学案数系的扩充与复数的引入

学案72数系的扩充与复数的引入导学目标：1.理解复数的基本概念.2.理解复数相等的充要条件.3.了解复数的代数表示法及其几何意义.4.会进行复数代数形式的四则运算.5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．自主梳理1．数系的扩充数系扩充的脉络是：________→________→________，用集合符号表示为________⊆________⊆________，实际上前者是后者的真子集．2．复数的有关概念(1)复数的概念形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的________和________．若________，则a＋bi为实数，若________，则a＋bi为虚数，若________________，则a＋bi为纯虚数．(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔____________(a，b，c，d∈R)．(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔____________(a，b，c，d∈R)．(4)复平面建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面．______叫做实轴，______叫做虚轴．实轴上的点表示________；除原点外，虚轴上的点都表示________；各象限内的点都表示____________．复数集C和复平面内________组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以________为起点的向量组成的集合也是一一对应的．(5)复数的模向量OZ→的模r叫做复数z＝a＋bi的模，记作______或________，即|z|＝|a＋bi|＝____________.3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝______________；②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝________________；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝________________；④除法：z1z2＝a＋bic＋di＝a＋bic－dic＋dic－di＝________________________(c＋di≠0)．(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、z3∈C，有z1＋z2＝________，(z1＋z2)＋z3＝______________________.自我检测1．(2011·山东)复数z＝2－i2＋i(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．(2011·广东)设复数z满足(1＋i)z＝2，其中i为虚数单位，则z等于()A．1＋iB．1－iC．2＋2iD．2－2i3．(2011·大纲全国)复数z＝1＋i，z为z的共轭复数，则zz－z－1等于()A．－2iB．－iC．iD．2i4．(2011·重庆)复数i2＋i3＋i41－i等于()A．－12－12iB．－12＋12iC.12－12iD.12＋12i5．(2011·江苏)设复数z满足i(z＋1)＝－3＋2i(i为虚数单位)，则z的实部是________.探究点一复数的基本概念例1设m∈R，复数z＝(2＋i)m2－3(1＋i)m－2(1－i)．(1)若z为实数，则m＝________；(2)若z为纯虚数，则m＝________.变式迁移1已知复数z＝a2－7a＋6a2－1＋(a2－5a－6)i(a∈R)，试求实数a分别取什么值时，z分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．探究点二复数的四则运算例2(2010·全国Ⅱ)复数3－i1＋i2等于()A．－3－4iB．－3＋4iC．3－4iD．3＋4i变式迁移2计算：(1)－1＋i2＋ii3；(2)1＋2i2＋31－i2＋i；(3)1－3i3＋i2.例3(2011·唐山模拟)计算：－23＋i1＋23i＋21＋i2012＋4－8i2－－4＋8i211－7i.变式迁移3(1)(2010·四川)i是虚数单位，计算i＋i2＋i3等于()A．－1B．1C．－iD．i(2)(2010·福建)i是虚数单位，(1＋i1－i)4等于()A．iB．－iC．1D．－1(3)i是虚数单位，1＋i1－i2＋1－i1＋i2等于()A．iB．－iC．1D．－1探究点三复数的点坐标表示例4如图所示，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0，3＋2i，－2＋4i，试求：(1)AO→所表示的复数，BC→所表示的复数；(2)对角线CA→所表示的复数；(3)求B点对应的复数．变式迁移4(2011·江苏苏北四市期末)复数z1＝3＋4i，z2＝0，z3＝c＋(2c－6)i在复平面内对应的点分别为A，B，C，若∠BAC是钝角，则实数c的取值范围为________________．1.复数a＋bi实数b＝0虚数――→b≠0纯虚数a＝02．乘法法则：(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；除法法则：a＋bic＋di＝a＋bic－dic2＋d2＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i(c＋di≠0)．特别地：(a±bi)2＝a2±2abi－b2＝a2－b2±2abi，(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2.3．进行复数运算时，熟记以下结果有助于简化运算过程：(1)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N)；(2)(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，1＋i1－i＝i，1－i1＋i＝－i.(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2011·江西)若z＝1＋2ii，则复数z等于()A．－2－iB．－2＋iC．2－iD．2＋i2．(2010·北京)在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是()A．－4＋8iB．8＋2iC．2＋4iD．4＋i3．(2011·平顶山调研)若θ∈(3π4，5π4)，则复数(cosθ＋sinθ)＋(sinθ－cosθ)i在复平面内所对应的点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．(2011·课标全国)复数2＋i1－2i的共轭复数是()A．－35iB.35iC．－iD．i5．下面四个命题：①0比－i大；②两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数；③x＋yi＝1＋i的充要条件为x＝y＝1；④如果让实数a与ai对应，那么实数集与纯虚数集一一对应．其中正确命题的个数是()A．0B．1C．2D．3二、填空题(每小题4分，共12分)6．已知z1＝2＋i，z2＝1－3i，则复数i＋z2z1的虚部为______．7．已知复数z1＝m＋2i，z2＝3－4i，若z1z2为实数，则实数m＝________.8．(2011·上海九校联考)复数z＝x＋yi(x，y∈R)满足|z－1|＝x，则复数z对应的点Z(x，y)的轨迹方程为__________．三、解答题(共38分)9．(12分)已知|z|－z＝1－2i，求复数z.10．(12分)(2011·上海)已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2.11．(14分)已知m∈R，复数z＝mm－2m－1＋(m2＋2m－3)i，当m为何值时，(1)z∈R；(2)z是纯虚数；(3)z对应的点位于复平面第二象限；(4)z对应的点在直线x＋y＋3＝0上．学案72数系的扩充与复数的引入自主梳理1．自然数系有理数系实数系NQR2.(1)实部虚部b＝0b≠0a＝0且b≠0(2)a＝c，b＝d(3)a＝c，b＝－d(4)x轴y轴实数纯虚数非纯虚数所有的点原点O(5)|z||a＋bi|a2＋b23．(1)①(a＋c)＋(b＋d)i②(a－c)＋(b－d)i③(ac－bd)＋(ad＋bc)i④ac＋bd＋bc－adic2＋d2(2)z2＋z1z1＋(z2＋z3)自我检测1．D[∵z＝2－i2＋i＝2－i22＋i2－i＝4－4i－15＝35－45i，∴复数z对应的点的坐标为(35，－45)，在第四象限．]2．B[方法一设z＝x＋yi，则(1＋i)(x＋yi)＝x－y＋(x＋y)i＝2，故应有x－y＝2，x＋y＝0，解得x＝1，y＝－1，故z＝1－i.方法二z＝21＋i＝21－i1＋i1－i＝1－i.]3．B[∵z＝1＋i，∴z＝1－i，∴z·z＝|z|2＝2，∴z·z－z－1＝2－(1＋i)－1＝－i.]4．C[i2＋i3＋i41－i＝－1－i＋11－i＝－i1－i＝－i1＋i1－i1＋i＝1－i2＝12－12i.]5．1解析设z＝a＋bi(a、b∈R)，由i(z＋1)＝－3＋2i，得－b＋(a＋1)i＝－3＋2i，∴a＋1＝2，∴a＝1.课堂活动区例1解题导引根据复数z为实数、虚数及纯虚数的概念，利用它们的充要条件可分别求出相应的m值．利用概念解题时，要看准实部与虚部．(1)1或2(2)－12解析z＝(2m2－3m－2)＋(m2－3m＋2)i.(1)若z为实数，则m2－3m＋2＝0.∴m＝1或2.(2)若z为纯虚数，则2m2－3m－2＝0，m2－3m＋2≠0，解得m＝－12.变式迁移1解(1)当z为实数时，则有a2－5a－6＝0a2－1≠0，∴a＝－1或a＝6a≠±1，∴a＝6，即a＝6时，z为实数．(2)当z为虚数时，则有a2－5a－6≠0且a2－1≠0，∴a≠－1且a≠6且a≠±1.∴a≠±1且a≠6.∴当a∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1,6)∪(6，＋∞)时，z为虚数．(3)当z为纯虚数时，有a2－5a－6≠0a2－7a＋6a2－1＝0a2－1≠0，∴a≠－1且a≠6a＝6a≠±1.∴不存在实数a使z为纯虚数．例2解题导引复数的加减运算类似于实数中的多项式的加减运算(合并同类项)，复数的乘除运算是复数运算的难点，在乘法运算中要注意i的幂的性质，区分(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2与(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；在除法运算中，关键是“分母实数化”(分子、分母同乘以分母的共轭复数)，此时要注意区分(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2与(a＋b)·(a－b)＝a2－b2，防止实数中的相关公式与复数运算混淆，造成计算失误．A[3－i1＋i2＝3－i1－i22＝2－4i22＝(1－2i)2＝－3－4i.]变式迁移2解(1)－1＋i2＋ii3＝－3＋i－i＝－1－3i.(2)1＋2i2＋31－i2＋i＝－3＋4i＋3－3i2＋i＝i2＋i＝i2－i5＝15＋25i.(3)1－3i3＋i2＝3＋i－i3＋i2＝－i3＋i＝－i3－i4＝－14－34i.例3解题导引注意in(n∈N)的周期性，i4k＋1＝i，i4k＋2＝－1，i4k＋3＝－i，i4k＝1(其中k∈N)，以及(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，1＋i1－i＝i，1－i1＋i＝－i等运算结果在解题中的应用，运算的最后结果化为a＋bi(a，b∈R)的形式．解原式＝－23＋i1－23i12＋232＋21＋i21006＋4－8i2－4－8i211－7i＝13i13＋1i1006＋0＝i＋(－i)1006＝i＋i2＝i－1＝－1＋i.变式迁移3(1)A(2)C(3)D解析(1)i＋i2＋i3＝i＋(－1)＋(－i)＝－1.(2)(1＋i1－i)4＝[(1＋i1－i)2]2＝(2i－2i)2＝1.(3)1＋i1－i2＋1－i1＋i2＝1＋i－2i＋1－i2i＝－1－i＋1－i2i＝－2i2i＝－1.例4解题导引根据复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数，只要找出所求向量的始点和终点，或者用