坐标变换和动态数学数学模型的简化.

第三章高动态性能变频调速系统山东大学问题的提出三相异步电动机的动态数学模型坐标变换和动态数学模型的简化矢量控制的变频调速系统直接转矩控制变频调速系统无速度传感器变频调速系统本章提要坐标变换和动态数学模型的简化上节中虽已推导出异步电机的动态数学模型，但是，要分析和求解这组非线性方程显然是十分困难的。在实际应用中必须设法予以简化，简化的基本方法是坐标变换。直流电动机调速性能优异且便于控制是因为其具备以下几个条件：（1）直流电动机的主磁场由直流励磁电流产生，补偿绕组基本上克服了电枢反应，所以一般认为其主磁场是一个稳定的直流磁场。（2）当电刷位于几何中性线上时，电枢磁场与主磁场在空间是垂直的（互差90电角度），是自然解耦的。（3）励磁电流和电枢电流互相独立，各自在不同的回路中，控制简单，易于实现。（4）直流电动机的动态数学模型只有一个输入/输出变量——电枢电压/转速，在工程允许的一些假定条件下，直流电动机可以描述成单输入单输出的二阶线性系统。异步电动机和直流电动机相比有着本质上的区别：（1）三相异步电动机的定子通以三相平衡正弦交流电流，产生一个随时间和空间都在变化的旋转磁场。（2）转子电流也产生旋转磁场，它和定子旋转磁场相位不同，但稳态时都是同步旋转的，在空间上不存在垂直关系。（3）三相异步电动机（鼠笼式）的转子是短路的，只能调节定子电流。（4）异步电动机的数学模型至少是一个七阶的模型，其输入量为电压（电流）和频率，输出量为磁链和转速，是一个多变量系统。在静止的A、B、C坐标系中，异步电动机的数学模型为时变方程组。如果能够简化异步电动机的动态数学模型，从而像直流电动机那样分别独立控制励磁电流和转矩电流，并使它们的磁场在空间位置上也互差90电角度，就可以获得像直流电动机那样优异的调速性能。由以上分析可以推想：坐标变换交流电机的物理模型二、坐标变换坐标变换：从一种坐标轴系转换到另一种坐标轴系的变换矢量控制相关的三种坐标系：静止的三相ABC坐标系、静止的二相、坐标系和旋转的二相d、q坐标系；由机电能量转换的基本原理可知，电动机内气隙磁场是进行能量转换的媒介，由定子侧输入的能量正是通过气隙磁场传递到转子的。在进行坐标变换时，只要能使变换前后产生的气隙基波合成磁势不变（幅值和空间相位相同），两者就是等效的。因此，磁势不变是不同坐标系间进行变换的一项基本原则。（一）坐标变换的原则设在某坐标系下的电路或系统的电压和电流向量分别为u和i，在新的坐标系下，电压和电流向量变成u′和i′，定义新向量与原向量的坐标变换关系为Cuu=u′（3-33）Cii=i′（3-34）其中Cu和Ci分别为电压和电流变换阵。当满足功率不变的约束条件时，Cu和Ci的关系为CuTCi=I（3-35）式中I为单位矩阵。这里对Cu和Ci的选择并没有加任何约束，它们可以是任意的。在一般情况下，为了使变换阵简单易记，令Cu=Ci=C即把电压和电流变换阵取为同一矩阵，则式（3-35）变成CTC=I或CT=C-1（3-36）式（3-36）就是坐标变换满足功率不变的约束条件，且取电压和电流变换阵相同时对变换矩阵的要求，这样的坐标变换属于正交变换。众所周知，交流电机三相对称的静止绕组A、B、C，通以三相平衡的正弦电流时，所产生的合成磁动势是旋转磁动势F，它在空间呈正弦分布，以同步转速1（即电流的角频率）顺着A-B-C的相序旋转。ABCABCiAiBiCFω1图a三相交流绕组（二）3s/2s变换旋转磁动势的产生然而，旋转磁动势并不一定非要三相不可，除单相以外，二相、三相、四相等任意对称的多相绕组，通以平衡的多相电流，都能产生旋转磁动势，当然以两相最为简单。不同电机模型彼此等效的原则是：在不同坐标下所产生的磁动势完全一致。根据电机学原理，异步电动机三相绕组的作用，完全可以用在空间上互相垂直的两个静止的、绕组来代替，如图3-6所示。由三相ABC轴系变换到两相轴系以产生同样的旋转磁势为准则，并需要满足功率不变的约束条件。将交流电机的物理模型等效地变换成类似直流电机的模式，分析和控制就可以大大简化。坐标变换正是按照这条思路进行的。轴系到静止轴系的变换（2）等效的两相交流电机绕组图B两相交流绕组两相静止绕组和，它们在空间互差90°，通以时间上互差90°的两相平衡交流电流，也产生旋转磁动势F。当两个旋转磁动势大小和转速都相等时，即认为图b的两相绕组与图a的三相绕组等效。Fiiω1（3）旋转的直流绕组与等效直流电机模型1FMTimitMT图c旋转的直流绕组，其中分别通以直流电流im和it，产生合成磁动势F，其位置相对于绕组来说是固定的。如果让包含两个绕组在内的整个铁心以同步转速旋转，则磁动势F自然也随之旋转起来，成为旋转磁动势。中的磁动势一样，那么这套旋转的直流绕组也就和前面两套固定的交流绕组都等效了。当观察者也站到铁心上和绕组一起旋转时，在他看来，M和T是两个通以直流而相互垂直的静止绕组。如果控制磁通的位置在M轴上，就和直流电机物理模型没有本质上的区别了。这时，绕组M相当于励磁绕组，T相当于伪静止的电枢绕组。等效的概念由此可见，以产生同样的旋转磁动势为准则，图a的三相交流绕组、图b的两相交流绕组和图c中整体旋转的直流绕组彼此等效。或者说，在三相坐标系下的iA、iB、iC，在两相坐标系下的i、i和在旋转两相坐标系下的直流im、it是等效的，它们能产生相同的旋转磁动势。有意思的是：就图c的M、T两个绕组而言，当观察者站在地面看上去，它们是与三相交流绕组等效的旋转直流绕组；如果跳到旋转着的铁心上看，它们就的的确确是一个直流电机模型了。这样，通过坐标系的变换，可以找到与交流三相绕组等效的直流电机模型。现在的问题是，如何求出iA、iB、iC与i、i和im、it之间准确的等效关系，这就是坐标变换的任务。注意:在这里，不同电机模型彼此等效的原则是：在不同坐标下所产生的磁动势完全一致。三相--两相变换（3/2变换）现在先考虑上述的第一种坐标变换—-在三相静止绕组A、B、C和两相静止绕组、之间的变换，或称三相静止坐标系和两相静止坐标系间的变换，简称3/2变换。、B、C和、两个坐标系，为方便起见，取A轴和轴重合。设三相绕组每相有效匝数为N3，两相绕组每相有效匝数为N2，各相磁动势为有效匝数与电流的乘积，其空间矢量均位于有关相的坐标轴上。由于交流磁动势的大小随时间在变化着，图中磁动势矢量的长度是随意的。N3iAN3iCN3iBN2iβ60o60oCB设磁动势波形是正弦分布的，当三相总磁动势与二相总磁动势相等时，两套绕组瞬时磁动势在、轴上的投影都应相等，)2121(60cos60cosCBA3C3B3A3α2iiiNiNiNiNiN)(2360sin60sinCB3C3B3β2iiNiNiNiN写成矩阵形式，得CBA23β2323021211αiiiNNii（3-37）NN当三相总磁动势与二相总磁动势相等时，并考虑变换前后总功率不变，得代入式（3-37），得CBAβ232302121132αiiiii（3-37-1)表示从三相坐标系变换到两相坐标系的变换矩阵，则3/2111222333022ssC（3-38）三相—两相坐标系的变换矩阵形联结不带零线，则有iA+iB+iC=0，或iC=iAiB。代入式（3-38）并整理后得BAβ221023αiiiiβBAα2161032iiii按照所采用的条件，电流变换阵也就是电压变换阵，同时还可证明，它们也是磁链的变换阵。两相—两相旋转变换（2s/2r变换）从上图等效的交流电机绕组和直流电机绕组物理模型的图b和图c中从两相静止坐标系到两相旋转坐标系d、q变换称作两相—两相旋转变换，简称2s/2r变换其中s表示静止，r表示旋转。把两个坐标系画在一起，即得下图。dqsintiiαφθ1φcosdiβiqisiidω1sindi图中，两相交流电流i、i和两个直流电流id、iq产生同样的以同步转速1旋转的合成磁动势Fs。由于各绕组匝数都相等，可以消去磁动势中的匝数，直接用电流表示，例如Fs可以直接标成is。但必须注意，这里的电流都是空间矢量，而不是时间相量。，T轴和矢量Fs（is）都以转速1旋转，分量id、iq的长短不变，相当于d，q绕组的直流磁动势。但、轴是静止的，轴与d轴的夹角随时间而变化，因此is在、轴上的分量的长短也随时间变化，相当于绕组交流磁动势的瞬时值。βdqsincosiii2s/2r变换公式由图可见，i、i和id、iq之间存在下列关系写成矩阵形式，得αdd2r/2sβqqcossinsincosiiiCiiicossinsincoss2/r2C是两相旋转坐标系变换到两相静止坐标系的变换阵。式中两相旋转—两相静止坐标系的变换矩阵(3-41)对两边都左乘以变换阵的逆矩阵，即得1dααqββcossincossinsincossincosiiiiii(3-40)cossinsincosr2/s2C则两相静止坐标系变换到两相旋转坐标系的变换阵是电压和磁链的旋转变换阵也与电流（磁动势）旋转变换阵相同。两相静止—两相旋转坐标系的变换矩阵电压和磁链的旋转变换与电流的旋转变换相同。dq坐标系产生的气隙磁势同坐标系一样，也正是ABC坐标系中三相绕组产生的气隙旋转磁势。但与坐标系相比，dq坐标系产生该旋转磁势的方法不同：它是在同步旋转的dq线圈中通入两直流量id和iq，合成磁势F1相对dq轴系是静止的，依靠dq轴系本身的同步旋转，使F1成为同步旋转的圆形磁势。正是通过坐标系到dq坐标系的变换，最终将三相正弦交流电流变换为两相直流量。