中考数学压轴题破解策略专题3《函数图象的公共点》

1专题3《函数图象的公共点》破解策略根据公共点的个数，求待定系数的取值范围的一般步骤为：（1）画图．（2）确定待定系数所在位置，明确图象的变化趋势．例如：①直线y＝2x＋b．其中待定系数是b．则直线y＝2x＋b与直线y＝2x是平行或重合的；②直线y＝kx－1，其中待定系数是k，则直线y＝kx－1是绕着固定点（0，－l）旋转的；③抛物线y＝ax2＋5．其中待定系数是a，则该抛物线的顶点是固定的，开口大小和方向是变化的；④抛物线y＝x2＋bx＋c，其中待定系数是b，c．则可将一般式化为顶点式，再将抛物线y＝x2上下左右平移得到．（3）找临界点，例题讲解例1若二次函数y＝13x2－23x－1的图象与y轴的交点为A．过点A作直线l∥x轴．将抛物线在y轴左侧部分沿直线l翻折，其余部分保持不变．得到一个新图象，直线y＝13x＋b与新图象只有一个公共点p（x0，y0），且y0≤7，求b的取值范围．解：当直线y＝13x＋b经过点（0，－1）时，得b＝－l，xylO当直线与原抛物线只有一个交点时，令13x2－23x－1＝13x＋b，整理得x2－3x－3－3b＝0．则△＝9＋4（3＋3b）＝0，即b＝－74；当13x2－23x－1＝7时，解得x1＝6，x2＝－4（舍），将（6，7）代入直线y＝13x＋b，得b＝5．结合函数图象，可得当－l＜b≤5或b＜74时，直线与新图象只有一个公共点．2例2若二次函数y＝－x2＋2x＋3的图象与x轴交于A，B两点，将此图象在x轴下方的部分沿x轴翻折·其余部分保持不变，得到一个新图象．当直线y＝kx＋3与新图象恰有三个公共点时，求k的值．解：当直线y＝kx＋3经过点A（－1，0）时，得k＝3;当直线y＝kx＋3经过点B（3，0）时，得k＝－1；当直线与原抛物线只有一个公共点时，令kx＋3＝－x2＋2x＋3，则△＝（k－2）2＝0．即k＝2．结合函数图象．可得当k＝－1，2或3时，直线y＝kx＋3与新图象恰有三个公共点．xy3BA-1O例3已知抛物线L：y＝－12（x－t）（x－t＋4）（常数t＞0）与双曲线y＝6x有个交点的横坐标为x0，且满足4≤x0≤6．通过L位置随t变化的过程，求出t的取值范围．解：如图，双曲线在4≤x0≤6时．1≤y0≤32，所以L与双曲线在点C（4，32）．D（6，1）之间的一段有个交点，圆为抛物线与x轴的两个交点为（t，0）．（t－4，0）（t－4＜t），所以（t，0）在（t－4，0）的右侧．由32＝－12（x－t）（x－t＋4），x＝4．得t1＝5．t2＝7，由1＝－12（x－t）（x－t＋4）．x＝6，得t3＝8－2，t4＝8＋2．因为5＜8－2＜7＜8＋2，所以当t＝5时，L右侧过点C；当t＝8－2时，L右侧过点D；当t＝7时．L左侧过点C；当t＝8＋2时．L左侧过点D;所以5≤t≤8－2，或7≤t≤8＋23xy64DCO例4定义：对于给定的两个函数，任取自变量．x的一个值．当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数；当x≥0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数，例如：一次函数y＝－x－1，它的相关函数为y＝1,01,0.xxxx＜；≥在平面直角坐标系中，点M，N的坐标分别为（12，1）．（92，1）．连结MN．求线段MN与二次函数y＝－x2＋4x＋n的相关函数的图象有两个公共点时，n的取值范围．解由题意可得，二次函数y＝－x2＋4x＋n的相关函数为：22224(2)(4),0y4(2)(4),0.xxnxnxxxnxnx＜；≥①当相关函数的图象经过点（2，1）时，如图，此时n＋4＝1．即n＝－3;xyx=2NMO②当相关函教的图形经过点（0，－1）时，如图，此时n＝－1;xyx=2NMO③当相关函数的图形经过点（0，1）时，如图，此时n＝1；4xyx=2NMO④当相关函数的图形经过点（12，1）时．如图，此时（12）2－4×（12）－n＝1，解得n＝54．xyx=2NMO结合函数图象，满足题意的n的取值范围为－3＜n≤－1或1＜n≤54．例5在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2－2mx＋2（m≠0）与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B，点C，D在x轴上（点C在点D的左侧），且点B的距离都为2，若抛物线与线段BC有两个公共点，结合函数图象，求m的取值范围．yxO解：因为抛物线y＝mx2－2mx＋2＝m（x－1）2＋2－m，所以抛物线的顶点为（1，2－m），对称轴为x＝1，点A（0，2），所以点B的坐标为（1，0），从而点C（－1，0），D（3，0）．5图1DBACyxOCOABDxy图2①若m＞0，如图1．当顶点（1，2－m）位于x轴下方时，抛物线与CD有两个交点．所以2－m＜0，即m＞2．②若m＜0，如图2．若抛物线经过点C，D，则m＋2m＋2＝0，即m＝－23．当m≤－23时，抛物线与CD有两个交点．综上所述，m的取值范围为m＞2或m≤－23．进阶训练1．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x－3与y轴交于点A，点A与点B关于x轴对称，过点B作y轴的垂线l，直线l与直线y＝2x－3交于点C，如果抛物线y＝nx2－4nx＋5n（n＞0）与线段BC有唯一公共点，求n的取值范围．【答案】35≤n＜32或n＝3．【提示】如图，根据题意可得B（0，3），C（3，3），若抛物线经过点B，则n＝35，此时抛物线与线段BC有一个公共点；若抛物线经过点C，则n＝32，此时抛物线与线段BC有两个公共点；当抛物线顶点在直线l上，则n＝3，此时抛物线与线段BC有一个公共点，所以n的取值范围为35≤n＜32或n＝3．6yOACBlx2．在平面直角坐标系xOy中，点P在抛物线y＝12x2―x―4上，过点P作y轴的垂线l，垂足为D（0，d），将抛物线在直线l上方的部分沿直线l翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新图象G．当图象G与直线y＝12x2―2只有两个公共点时，求d的取值范围．【答案】52＜d＜0．【提示】令直线y＝122x与原抛物线的两交点为A，B，则直线l经过点A，B时为临界状态，再结合图象，即可得d的取值范围．OAyxBDl3．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（1，1），B（2，2），双曲线y＝kx与线段AB有公共点，则k的取值范围是________．7OxyAB11【答案】1≤k≤4．【提示】如图，双曲线y＝kx经过点A，B时为满足题意的两种临界状态，当双曲线经过点A时，k＝1；当双曲线经过点B时，k＝4，所以满足题意的k的取值范围为1≤k≤4．OxyAB11