宁德师专期末试卷(5)

宁德师专《常微分方程》期末考试卷(5)姓名____________班级________座号__________成绩一、填空题：（每小题3分，5×3=15分）1．方程0d)1(1)d(22yxyxyx所有常数解是．2．方程04yy的基本解组是．3．方程1ddyxy满足解的存在唯一性定理条件的区域是．4．函数组)(,),(),(21xxxn在区间I上线性无关的条件是它们的朗斯基行列式在区间I上恒不等于零．5．若)(),(21xyxy是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们（有或无）共同零点．二、选择题：（每小题3分，5×3=15分）1.设112()()()()pyxcyxcyxyx是方程1yyy的通解，则lim()xyx（A）0（B）1（C）（D）-12．方程1332ddyyx过点(0,0)共有（）个解．（A）无数（B）一（C）两（D）三3．n阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（）个．（A）n+2（B）n-1（C）n+1（D）n4．一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差（）．（A）不是其对应齐次微分方程组的解（B）是非齐次微分方程组的解（C）是其对应齐次微分方程组的解（D）是非齐次微分方程组的通解5．如果),(yxf，yyxf),(都在xoy平面上连续，而且),(yxf有界，则方程),(ddyxfxy的任一解的存在区间（）．（A）必为),(（B）必为),0(（C）必为)0,(（D）将因解而定三、计算题:求下列方程的通解或通积分：（每小题8分，8×4=32分）1.2d2dyxxyxy2.2(e)dd0xxyxxy3.cosxxt4．022xyyy四、设函数()x连续，而且满足00()()()xxxxettdtxtdt，求()x.（10分）五、求解下列微分方程组234dxxydtdyxydt满足初始条件1(0)0的解.（10分）2、设)(1xy和)(2xy是方程0)(yxqy的任意两个解，求证它们的伏朗斯基行列式cxw)(，其中c为常数.六、证明题：（每小题9分，9×2=18分）1、在方程0)()(yxqyxpy中，已知)(xp，)(xq在),(上连续．求证：该方程的任一非零解在xoy平面上不能与x轴相切．宁德师专数学系《常微分方程》期末考试卷(5)评分标准既参考答案一、填空题：（每小题3分，5×3=15分）1．1,1xy2．xx2cos,2sin3．}0),{(2yRyxD，（或不含x轴的上半平面）4．充分5．没有二、选择题：（每小题3分，5×3=15分）1、B2、A3、D4、C5、A三、求下列一阶微分方程的通解：（每小题8分，8×4=32分）1、解将方程变为22(1)xydydxx……….........（4分）从而得221ln(1)2yxc（c为任意的常数）……………（4分）2、解将方程变为2eddd0xxxxyyx……（2分）积分因子为21)(xx……（2分）于是原方程化为2dded0xxyyxxx……（2分）故原方程的通解为e,xyCx（2分）3、解特征方程为310，得12,3131,2i………（3分）由于i不是特征根，因此设非齐次方程的特解(cossin)xAtBt，代入原方程得12AB，所以特解为1(cossin)2xtt…（3分）故原方程的通解为1233123221(cossin)(cossin)2ttxectctcett……………（2分）4、解方程改为2()()0yyx（2分）于是有21yyxc…（2分）即21ydyxdxcdx（2分）故原方程的通解为23121123yxcxc（2分）四、解两边关于x求一阶导数，有0()()xxxetdt……………（2分）两边关于x再求一阶导数，得()()xxex…（3分）即()()xxxe而且(0)(0)1而方程()()xxxe的解表示为121()cossin2xxcxcxe（3分）由(0)(0)1，可得111()cossin222xxxxe（2分）五、求解下列微分方程组解方程组的特征方程为21232034AE特征根为11，22…（2分）11对应的特征向量应满足0014321111ba可解得1,111ba（2分）类似22对应的特征向量分量为222,3ab…（2分）所以，原方程组的的基解矩阵为22e2e()e3ettttt…（2分）方程满足初始条件1(0)0的解表示为212132()()(0)033tttteettee…（2分）六、证明题：（每小题9分，9×2=18分）1、证明：由已知条件可知，该方程在整个xoy平面满足解的存在惟一性及解的延展定理条且任一解的存在区都是),(．（2分）显然，该方程有零解0)(xy（2分）假设该方程的任一非零解)(1xy在x轴上某点0x处与x轴相切，即有)()(0101xyxy=0，那么由解的惟一性及该方程有零解0)(xy（2分）可知),(,0)(1xxy，这与)(1xy是非零解矛盾，所以该方程的任一非零解在xoy平面上不能与x轴相切．（3分）2、证明：)(1xy和)(2xy它们构成的伏朗斯基行列式1212()()()()()xxwxxx…（3分）1212()()()()()xxwxxx………………（3分）由于)(1xy和)(2xy是方程0)(yxqy的解，因此1122()()()0,()()()0xqxxxqxx所以()0wx，故()wxc………（3分）