搜索
用心爱心专心第二章点、直线、平面之间的位置关系一、选择题1、下列命题中正确的是()A.过平面外一点有无数条直线和这个平面垂直B.过平面外一点有无数个平面和这个平面平行C.过平面外一点存在无数个平面和这平面垂直D.过平面外一点只有一条直线与这个平面平行解析：由过平面外一点有且只有一条直线和已知平面垂直，得A错.由过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行，得B错.由过平面外一点有无数个平面和已知平面垂直，且这些平面相交，其交线为过已知点和已知平面垂直的直线，得C正确.由说明B错的理由可知D错，故选C.2、已知平面α、β和直线a、b，若α∩β=l,αα,bβ，且平面α与平面β不垂直，直线a与直线l不垂直，直线b与直线l不垂直，则()A.直线a与直线b可能垂直，但不可能平行B.直线a与直线b可能垂直，也可能平行C.直线a与直线b不可能垂直，但可能平行D.直线a与直线b不可能垂直，也不可能平行解析：①当a∥l,b∥l时，a∥b；②a与b异面垂直，故选B3、如图BCDE是一个正方形，AB⊥平面BCDE，则图中互相垂直的平面共有()A.4组B.5组C.6组D.7组解析：与平面BCDE垂直的平面有3个，与平面ABC垂直的平面有2个(包括平面ABE不包含BCDE)，与平面ABE垂直的平面有2个(包括平面ABC不包含BC-DE)，3+2+2-1=6，故选C.4、如果直线l,m与平面α、β、γ满足：l=β∩γ，l∥α，m和m⊥γ，那么必有()A.α⊥γ且l⊥mB.α⊥γ且m∥βC.m∥β且l⊥mD.α∥β且α⊥γ解析：若忽视m的位置应分类考虑，即m有可能在β外，则有m∥β，但也有可能在β内，没有考虑到这一点，易错选B或C项.主要考察知识点:空间直线和平面5、已知m、n为异面直线，m平面α，n平面β，α∩β=l，则l()A.与m、n都相交B.与m、n中至少一条相交C.与m、n都不相交D.至多与m、n中的一条相交解析：可以用两个面衬托来表示两条直线，它通常有两种画法：①a、b之一与l平行，另一条与l相较，②a、b与l分别交于两个不同点.6、菱形ABCD在平面α内，PC⊥α，则PA与对角线BD的位置关系是()用心爱心专心A.平行B.相交但不垂直C.垂直相交D.异面垂直解析：菱形ABCD中，AC⊥BD.又PC⊥平面α，∴PC⊥BD，∴BD⊥平面PAC.又PA平面PAC，∴BD⊥PA.显然PA与BD异面，故PA与BD异面垂直.7、点P是等腰三角形ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，PA=8，在△ABC中，底边BC=6，AB=5，则P到BC的距离为()A.B.C.D.参考答案与解析:解析：作AD⊥BC于D，连PD，易证PD⊥BC，故PD的长即为P到BC的距离..∴.8、如图，AB是圆O的直径，C是异于A、B两点的圆周上的任意一点，PA垂直于圆O所在的平面，则△PAB、△PAC、△ABC、△PBC中，直角三角形的个数是()A.1B.2C.3D.4解析：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AC.∴△PAB、△PAC都是直角三角形.又C是圆周上一点，AB是直径，∴∠ACB=90°,∴△ABC也是直角三角形.又易知PC⊥BC，∴△PBC也是直角三角形.9、设三棱锥P—ABC的顶点P在底面ABC内射影O(在△ABC内部，即过P作PO⊥底面ABC，交于O)，且到三个侧面的距离相等，则O是△ABC的()A.外心B.垂心C.内心D.重心参考答案与解析:解析：如图，设OD⊥AB于D，连结PD，则OD为PD在底面△ABC上的射影，∴PD⊥AB，∴AB⊥平面POD.用心爱心专心∴平面PAB⊥平面POD，且它们的交线为PD.作OE⊥PD于E，则OE⊥平面PAB，∴OE即为点O到侧面PAB的距离.同理可作出O到侧面PBC的垂线段OF.∵OE=OF，∴Rt△PEO≌Rt△PFO.∴∠DPO=∠GPO.∴Rt△POD≌Rt△POG.∴OD=OG.∴O为△ABC的内心答案：C主要考察知识点:空间直线和平面10、给出下列三个命题：①有四个相邻侧面互相垂直的棱柱是直棱柱；②各侧面都是正方形的四棱柱是正方体；③底面是正三角形，各侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥.其中真命题的个数是()A.1B.2C.3D.0参考答案与解析:解析：四个侧面互相垂直的棱柱并不能保证侧棱一定垂直于底面，故①错；当底面是菱形时，各侧面也可以是正方形，故②错；当锐角为60°的菱形沿短的对角线折成三棱锥时，有可能不是正三棱锥(这时三个侧面中，有一个正三角形，两个是等腰三角形)，故③也不对.答案：D主要考察知识点:空间直线和平面11、已知从一点P引出三条射线PA、PB、PC，且两两成60°角，则二面角A-PB-C的余弦值是()A.B.C.D.参考答案与解析:解析：如图，AO⊥面BPC，由题意得：∠APB=60°,∠BPO=30°,用心爱心专心由cos∠APB=cos∠BPO·cos∠APO,即cos60°=cos30°·cos∠APO,得cos∠APO=.作AE⊥PB，E为垂足，连接OE，则∠AEO就是二面角A-PB-C的平面角，不妨设PA=a，则AO=，PO=，又在Rt△OPE中，∠OPE=30°，所以OE=，则在Rt△AEO中，tan∠AEO=,则cos∠AEO=.所以二面角A-PB-C的余弦值为，故选A.答案：A主要考察知识点:空间直线和平面12、直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=AA1=a，则点A到平面A1BC的距离是()A.aB.C.D.参考答案与解析:解析：取A1C的中点O，连结AO.∵AC=AA1∴AO⊥A1C.又该三棱柱是直三棱柱，∴平面A1C⊥平面ABC.又∵BC⊥AC，∴BC⊥AO.因此AO⊥平面A1BC，即A1O等于A到平面ABC的距离.解得A1O=.答案：C主要考察知识点:空间直线和平面二、填空题【共4道小题】用心爱心专心1、若二面角α-l-β是直二面角，A∈α,B∈β,AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B，且AA1=A1B1=1，B1B=2，M是直线l上的一个动点，则AM+BM的最小值等于_________.参考答案与解析:解析：绕二面角的棱l旋转半平面α，使之与半平面β恰好构成一个平面，此时，A、B两点在直线l的异侧，连结AB与l的交点即为使AM+MB为最小时的动点M在直线l上的位置，求得线段AB的长为.答案：主要考察知识点:空间直线和平面2、下列命题：①两个平面垂直，过其中一个平面内一点作与它们交线垂直的直线，必垂直于另一个平面；②两个平面垂直，分别在这两个平面内且互相垂直的两直线，一定分别与另一平面垂直；③两平面垂直，分别在这两个平面内的两直线互相垂直.其中假命题是_______.参考答案与解析:解析：(1)若该点在两个平面的交线上，则命题是错误的.如下图(甲).正方体AC1中，平面AC⊥平面AD1，平面AC∩平面AD1=AD，在AD上取点A，连结AB1，则AB1⊥AD即过棱上一点A的直线AB1与棱垂直，但AB1与平面ABCD不垂直，其错误的原因是AB1没有保证在平面ADD1A1内，可以看出线在面内这一条件的重要性.甲(2)该命题注意了直线在平面内，但不能保证这两条直线都与棱垂直，如下图(乙)，在正方体AC1中，平面AD1⊥平面AC，AD1平面ADD1A，AB平面ABCD，且AB⊥AD1即AB与AD1相互垂直，但AD1与平面ABCD不垂直.(3)如图乙所示，正方体AC1中，平面ADD1A1⊥平面ABCD，AD1平面ADD1A1，AC平面ABCD，AD1与AC所成的角为60°,即AD1与AC不垂直.乙答案：①②③主要考察知识点:空间直线和平面用心爱心专心3、已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为，则侧面与底面所成的二面角等于_________.参考答案与解析:解析：∵底面对角线长，∴底面边长为，从而利用体积得四棱锥的高为3，所求二面角的正切为.∴侧面与底面所成的二面角为.答案：主要考察知识点:空间直线和平面4、如图所示五个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出l⊥面MNP的图形的序号是_____________.参考答案与解析:解析：由于线面垂直的关键是转化为证线线垂直，角观察l与面MNP的各边是否垂直.答案：①④⑤主要考察知识点:空间直线和平面三、解答题【共6道小题】1、正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G分别是棱DA、DC、DD1的中点，试找出过正方体的三个顶点且与平面EFG平行的平面，并证明.参考答案与解析:解析证明：过A、C、D1的平面与平面EFG平行.由E、F、G是棱DA、DC、DD1的中点可得GE∥AD1，GP∥CD1.又GE平面EFG，GF平面EFG.∴AD1∥平面EFG，CD1∥平面EFG.又AD1∩CD1=D1，∴平面EFG∥平面ACD1.主要考察知识点:空间直线和平面2、如图，已知ABCD是矩形，E是以CD为直径的半圆周上一点，且面CDE⊥面ABCD.用心爱心专心求证：CE⊥平面ADE.参考答案与解析:解析：CE⊥面ADE.主要考察知识点:空间直线和平面3、如图，在△ABC中，∠BAC=60°，线段AD⊥平面ABC，AH⊥平面DBC，H为垂足.求证：H不可能是△BCD的垂心.参考答案与解析:解析：证明“不可能”无法下手，从反面“可能”考虑，用反证法证明.证明：假设H是△BCD的垂心，则BH⊥CD.∵AH⊥平面DBC，DC平面DBC，∴AH⊥DC.∵AH∩BH＝H,∴CD⊥平面ABH.又AB平面ABH,∴CD⊥AB.∵AD⊥平面ABC，AB平面ABC,∴AD⊥AB.由于AD∩CD＝D,∴AB⊥平面ACD.∵AC平面ACD,∴AB⊥AC.这与已知中∠BAC＝60°相矛盾.∴假设不成立.故H不可能是△BCD的垂心.点评：(1)“不可能”类型的问题用反证法证明.“不可能”的反面是“可能”.(2)注意反证法的证题过程.实际上∠BAC只要不是90°，这个题型的方法总是一样的.主要考察知识点:空间直线和平面4、如图ABCD—A1B1C1D1是正四棱柱，侧棱长为1，底面边长为2，E是棱BC的中点.(1)求三棱锥D1—DBC的体积；(2)证明BD1∥平面C1DE；(3)求面C1DE与面CDE所成二面角的正切值.用心爱心专心参考答案与解析:解析：(1)解析：.(2)证明：记D1C与DC1的交点为O，连结OE.∵O是CD1的中点，E是BC的中点，∴EO∥BD1.∵BD1平面C1DE，EO平面C1DE，∴BD1∥平面C1DE.(3)解析：如图2，过C作CH⊥DE于H，连结C1H.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，C1C⊥平面ABCD，∴C1H⊥DE，∠C1HC是面C1DE与面CDE所成二面角的平面角.∵DC=2，CC1=1，CE=1，∴∴tanC1HC=，即面C1DE与面CDE所成二面角的正切值为.主要考察知识点:空间直线和平面5、已知三棱柱ABC—A1B1C1中底面边长和侧棱长均为a，侧面A1ACC1⊥底面ABC，A1B=.(1)求异面直线AC与BC1所成角的余弦值；(2)求证：A1B⊥面AB1C.用心爱心专心参考答案与解析:解析：如图过点B作BO⊥AC,垂足为点O，则BO⊥侧面ACC1A1，连结A1O.在Rt△A1BO中，A1B=，BO=，∴A1O=，又AA1=a，AO=，∴△A1AO为直角三角形.∴A1O⊥AC，A1O⊥底面ABC.(1)∵A1C1∥AC，∴∠BC1A1或其补角为异面直线AC与BC1所成的角.∵A1O面ABC，AC⊥BO，∴AC⊥A1B，∴A1C1⊥A1B.在Rt△A1BC1中，A1B=a，A1C1=a，∴BC1=，∴cos∠BC1A1=.∴异面直线AC与BC1所成角的余弦值为.(2)∵四边形ABB1A1为菱形，∴AB1⊥A1B.又A1B⊥AC，∴A1B⊥面AB1C.主要考察知识点:空间直线和平面6、已知正方形ABCD，E、F分别是AB、CD的中点，将△ADE沿DE折起，如图所示，记二面角A-DE-C的大小为θ(0＜θ＜π).用心爱心专心(1)证明BF∥平面ADE；(2)若