安徽大学复变函数试卷

第1页共5页安徽大学2011—2012学年第2学期《复变函数》考试试卷（A卷）（闭卷时间120分钟）院/系专业姓名学号座位号题号一二三四总分得分一、判断题（每小题2分，共20分）1.设()(,)(,)fzuxyivxy是C中区域D上的复值函数，0zD，则()fz在0z处复导数0()fz存在的充要条件是(,)uxy，(,)vxy在0z处可微并且满足Cauchy-Riemann方程。·········································（）2.设()fz是C中区域D上的解析函数，并且对任意zD，()fz的实部u与虚部v满足sinuv，则()fz在D上是常数。························（）3.如果()fz是C中区域D上的复值函数，aD，()fz在a处导数'()fa存在，则()fz在a处解析。···········································（）4.设()fz是C中非空单连通开集D内解析函数，存在D中序列{}nz，使得()0nfz且{}nz存在极限点a，则对任意zD，()0fz。··········（）5.如果()fz是C中非空开集D上的复值函数，aD，()fz在{}Da上解析，a是()fz的可去奇点，则()fz是D上的亚纯函数。·················（）6.v是u的共轭调和函数，则u是v的共轭调和函数。··················（）7.如果()fz是{|,||1}zzzC上解析函数，并且是()fz的可去奇点，则()fz在处的留数为零。···········································（）8.一个幂级数在其收敛圆周上的敛散性有三种可能：（1）处处发散，（2）处处收敛，（3）既有收敛点，又有发散点。······························（）9.如果函数()fz在区域D内解析，在D内()0fz，则()fz在D内单叶。·························································（）10.如果0z是()fz的极点，则0z是()fze的本性奇点。···················（）得分得分第2页共5页二、计算题（每小题10分，共50分）1.求单位圆盘到上半平面的所有分式线性变换。2.设()fz是C内的解析函数，,abC，并且ab，计算积分1()d2()()fzzizazb，其中是一条不过,ab的光滑Jordan曲线。3.分别在||1z，1||2z和2||z内将21()2fzzz展成洛朗级数。第3页共5页4.设()(1)zefzzz，1)求()fz在扩充复平面中所有奇点。（3分）2)指出每个奇点的类别。（3分）3)计算()fz在每个孤立奇点处的留数。（4分）5.求64410zz在区域{:1||2}zz内根的个数。第4页共5页三、证明题（每小题10分，共20分）1.设D是围线C的内部，()fz在区域D内解析，在闭域DDC上连续，其模|()|fz在C上为常数M。试证：若()fz不恒等于一个常数，则()fz在D内至少有一个零点。2.设在原点0z附近()fz的洛朗展式为()nnnfzCz。证明：()fz在0z的某邻域内存在原函数的充要条件是10C。四、思考题（每小题5分，共10分）得分得分第5页共5页1.问在点0z处解析，且满足221111(),(),1,2ffnnnnn的函数()fz是否存在？2.设0z是()fz的本性奇点，试问0z是否一定是1()fz的本性奇点？说明理由。