中考数学压轴题破解策略专题9《费马点》

1专题9《费马点》破解策略费马点是指平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，这个最小的距离叫做费马距离．若三角形的内角均小于120°，那么三角形的费马点与各顶点的连线三等分费马点所在的周角；若三角形内有一个内角大于等于120°，则此钝角的顶点就是到三个顶点距离之和最小的点．1.若三角形有一个内角大于等于120°，则此钝角的顶点即为该三角形的费马点如图在△ABC中，∠BAC≥120°，求证：点A为△ABC的费马点证明：如图，在△ABC内有一点P延长BA至C，使得AC＝AC，作∠CAP＝∠CAP，并且使得AP＝AP，连结PP则△APC≌△APC，PC＝PC因为∠BAC≥120°所以∠PAP＝∠CAC≤60所以在等腰△PAP中，AP≥PP所以PA＋PB＋PC≥PP＋PB＋PC＞BC＝AB＋AC所以点A为△ABC的费马点2.若三角形的内角均小于120°，则以三角形的任意两边向外作等边三角形，两个等边三角形外接圆在三角形内的交点即为该三角形的费马点．2如图，在△ABC中三个内角均小于120°，分别以AB、AC为边向外作等边三角形，两个等边三角形的外接圆在△ABC内的交点为O，求证：点O为△ABC的费马点证明：在△ABC内部任意取一点O，；连接OA、OB、OC将△AOC绕着点A逆时针旋转60°，得到△AO′D连接OO′则O′D＝OC所以△AOO′为等边三角形，OO′＝AO所以OA＋OC＋OB＝OO′＋OB＋O′D则当点B、O、O′、D四点共线时，OA＋OB＋OC最小此时ABAC为边向外作等边三角形，两个等边三角形的外接圆在△ABC内的交点即为点O如图，在△ABC中，若∠BAC、∠ABC、∠ACB均小于120°，O为费马点，则有∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝120°，所以三角形的费马点也叫三角形的等角中心3例1如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（－6，0），点B的坐标为（6，0），点C的坐标为（6，34），延长AC至点D使得CD＝AC，过点DE作DE//AB，交BC的延长线于点E，设G为y轴上的一点，点P从直线y＝3x＋36与y轴的交点M出发，先沿y轴到达点G，再沿GA到达点A，若点P在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定点G的位置，使点P按照上述要求到达A所用的时间最短解：∵t＝vGMvvGM22GAGA2∴当2GA＋GM最小时，时间最短如图，假设在OM上存在一点G，则BG＝AG∴MG＋2AG＝MG＋AG＋BG把△MGB绕点B顺时针旋转60°，得到△M′G′B，连结GG′，MM′∴△GG′B、△MM′B都为等边三角形则GG′＝G′B＝GB又∵M′G′＝MG∴MG＋AG＋BG＝M′G′＋GG′＋AG∵点A、M′为定点∴AM′与OM的交点为G，此时MG＋AG＋BG最小∴点G的坐标为（0，32）4例2A、B、C、D四个城市恰好为一个正方形的四个顶点，要建立一个公路系统使得每两个城市之间都有公路相通，并是整个公路系统的总长度为最小，则应当如何修建？解：如图，将△ABP绕点N逆时针旋转60°，得到△EBM；同样，将△DCQ绕点C顺时针旋转60°，得到△FCN，连结AE、DF，则△ABE、△DCF均为等边三角形，连结PM、QN，则△BPM，△CQN均为等边三角形所以当点E，M，P，Q，N，F共线时，整个公路系统的总长取到最小值，为线段EF的长，如图，此时点P，Q在EF上，1＝2＝3＝4＝30．FNEMBCADPQ进阶训练1．如图，在ABC中，ABC＝60，AB＝5，BC＝3，P是ABC内一点，求PA＋PB＋PC的最小值，并确定当PA＋PB＋PC取得最小值时，APC的度数．5BCAP答案：PA＋PB＋PC的最小值为7，此时APC＝120．P'A'PACBE【提示】如图，将APB绕点B逆时针旋转60，得到A'BP'，连结PP'，A'C．过点A'作A'EBC，交CB的延长线于点E．解RtA'EC求A'C的长，所得即为PA＋PB＋PC的最小值．2．如图，四边形ABCD是正方形，ABE是等边三角形，M为对角线BD上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60得到BN，连结AM，CM，EN．（1）当M在何处时，AM＋CM的值最小?（2）当M在何处时，AM＋BM＋CM的值最小？请说明理由；（3）当AM＋BM＋CM的最小值为31时，求正方形的边长．NECDBAM答案：（1）当点M落在BD的中点时，AM＋CM的值最小，最小值为AC的长；（2）连结CE，当点M位于BD与CE的交点处时．AM＋BM＋CM的值最小，最小值为CE6的长．（3）正方形的边长为2．【提示】（3）过点E作EFBC，交CB的延长线于点F，解RtEFC即可．NECDABFM