概率论公式总结

概率论与数理统计-1-第1章随机事件及其概率加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当P(AB)＝0时，P(A+B)=P(A)+P(B)减法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)当BA时，P(A-B)=P(A)-P(B)当A=Ω时，P(B)=1-P(B)乘法公式乘法公式：)/()()(ABPAPABP更一般地，对事件A1，A2，…An，若P(A1A2…An-1)0，则有21(AAP…)nA)|()|()(213121AAAPAAPAP……21|(AAAPn…)1nA。独立性①两个事件的独立性设事件A、B满足)()()(BPAPABP，则称事件A、B是相互独立的。若事件A、B相互独立，且0)(AP，则有)()()()()()()|(BPAPBPAPAPABPABP②多个事件的独立性设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C）全概公式)|()()|()()|()()(2211nnBAPBPBAPBPBAPBPAP。贝叶斯公式njjjiiiBAPBPBAPBPABP1)/()()/()()/(，i=1，2，…n。此公式即为贝叶斯公式。)(iBP，（1i，2，…，n），通常叫先验概率。)/(ABPi，（1i，2，…，n），通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。第二章随机变量及其分布连续型随机变量的分布密度设)(xF是随机变量X的分布函数，若存在非负函数)(xf，对任意实数x，有xdxxfxF)()(，则称X为连续型随机变量。)(xf称为X的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。密度函数具有下面性质：0)(xf。1)(dxxf离散与连续型随机变量的关系dxxfdxxXxPxXP)()()(。积分元dxxf)(在连续型随机变量理论中所起的作用与kkpxXP)(在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。概率论与数理统计-2-（5）八大分布0-1分布P(X=1)=p,P(X=0)=q二项分布在n重贝努里试验中，设事件A发生的概率为p。事件A发生的次数是随机变量，设为X，则X可能取值为n,,2,1,0。knkknnqpCkPkXP)()(，其中nkppq,,2,1,0,10,1，则称随机变量X服从参数为n，p的二项分布。记为),(~pnBX。当1n时，kkqpkXP1)(，1.0k，这就是（0-1）分布，所以（0-1）分布是二项分布的特例。泊松分布设随机变量X的分布律为ekkXPk!)(，0，2,1,0k，则称随机变量X服从参数为的泊松分布，记为)(~X或者P()。超几何分布),min(,2,1,0,)(nMllkCCCkXPnNknMNkM随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布，记为H(n,N,M)。几何分布,3,2,1,)(1kpqkXPk，其中p≥0，q=1-p。随机变量X服从参数为p的几何分布，记为G(p)。均匀分布设随机变量X的值只落在[a，b]内，其密度函数)(xf在[a，b]上为常数ab1，即,0,1)(abxf其他设X为随机变量，x是任意实数，则函数)()(xXPxF称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。)()()(aFbFbXaP可以得到X落入区间],(ba的概率。分布函数)(xF表示随机变量落入区间（–∞，x]内的概率。1.,1)(0xFx；2。)(xF是单调不减的函数，即21xx时，有)(1xF)(2xF；3。0)(lim)(xFFx，1)(lim)(xFFx；4。)()0(xFxF，即)(xF是右连续的；5.)0()()(xFxFxXP。对于离散型随机变量，xxkkpxF)(；对于连续型随机变量，。xdxxfxF)()(a≤x≤b当a≤x1x2≤b时，X落在区间（21,xx）内的概率为abxxxXxP1221)(概率论与数理统计-3-指数分布其中0，则称随机变量X服从参数为的指数分布。X的分布函数为正态分布设随机变量X的密度函数为其中、0为常数，则称随机变量X服从参数为、的正态分布或高斯（Gauss）分布，记为),(~2NX。)(xf具有如下性质：1°)(xf的图形是关于x对称的；2°当x时，21)(f为最大值；若),(~2NX，则X的分布函数为)(x是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。Φ(-x)＝1-Φ(x)且Φ(0)＝21。如果X~),(2N，则。函数分布离散型已知X的分布列为,,,,,,,,)(2121nnipppxxxxXPX，)(XgY的分布列（)(iixgy互不相等）如下：,,,,),(,),(),()(2121nnipppxgxgxgyYPY，若有某些)(ixg相等，则应将对应的ip相加作为)(ixg的概率。)(xf,xe0x,0,0x,)(xF,1xe0x,,0x0。记住积分公式!0ndxexxn222)(21)(xexfdtexFxt222)(21)(X)1,0(~N1221)(xxxXxP概率论与数理统计-4-连续型先利用X的概率密度fX(x)写出Y的分布函数FY(y)＝P(g(X)≤y)，再利用变上下限积分的求导公式求出fY(y)。第三章二维随机变量及其分布连续型对于二维随机向量),(YX，如果存在非负函数),)(,(yxyxf，使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D，即D={(X,Y)|axb,cyd}有DdxdyyxfDYXP,),(}),{(则称为连续型随机向量；并称f(x,y)为=（X，Y）的分布密度或称为X和Y的联合分布密度。分布密度f(x,y)具有下面两个性质：（1）f(x,y)≥0;（2）.1),(dxdyyxf离散型与连续型的关系dxdyyxfdyyYydxxXxPyYxXP)()()(，，，边缘分布离散型X的边缘分布为),2,1,()(jipxXPPijjii；Y的边缘分布为),2,1,()(jipyYPPijijj。连续型X的边缘分布密度为；dyyxfxfX),()(Y的边缘分布密度为.),()(dxyxfyfY离散型jiijppp有零不独立连续型f(x,y)=fX(x)fY(y)直接判断，充要条件：①可分离变量②正概率密度区间为矩形随机变量的函数若X1,X2,…Xm,Xm+1,…Xn相互独立，h,g为连续函数，则：h（X1，X2,…Xm）和g（Xm+1,…Xn）相互独立。特例：若X与Y独立，则：h（X）和g（Y）独立。例如：若X与Y独立，则：3X+1和5Y-2独立。概率论与数理统计-5-函数分布Z=X+Y根据定义计算：)()()(zYXPzZPzFZ态分布的和仍为正态分布（222121,）。n个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。iiiC，iiiC222Z=max,min(X1,X2,…Xn)若nXXX21,相互独立，其分布函数分别为)()()(21xFxFxFnxxx，，则Z=max,min(X1,X2,…Xn)的分布函数为：)()()()(21maxxFxFxFxFnxxx)](1[)](1[)](1[1)(21minxFxFxFxFnxxx2分布设n个随机变量nXXX,,,21相互独立，且服从标准正态分布，可以证明它们的平方和niiXW12我们称随机变量W服从自由度为n的2分布记为所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数。2分布满足可加性：设),(2iinY则).(~2112kkiinnnYZt分布设X，Y是两个相互独立的随机变量，且),(~),1,0(~2nYNX可以证明函数nYXT/我们称随机变量T服从自由度为n的t分布，记为T～t(n)。)()(1ntntW～)(2n概率论与数理统计-6-F分布设)(~),(~2212nYnX，且X与Y独立，可以证明21//nYnXF我们称随机变量F服从第一个自由度为n1，第二个自由度为n2的F分布，记为F～f(n1,n2).),(1),(12211nnFnnF第四章随机变量的数字特征（1）一维随机变量的数字特征离散型连续型期望期望就是平均值设X是离散型随机变量，其分布律为P(kxX)＝pk，k=1,2,…,n，nkkkpxXE1)(（要求绝对收敛）设X是连续型随机变量，其概率密度为f(x)，dxxxfXE)()(（要求绝对收敛）函数的期望Y=g(X)nkkkpxgYE1)()(Y=g(X)dxxfxgYE)()()(方差D(X)=E[X-E(X)]2，标准差)()(XDX，kkkpXExXD2)]([)(dxxfXExXD)()]([)(2（2）期望的性质（1）E(C)=C（2）E(CX)=CE(X)（3）E(X+Y)=E(X)+E(Y)，niniiiiiXECXCE11)()(（4）E(XY)=E(X)E(Y)，充分条件：X和Y独立；充要条件：X和Y不相关。概率论与数理统计-7-（3）方差的性质（1）D(C)=0；E(C)=C（2）D(aX)=a2D(X)；E(aX)=aE(X)（3）D(aX+b)=a2D(X)；E(aX+b)=aE(X)+b（4）D(X)=E(X2)-E2(X)（5）D(X±Y)=D(X)+D(Y)，充分条件：X和Y独立；充要条件：X和Y不相关。D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2E[(X-E(X))(Y-E(Y))]，无条件成立。而E(X+Y)=E(X)+E(Y)，无条件成立。（4）常见分布的期望和方差期望方差0-1分布),1(pBp)1(pp二项分布),(pnBnp)1(pnp泊松分布)(P几何分布)(pGp121pp超几何分布),,(NMnHNnM11NnNNMNnM均匀分布),(baU2ba12)(2ab指数分布)(e121正态分布),(2N2分布2n2nt分布02nn(n2)二维随机变量期望niiipxXE1)(njjjpyYE1)(dxxxfXEX)()(dyyyfYEY)()(函数的期望)],([YXGE＝ijijjipyxG),()],([YXGE＝－－dxdyyxfyxG),(),(概率论与数理统计-8-数字特征方差iiipXExXD2)]([)(jjjpYExYD2)]([)(dxxfXExXDX)()]([)(2dyyfYEyYDY)()]([)(2协方差对于随机变量X与Y，称它们的二阶混合中心矩11为X与Y的协方差或相关矩，记为),cov(YXXY或，即))].())(([(11YEYXEXEXY与记号XY相对应，X与Y的方差D（X）与D（Y）也可分别记为XX与YY。相关系数对于随机变量X与Y，如果D（X）0,D(Y)0，则称)()(YDXDXY为X与Y的相关系数，记作XY（有时可简记为）。||≤1，当||=1时，称X与Y完全相关：1)(baYXP完全相关，时负相关，当，时正相关，当)0