幅，或者近期合约的涨幅小于远期合约价格的涨幅，则卖出近期合约的同时，买入远期合约而进行熊市套利。3.蝶式套利：利用不同交割月份的价差进行套期获利，由两个方向相反、共享居中交割月份合约的跨期套利组成。（五）无风险套利套利定价理论中的套利是无风险套利。它的特点是完全没有风险。套利交易发生的条件资产定价出现偏差1.相同的资产的不同市场上价格不同2.相同现金流的资产价格不同3.用未来价格确定的资产不存在对套利的限制以及套利成本小于套利收益。无套利原则（Non-arbitrageprinciple)：根据一价定律（thelawofoneprice），两种具有相同风险的资产（组合）不能以不同的期望收益率出售。套利行为将导致一个价格调整过程，最终使同一种资产的价格趋于相等，套利机会消失APT的基