安徽建筑大学《大学物理A2》课堂笔记考试题库---【机械波(一)】刘果红

第五章机械波(一)前言：许多振动系统都不是孤立存在的，它们的周围常有其它物质。当某个系统振动时，它将带动周围同它有一定联系的物体随之一起振动，于是该物体的振动就被周围的物质传播开来，形成波动过程。即：波动是振动的传播过程。波可分为两大类：机械波、电磁波。这两类波虽本质不同，但都有波动的共同特征：具有一定的传播速度，都伴随着能量的传播，且都能产生反射、折射、干涉、衍射等现象。本章讨论六个问题：一、机械波的产生与传播1、产生机械波的条件（1）、波源——是一个在一定条件下的振动系统，是波动能量的供给者。（2）、弹性媒质——是一种用弹性力相互联系着的质点系，它是形成机械波、传播机械波所不可缺少的客观物质。2、波动的形成过程首先有一振动系统——波源，在它周围有彼此以弹性力相联系的弹性媒质。产生机械波的条件满足后，波源的振动状态就被周围的介质传播开来，形成了波动。波动形成时有三个要点：A、波动的传播是由近及远的（相对于波源而言），即有先后次序。B、传播的是振动状态或周相，质点本身不向前运动。C、波动在传播时，具有空间周期性和时间周期性3、机械波与机械振动的关系波动是振动的传播过程，而振动是产生波动的根源，这是两者的联系。振动研究的是振动质点离开平衡位置的位移是如何随时间作周期性变化的，即y=f(t)；波动研究的是弹性媒质中不同位置彼此以弹性力相联系的质点群，它们的位移（相对自己的平衡位置）随时间作周期性变化的情况，即y=f(r,t)。对平面谐波而言，讨论的是波线上各质点的运动情况，故有y=f(x,t),这是两者的区别。4、机械波的类型与波速波动按其振动方式的不同，可分为两大类：横波——波的传播方向与质点振动方向垂直。其图象的外形特征是有突起的波峰和凹下的波谷。各质点的振动情况形成一个具有波峰和波谷的正弦或余弦波形。纵波——波的传播方向与质点振动方向相同。其外形特征是具有稀疏和稠密的区域，即各质点的振动形成一个具有密集和稀疏相间的完整波。若将纵波中各质点的位移逆时针转过90度，讨论情况就与横波一致了。横波主要在固体中传播，因为固体能承受切向力；纵波可在固、液、气体中传播，固、液、气体均能承受压力、拉力。（1）固体中的波速（教材156页）Guh（5.7）G为切变弹性模量，为介质的密度。Euz（5.8）E为扬氏弹性模量（2）液体中的波速Buz（5.10）B为容变弹性模量（3）气体中的波速molqMRTu（5.11）molM为气体摩尔质量由此而知，波速只与媒质的性质（弹性、惯性）有关，而和波源无关。而介质中各质点振动的速度v与波源有关。5、波的几何描述由于波动是振动的传播过程，这个“过程”的实现是需要时间和占据空间的。因此我们可以在某一时刻，在空间的某一位置处来考察波动。即从几何的角度来描述波。下面介绍从几何角度来描述波动的两个物理概念：认定波源在某一时刻t的振动位相即波源在该时刻的状态（vx,），考察这一振动位相在媒质中是如何向各个方向传播的。在t+t时刻，这一振动位相正传达到波源周围的一些点上，由这些点所连成的面称波阵面。即同一波阵面上各点的周相是相同的。波阵面是在某一时刻振动所传播到各点的轨迹。波阵面的形状视波源具体情况来定，如：太阳发出的光波，就整个太阳系来看，太阳可看作是点波源，太阳光传播时的波阵面是一系列球面，简称球面波。但在地球表面上（就整个太阳系来说，这是个很小的区域）来看，波阵面则是一系列平面，简称平面波。最前面的波阵面也称波前。沿波的传播方向的直线，称为波线。波线即是波的传播方向。在点波源情况下，波线是垂直于球面沿径向向外的一系列直线；对平面波来说，波线是垂直于波阵面的一系列平行直线。随着t逐渐增加，与每一时刻相应的波阵面也在媒质中向前推进，这就是以波阵面的推进来阐述波的传播面貌。二、定量描述波动的几个物理量及其关系1、波长——波动具有空间周期性和时间周期性，波长是描述空间周期性的物理量，可从不同角度来定义。如：波长是一个完整波的长度，即同一波线上两相邻的周相差为2的质点之间的距离。2、波速u——波速也称相速，即周相传播的速度。也是振动状态的传播速度。它不等于质元的振动速度ttxy),(，u与媒质的性质有关（拍手两声响例子）；而ty由波源的性质而定。3、周期T——周期是反映波动时间周期性的物理量，它是波传过一个波长的时间，一般情况下，就是质点完成一次全振动的时间。Tu在讨论弹性波传播时，曾假设媒质是连续的。因为当远大于媒质分子之间的距离时，媒质中一波长的距离内，有无数个分子在陆续振动，宏观上看来，媒质就象是连续的。若小到等于或小于分子间距离的数量级时，相距约为一波长的两个分子之间，不再存在其它分子，我们就不能认为媒质是连续的了。这时媒质再也不能传播弹性波了。极高时，极小，因此，弹性波在给定媒质中的传播存在着一个频率上限。如在真空中分子间距大，就不能传播声波。三、平面谐波的波动方程在波动过程中，媒质中各质点的位移都在随时间作周期性变化。一般的说，媒质中各个质点的振动情况是很复杂的，由此产生的波动也是很复杂的。当波源处在均匀的无限大各向同性的弹性介质中时，如波源作简谐振动，媒质中各质点重复波源的振动状态，也作简谐振动，其频率与波源的频率相同，振幅也与波源有关，这时的波动称简谐波或余弦波（因为介质中各质元作谐振动，根据谐振动的运动学定义，质元的位移随周相的变化规律满足正弦或余弦函数）。平面谐波就是波阵面是平面的简谐波。为了用数学函数式来描述媒质中各质点的位移是怎样随各质点的平衡位置和时间变化的(各质点的运动有先后之分)，需寻找一个数学表示式),(try来描述一个前进中的波——行波。式中r代表质元的位置，t为时间，y为质元的位移。由于r的任意性，),(try就描述了介质中任意质元的位移随时间的变化关系。即我们寻找的数学函数式可以反映弹性介质中不同质元在不同时刻的位移，这就是波动方程。设有一平面余弦行波，在无吸收的、均匀无限大的媒质中沿x轴正向传播，波速为u，波线是垂直于波阵面的一系列直线。取任一波线作为x轴，来研究波动传播过程中波线上各质点的振动情况（最靠近波源的质点先振动，然后依次带动波线上各质点振动）。由波线的任意性，这一波线上质点的运动情况就代表了媒质中所有波线上质点的运动情况。再取波线上任一点作为计算坐标x的原点。原点确定后，波线上各质元的位置就确定了（如x=1处的质元，x=-1.32处的质元），各质元的位置都是相对于原点而言的。为了清楚地描述波线上各点的振动，我们用x表示各个质点在波线上的平衡位置，用y表示它们的振动位移。值得注意的是，每个质点的振动位移y是对它自己的平衡位置而言。假定在t时刻o点处（x=0）媒质质点的振动方程：cos(0Ay)t，有了振动方程，就知道O处质点的振动状态：（'',',00000yayvy）。其中：0y是0点处质点在时刻t离开平衡位置的位移，0v是0点处质点在时刻t时的速度，0a是O点处质点在时刻t的加速度。这一振动状态以u的速度沿x轴正向传播。设B为波线上任一点，因为振动是从0点传播到B点的，所以B点处的质点振动将落后于0点处的质点，落后的时间为uxtB，这也是振动状态从0点传到B点所需要的时间。就在同一时刻t，B点处质点的振动状态（BBBavy,,）显然不同于0点，由于波动是从左向右传播，所以，B点的振动状态（BBBavy,）是0点处质点在)(uxtB时刻的振动状态。若以0点的振动方程为基准写出B点的振动方程，则有0BxuByx)(cos[uxtAyBB+]由B点的任意性知，在波线上任一点处的质元在任一瞬时的位移：])(cos[uxtAy（1）若把txy,,均看作变量，（1）式就是沿x轴正向前进的平面谐波的波动方程。由uTT,2，])(cos[uxtAy也可写成：])(2cos[xTtAy或])(2cos[utxAy对波动方程的讨论：1、若波沿x反向传播，则B点的振动状态先于0点,波动方程应为：])(cos[txtAy(2)2、将波动方程两边对t求导，得x处质点在任意时刻t的振动速度：])(sin[uxtAtyv（3）注意：uv，由于各质元是重复波源的振动状态，所以质元的振动速度与波源有关。3、波动方程的物理意义1）、波动方程中有两个自变量（tx,），当tconsxtan，即考虑波线上某一给定点处的质点，波动方程变为)(tyy,此时波动方程表示距原点为x处的质点在不同时刻的位移，即表示这个质点作谐振动的情形。波动在传播过程中，波线上各质元都在各自的平衡位置附近作简谐振动，这一点体现了波动的时间周期性。2）、当tconsttan,即在某给定时刻统观波线上所有质点，此时各质点的位移是不同的。波动方程变为)(xyy,相当于某一时刻给波线上各质点拍照，此时各个x处质点的振动状态（avy,,）是不一样的。但沿波线方向，总有一些质点的状态是相同的，这一点体现了波动的空间周期性。3）、若tx,都在变化，波动方程就表示波线上各个不同的质点在不同时刻的位移或波动方程中包括了不同时刻的波形，亦即反映了波形的传播。4、（1）式的适用范围：对（1）式这样的波动方程，一般假定波源在无限远处，如波源在x=-10米处，（1）式只适用于10x米的区域；如波源在x=0处，（1）式只适用于0x的区域。5、写波动方程的步骤：（1）根据题意建立坐标系，写出坐标原点的振动方程。（2）根据题目给出的u的方向，以坐标原点的振动方程为基准，写ty0xxxxy出波动方程。（u与x同向，为uxt;u与x反向，为uxt）（3）如要求波线上任一点的振动方程，只需将该点的x值代入波动方程即可。例1、（赵教材194页5.14题）如图所示，一平面谐波在空间传播，已知P点的振动方程为)cos(0tAyp，（1）分别就图中给出的两种坐标写出其波动方程（2）写出距P点距离为b的Q点的振动方程解（a）：由于波动是从左向右传播，所以0点的振动状态应是P点在（ult）时的状态，所以])(cos[0ultAyo，波动方程为：])(cos[0uluxtAy波Q点的振动方程：将blx代入波动方程得：])(cos[0ubtAyQ（b）：由于P点在坐标原点处，所以])(cos[0uxtAy波])(cos[0ubtAyQ5201、一平面谐波在介质中以速度u=20m/s自左向右传播，已知传播路径上的某点A的振动方程为)4cos(3ty（SI）,另一点D在A点右方9米处,求：bQpyxblQopuyx（a）(b)u（1）若取x轴方向向左，并以A为坐标原点,试写出波动方程，并求D点的振动方程。（2）若取x轴方向向右，以A点左方5米处的O点为x轴原点，再写出波动方程，并求D点的振动方程。解（1）：以A为坐标原点的波动方程为])(4cos[3uxty，将x=-9代入波动方程。即得D点的振动方程：])209(4cos[3tyD=3cos(5144t).(2)：以A点为坐标原点的波动方程为])(4cos[3uxty，将x=5代入波动方程得o点的振动方程：tty4cos3])205(4cos[30再以o点为坐标原点的波动方程为：)20(4cos3xty将x=14代入波动方程，D点的振动方程：Dy=3cos(5144t).3084、一平面简谐波沿x轴正向传播，其振幅和圆频率分别为,A，波速为u，设0t时的波形曲线如图，（1）写出此波的波动方程；（2）求距0点8处质点的振动方程；（3）求该质点在0t时的振动速度。ADxuoADuyxy2。原点处质点的振动方程：)2cos(tAy，故波动方程为：]2)(cos[uxtAy。将8x代入波动方程得该处质点的振动方程：)4cos(8tAy。将0t代入