金融经济学第二讲md

金融经济学第二章上海财经大学金融学院陈利平金融经济学第二章第二章投资组合理论§2.1基本概念Markowitz(1952)的投资组合理论的中心思想是投资者应该采用分散化策略，即不要把鸡蛋放在一个篮子里。分散化投资的思想可以追溯到十六世纪，莎士比亚在《威尼斯商人》中写道：我的买卖的成败，并不全寄托在一艘船上，更不是依赖着一处地方；我的全部财产，也不会受一年盈亏的影响，所以我的货物并不能使我忧愁。（第一场第一幕安东尼奥）金融经济学第二章Markowitz(1952)的投资组合理论建立在均值方差模型基础之上。他认为，如果个体是风险回避的、不饱和的，则给定资产的期望回报率，个体总是选择较低的方差，给定方差，个体总是追求较高的期望回报率，即个体偏好可以用均值-方差效用函数来刻画：但这种假定是存在问题的。))~(],~[()]~([2WWEUWuE金融经济学第二章例：假定经济中存在两个投资组合和，它们的随机回报率分别为：，。通过简单计算可得：，，即这两个投资组合具有相同的均值，但的方差要大于。假定个体初始财富量为1，其效用函数取对数形式：，则个体对这两个投资组合进行投资后所能达到的期望效用值分别为：1p2p概率概率2/12/12/12/1~1r概率概率3/13/23/23/1~2r0]~[]~[21rErE)~var(9241)~var(21rr1p2p)ln()(WWu金融经济学第二章因此个体投资在上可以有更高的期望效用，尽管其方差比的高。该例子表明，个体的效用函数写成仅依赖于均值、方差的函数是有条件的，这一点可以从下面的分析看出：其中是所有三阶矩以上的项。1438.0)21ln(21)23ln(21)]~1[ln(1rE1744.0)31ln(31)34ln(32)]~1[ln(2rE1p2p])~[~])(~[('])~[([[)]~([WEWWEuWEuEWuE]])~[~])(~[(''2132RWEWWEu][)~(])~[(''21])~[(32REWWEuWEu3)(3)~(])~[(!1][nnnWmWEunRE金融经济学第二章上式蕴涵，对于一个不饱和的、风险回避的个体，其期望效用不仅依赖于财富的均值和方差，还依赖于三阶以上的中心矩。只有当效用函数取特殊形式（例如二次多项式），或资产的随机回报率满足特殊的分布（正态分布、均匀分布、等概率的两点分布）时，期望效用函数才能表示为随机财富均值、方差的函数。1、当个体效用函数取二次多项式，个体期望效用值可以简化为：。因此个体偏好可以用均值、方差的函数来刻画。但二次多项式效用函数蕴涵当财富量增加到一定程度，个体效用将减少；同时二次多项式效用函数中个体展示增的绝对风险回避，这蕴涵对个体而言风险资产是一种次品，因此二次多项式效用函数无法应用到大多数觉得财富越多越好的个体。2~2~)~(WbWWu]~[2]~[)]~([2WEbWEWuE))~(])~[((2]~[22WWEbWE金融经济学第二章2、当资产的随机回报率为正态分布时，也服从正态分布。对于正态分布，其高阶中心矩可以表示为一阶、二阶矩的函数：因此个体期望效用函数可以表示为均值方差的函数。但资产回报率服从正态分布的假定太强了，计量检验表明，大多数资产并不服从这样的假定。基于以上的分析，均值-方差模型并不是一个普适的资产选择模型，但由于该模型在分析上及所得出的结论都相对简单，同时在真实经济中使用效果也比较令人满意，因此得到了广泛认同。W~为奇数0为偶数2)~()!2(!]])~[~[(2/jjWjjWEWEjjj金融经济学第二章§2.2完全风险资产下的投资组合前沿2.2.1模型的建立考虑一个无摩擦经济，假定所有资产都是风险资产，风险资产可以无限卖空。假定经济中自然状态的全体可以刻画为：，其中代表中元素个数，即自然状态的总个数。给定任意一个风险资产或投资组合，该资产或投资组合的随机回报率向量可以表示为一个维的向量。假定该经济中存在N种可以进行交易的风险资产，其随机回报率向量、、…、线性无关，具有有限方差和不相等的期望，其它风险资产和投资组合都是这N种风险资产的线性组合。},...,,{||21||))(),...,(),((||21rrrr~||1~r2~rNr~金融经济学第二章记为由N种风险资产的期望回报率构成的向量，记为：其中上标“T”表示转置。为由1构成的向量，记为：记V为N种风险资产随机回报率的方差-协方差矩阵，可以表示为：任给一个权重为w的投资组合，其方差，因此V是一个对称、正定矩阵。e1NTNrErErEe])~[],~[],~[(2111NT)1,,1,1(1)~var()~,~cov()~,~cov()~,~cov()~var()~,~cov()~,~cov()~,~cov()~var(2122121211NNNNNrrrrrrrrrrrrrrrV0Vww金融经济学第二章给定期望回报率，所有期望回报率等于的投资组合的权重向量全体服从：和，等方差曲面是椭球面。当N=3时，在3维空间中是一个2维椭球面，和是2维平面，与平面相交成一个椭圆，等均值平面与平面相交成一条直线，如图2.1所示。在期望回报率给定下求解极小方差投资组合，相当于在平面中，寻找与等均值线相切的等方差曲线及切点。从图中可以看出，所有切点位于同一根直线上，构成一个一维子空间。我们称该直线为组合前沿，称该组合前沿上的任意投资组合为前沿组合。在组合前沿上任给两个前沿组合，其他前沿组合可以表示为这两个前沿组合的线性组合。]~[prE]~[prEew11w2Vww2Vww]~[prEew11w2Vww11w]~[prEew11w]~[prE11w（图2.1）：三资产极小方差投资组合金融经济学第二章当N3时，给定投资组合的期望回报率，极小方差投资组合的求解相当于在N-1维超平面中求出N-2维的椭球面与N-2维超平面相切的切点组合。可以证明，所有切点都位于同一条直线上，构成一个一维子空间，即组合前沿，该组合前沿可以由任意两个前沿组合线性张成。]~[prE11w金融经济学第二章2.2.2模型的求解如果记为前沿组合在各资产上的投资组合权重向量，则是如下最小化问题的解：。Subjectto:，。求解得前沿组合权重向量可以表示为：其中，。pwpwV21min]~[prEew11wpw1]~[]~[11VDrAEBeVDArCEwppp]~[prhEgDeAVBVg111DAVeCVh111金融经济学第二章其中定理2.2.1：完全风险资产下任意前沿组合都可以表示为的形式，反之亦然。推论：整个投资组合前沿可以由任意两个不同的前沿组合线性生成。推论：前沿组合的任意线性组合是一个前沿组合。1111VeeVAeVeB1111VC2ABCD]~[prhEg金融经济学第二章2.2.3风险资产组合前沿的一些性质性质2.2.1：任意两个前沿组合p和q的回报率之间的协方差可以表示为：。性质2.2.2：任意前沿组合回报率的方差可以表示为：或。性质2.2.2蕴涵，在平面中，投资组合前沿是一条双曲线，如图2.2.2所示；在平面中，投资组合前沿是一条抛物线，如图2.2.3所示。在图2.2.2和图2.2.3中，所有位于投资组合前沿左边的组合都是不可行投资组合，位于组合前沿右边（包括组合前沿）的投资组合是可行投资组合。CCArECArEDCrrqpqp1)]~[)(]~[()~,~cov(1)]~[(1)~(222CDCArECrpp)]~[2])~[((1)~(22BrAErECDrppp]~[)~(rEr]~[)~(2rEr（图2.2.2）：平面中的(图2.2.3)：平面中的投资组合前沿投资组合前沿]~[)~(rEr]~[)~(2rEr金融经济学第二章性质2.2.3：极小方差投资组合mvp的回报率与其它任意投资组合回报率的协方差等于，即极小方差投资组合自身回报率的方差。定义：所有期望回报率严格超过mvp期望回报率的前沿组合称为有效组合(efficientportfolio)；所有期望回报率严格低于mvp期望回报率的前沿组合称为无效组合(inefficientportfolio)。性质2.2.4：所有有效组合的全体是一个凸集。性质2.2.5：任意一个不等于mvp的前沿组合p，都存在唯一的一个与p的协方差为零的前沿组合zc(p)。我们称前沿组合zc(p)是前沿组合p的零-协方差组合。由上式知，当前沿组合p是一个有效组合时，它的零-协方差组合zc(p)是一个无效组合；当是p无效组合时，zc(p)是一个有效组合。C1CArECDCArEppzc]~[]~[2)(金融经济学第二章性质2.2.6：（ⅰ）在平面上，过任意前沿组合p关于组合前沿的切线与期望回报率轴相交，截距为。(ⅱ)在平面上，过任意前沿组合p与mvp的连线与期望回报率轴相交，截距为.性质2.2.7：设p是一个前沿组合，，则对任意可行投资组合q，我们有：。此处是贝塔系数。性质2.2.8：设p是一个前沿组合，，则对任意可行投资组合q，我们有：其中，不依赖于前沿组合的选取。]~[)(pzcrE]~[)~(rEr]~[)(pzcrE]~[)~(2rErmvpp]~[]~[)1(]~[)(pqppzcqpqrErErE)~var()~,~cov(pqpqprrrmvpp0]~[)~,~cov()~,~cov()(qqpzcqpErrqpqppzcqpqrrr~~~)1(~)(q~金融经济学第二章记,性质2.2.8蕴涵，任意一个可行投资组合q可以正交投影为一个前沿组合和一个期望回报率为零的噪声项。因为，。所以如果个体偏爱较高的期望回报率和较低的方差，则在给定期望回报率下，该个体可以通过选择前沿组合来回避掉由带来的风险。pqppzcqpqprrQ~~)1(~)(qQ~q~]~[]~[qqQErE)~var()~var()~~var()~var(qqqqqQQrqQ~q~金融经济学第二章例2.2.1：（表2.2.1）：三种资产的随机回报率取值。假定各自然状态等概率出现。1234)(~1r)(~2r)(~3r自然状态回报率200211220202金融经济学第二章这三种资产的期望回报率分别为：；；因此期望回报率向量可以刻画为：。1)2002(41]~[1rE211)2211(41]~[2rE1)2020(41]~[3rETTrErErEe)1,5.1,1(])~[],~[],~[(321金融经济学第二章在各自然状态下，资产的随机回报率对期望值的偏离可以刻画为：1234]~[)(~11rEr]~[)(~22rEr]~[)(~33rEr1-1-11-1/2-1/21/21/2-11-11金融经济学第二章因此我们有：，，，，，因此方差-协方差矩阵V可以刻画为：1)~var(1r4/1)~var(2r1)~var(3r0)~,~cov()~,~cov(1221rrrr0)~,~cov()~,~cov(1331rrrr0)~,~cov()~,~cov(2332rrrr10004/10001V金融经济学第二章给定，平面与平面相交成一条直线；同时平面与椭球面相交成一