学案14导数在研究函数中的应用

学案14导数在研究函数中的应用0导学目标：1.了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(多项式函数一般不超过三次).2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，会用导数求函数的极大值、极小值(多项式函数一般不超过三次)及最大(最小)值．自主梳理1．导数和函数单调性的关系：(1)若f′(x)0在(a，b)上恒成立，则f(x)在(a，b)上是______函数，f′(x)0的解集与定义域的交集的对应区间为______区间；(2)若f′(x)0在(a，b)上恒成立，则f(x)在(a，b)上是______函数，f′(x)0的解集与定义域的交集的对应区间为______区间；(3)若在(a，b)上，f′(x)≥0，且f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒等于零⇔f(x)在(a，b)上为______函数，若在(a，b)上，f′(x)≤0，且f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒等于零⇔f(x)在(a，b)上为______函数．2．函数的极值(1)判断f(x0)是极值的方法一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，①如果在x0附近的左侧________，右侧________，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧________，右侧________，那么f(x0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤①求f′(x)；②求方程________的根；③检查f′(x)在方程________的根左右值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得________；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得________．自我检测1.已知f(x)的定义域为R，f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则()A．f(x)在x＝1处取得极小值B．f(x)在x＝1处取得极大值C．f(x)是R上的增函数D．f(x)是(－∞，1)上的减函数，(1，＋∞)上的增函数2．(2009·广东)函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是()A．(－∞，2)B．(0,3)C．(1,4)D．(2，＋∞)3．(2011·济宁模拟)已知函数y＝f(x)，其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)()A．在(－∞，0)上为减函数B．在x＝0处取极小值C．在(4，＋∞)上为减函数D．在x＝2处取极大值4．设p：f(x)＝x3＋2x2＋mx＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，q：m≥43，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．(2011·福州模拟)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取极值10，则f(2)＝________.探究点一函数的单调性例1已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)ex(x∈R，e为自然对数的底数)．(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)若函数f(x)在(－1,1)上单调递增，求a的取值范围；(3)函数f(x)能否为R上的单调函数，若能，求出a的取值范围；若不能，请说明理由．变式迁移1(2009·浙江)已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是－3，求a，b的值；(2)若函数f(x)在区间(－1,1)上不单调，求a的取值范围．探究点二函数的极值例2若函数f(x)＝ax3－bx＋4，当x＝2时，函数f(x)有极值－43.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若关于x的方程f(x)＝k有三个零点，求实数k的取值范围．变式迁移2设x＝1与x＝2是函数f(x)＝alnx＋bx2＋x的两个极值点．(1)试确定常数a和b的值；(2)试判断x＝1，x＝2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由．探究点三求闭区间上函数的最值例3(2011·六安模拟)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点x＝1处的切线为l：3x－y＋1＝0，若x＝23时，y＝f(x)有极值．(1)求a，b，c的值；(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值．变式迁移3已知函数f(x)＝ax3＋x2＋bx(其中常数a，b∈R)，g(x)＝f(x)＋f′(x)是奇函数．(1)求f(x)的表达式；(2)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间[1,2]上的最大值和最小值．分类讨论求函数的单调区间例(12分)(2009·辽宁)已知函数f(x)＝12x2－ax＋(a－1)lnx，a1.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)证明：若a5，则对任意x1，x2∈(0，＋∞)，x1≠x2，有fx1－fx2x1－x2－1.多角度审题(1)先求导，根据参数a的值进行分类讨论；(2)若x1x2，结论等价于f(x1)＋x1f(x2)＋x2，若x1x2，问题等价于f(x1)＋x1f(x2)＋x2，故问题等价于y＝f(x)＋x是单调增函数．【答题模板】(1)解f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝x－a＋a－1x＝x2－ax＋a－1x＝x－1x＋1－ax.[2分]①若a－1＝1，即a＝2时，f′(x)＝x－12x.故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．②若a－11，而a1，故1a2时，则当x∈(a－1,1)时，f′(x)0；当x∈(0，a－1)及x∈(1，＋∞)时，f′(x)0，故f(x)在(a－1,1)上单调递减，在(0，a－1)，(1，＋∞)上单调递增．③若a－11，即a2时，同理可得f(x)在(1，a－1)上单调递减，在(0,1)，(a－1，＋∞)上单调递增．[6分](2)证明考虑函数g(x)＝f(x)＋x＝12x2－ax＋(a－1)lnx＋x.则g′(x)＝x－(a－1)＋a－1x≥2x·a－1x－(a－1)＝1－(a－1－1)2.由于1a5，故g′(x)0，即g(x)在(0，＋∞)上单调递增，从而当x1x20时，有g(x1)－g(x2)0，即f(x1)－f(x2)＋x1－x20，故fx1－fx2x1－x2－1.[10分]当0x1x2时，有fx1－fx2x1－x2＝fx2－fx1x2－x1－1.综上，若a5，对任意x1，x2∈(0，＋∞)，x1≠x2有fx1－fx2x1－x2－1.[12分]【突破思维障碍】(1)讨论函数的单调区间的关键是讨论导数大于0或小于0的不等式的解集，一般就是归结为一个一元二次不等式的解集的讨论，在能够通过因式分解得到导数等于0的根的情况下，根的大小是分类的标准；(2)利用导数解决不等式问题的主要方法就是构造函数，通过函数研究函数的性质进而解决不等式问题．1．求可导函数单调区间的一般步骤和方法：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f′(x)，令f′(x)＝0，求出它在定义域内的一切实根；(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；(4)确定f′(x)在各个开区间内的符号，根据f′(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性．2．可导函数极值存在的条件：(1)可导函数的极值点x0一定满足f′(x0)＝0，但当f′(x1)＝0时，x1不一定是极值点．如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点．(2)可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同．3．函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出来的．函数的极值可以有多有少，但最值只有一个，极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值，极值可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．4．求函数的最值以导数为工具，先找到极值点，再求极值和区间端点函数值，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2011·大连模拟)设f(x)，g(x)是R上的可导函数，f′(x)、g′(x)分别为f(x)、g(x)的导函数，且f′(x)·g(x)＋f(x)g′(x)0，则当axb时，有()A．f(x)g(b)f(b)g(x)B．f(x)g(a)f(a)g(x)C．f(x)g(x)f(b)g(b)D．f(x)g(x)f(a)g(a)2.函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点()A．1个B．2个C．3个D．4个3．(2011·嘉兴模拟)若函数y＝a(x3－x)在区间－33，33上为减函数，则a的取值范围是()A．a0B．－1a0C．a1D．0a14．已知函数f(x)＝12x4－2x3＋3m，x∈R，若f(x)＋9≥0恒成立，则实数m的取值范围是()A．m≥32B．m32C．m≤32D．m325．设a∈R，若函数y＝eax＋3x，x∈R有大于零的极值点，则()A．a－3B．a－3C．a－13D．a－13题号12345答案二、填空题(每小题4分，共12分)6．(2009·辽宁)若函数f(x)＝x2＋ax＋1在x＝1处取极值，则a＝________.7．已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如右图所示，给出以下结论：①函数f(x)在(－2，－1)和(1,2)上是单调递增函数；②函数f(x)在(－2,0)上是单调递增函数，在(0,2)上是单调递减函数；③函数f(x)在x＝－1处取得极大值，在x＝1处取得极小值；④函数f(x)在x＝0处取得极大值f(0)．则正确命题的序号是________．(填上所有正确命题的序号)．8．已知函数f(x)＝x3＋mx2＋(m＋6)x＋1既存在极大值又存在极小值，则实数m的取值范围为________．三、解答题(共38分)9．(12分)求函数f(x)＝2x＋1x2＋2的极值．10．(12分)(2011·秦皇岛模拟)已知a为实数，且函数f(x)＝(x2－4)(x－a)．(1)求导函数f′(x)；(2)若f′(－1)＝0，求函数f(x)在[－2,2]上的最大值、最小值．11．(14分)(2011·汕头模拟)已知函数f(x)＝x3＋mx2＋nx－2的图象过点(－1，－6)，且函数g(x)＝f′(x)＋6x的图象关于y轴对称．(1)求m，n的值及函数y＝f(x)的单调区间；(2)若a0，求函数y＝f(x)在区间(a－1，a＋1)内的极值．答案自主梳理1．(1)增增(2)减减(3)增减2.(1)①f′(x)0f′(x)0②f′(x)0f′(x)0(2)②f′(x)＝0③f′(x)＝0极大值极小值自我检测1．C2.D3.C4.C5．18解析f′(x)＝3x2＋2ax＋b，由题意f1＝10，f′1＝0，即1＋a＋b＋a2＝10，3＋2a＋b＝0，得a＝4，b＝－11或a＝－3，b＝3.但当a＝－3时，f′(x)＝3x2－6x＋3≥0，故不存在极值，∴a＝4，b＝－11，f(2)＝18.课堂活动区例1解题导引(1)一般地，涉及到函数(尤其是一些非常规函数)的单调性问题，往往可以借助导数这一重要工具进行求解．函数在定义域内存在单调区间，就是不等式f′(x)0或f′(x)0在定义域内有解．这样就可以把问题转化为解不等式问题．(2)已知函数在某个区间上单调求参数问题，通常是解决一个恒成立问题，方法有①分离参数法，②利用二次函数中恒成立问题解决．(3)一般地，可导函数f(x)在(a，b)上是增(或减)函数的充要条件是：对任意x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，且f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒等于零．特别是在已知函数的单调性求参数的取值范围时，要注意“等号”是否可以取到．解(1)当a＝2时，f(x)＝(－x2＋2x)ex，∴f′(x)＝(－2