安徽省黄山市2013届高三第一次联考数学(理)试题

·1·黄山市2013届高中毕业班第一次质量检测数学（理科）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟.参考公式：如果事件AB、互斥，那么()()()PABPAPB.第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．3．m、n是不同的直线，、、是不同的平面，有以下四命题：①若//,//，则//;②若//,m，则m;③若//,mm，则;④若nnm,//，则//m.其中真命题的序号是（）A．①③B．①④C．②③D．②④4．设函数()3cos(2)sin(2)(||)2fxxx，且其图象关于直线0x对称，则（）A.()yfx的最小正周期为，且在(0,)2上为增函数·2·B.()yfx的最小正周期为，且在(0,)2上为减函数C.()yfx的最小正周期为2，且在(0,)4上为增函数D.()yfx的最小正周期为2，且在(0,)4上为减函数5．如右图,若程序框图输出的S是126,则判断框①中应为（）A．?5nB．?6nC．?7nD．?8n6．若定义在R上的偶函数()fx满足(2)()fxfx，且当[0,1]x时，(),fxx则方程3()log||fxx的解个数是（）A．0个B．2个C．4个D．6个7．若{}na是等差数列，首项公差0d，10a，且201320122013()0aaa,则使数列{}na的前n项和0nS成立的最大自然数n是（）A．4027B．4026C．4025D．40248．已知00(,)Mxy为圆222(0)xyaa内异于圆心的一点，则直线200xxyya与该圆的位置关系是（）A、相切B、相交C、相离D、相切或相交9．已知n为正偶数，用数学归纳法证明11111111...2(...)2341242nnnn时，若已假设2(kkn为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证n（）时等式成立（）A．1nkB．2nkC．22nkD．2(2)nk10.已知向量、、满足||1，||||，()()0．若对每一确定的,||的最大值和最小值分别为m、n，则对任意，mn的最小值是（）·3·3主视图俯视图侧视图A．12B．1C．2D．2第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共共5小题，每小题5分，共25分11.为了了解“预防禽流感疫苗”的使用情况，某市卫生部门对本地区9月份至11月份注射疫苗的所有养鸡场进行了调查，根据下图表提供的信息，可以得出这三个月本地区每月注射了疫苗的鸡的数量平均为万只．12.二项式1022xx展开式中的第________项是常数项．13．一个几何体的三视图如右图所示,主视图与俯视图都是一边长为3cm的矩形,左视图是一个边长为2cm的等边三角形,则这个几何体的体积为________．14.已知z=2x+y，x，y满足,2,,yxxyxa且z的最大值是最小值的4倍，则a的值是．15．给出如下四个结论：①若“p且q”为假命题，则p、q均为假命题；②命题“若ab，则221ab”的否命题为“若ab，则221ab”；③若随机变量~(3,4)N，且(23)(2)PaPa，则3a；④过点A（1，4），且横纵截距的绝对值相等的直线共有2条．其中正确结论的序号是______________________________．三、解答题：本大题共共6小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤16.（本小题满分12分）已知函数23sincoscosfxxxxm()Rm的图象过点π(,0)12M.·4·（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.若cos+cos=2coscBbCaB，求()fA的取值范围．17．（本小题满分12分）已知函数()exfxtx（e为自然对数的底数）．（Ⅰ）当et时，求函数()fx的单调区间；（Ⅱ）若对于任意(0,2]x，不等式()0fx恒成立，求实数t的取值范围．18．（本小题满分12分）如图，已知多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，F为CD的中点．（Ⅰ）求证：AF⊥平面CDE；（Ⅱ）求面ACD和面BCE所成锐二面角的大小．19.（本小题满分12分）某高校设计了一个实验学科的实验考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作。规定：至少正确完成其中2题的便可提交通过。已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是32，且每题正确完成与否互不影响。（Ⅰ）分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望；（Ⅱ）试从两位考生正确完成题数的数学期望及至少正确完成2题的概率分析比较两位考生的实验操作能力．20.（本小题满分13分）已知(1,0)F,P是平面上一动点,P到直线:1lx上的射影为点N，且满足1()02PNNFNF（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程;（Ⅱ）过点(1,2)M作曲线C的两条弦,MAMB,设,MAMB所在直线的斜率分别为12kk,,当12kk,变化且满足121kk时，证明直线AB恒过定点，并求出该定点坐标．·5·21.（本小题满分14分）已知数列na满足：232121...2nnaaaann（其中常数*0,nN）．（Ⅰ）求数列na的通项公式；（Ⅱ）求证：当4时，数列na中的任何三项都不可能成等比数列；（Ⅲ）设nS为数列na的前n项和．求证：若任意*nN，(1)3nnSa参考答案一、ACABBCDCBA·6·二、11,90；12，九；13，333cm；14，14；15，②④16.解：（Ⅰ）由311()sin2(1cos2)sin(2)2262fxxxmxm………3分因为点(,0)12M在函数()fx的图象上，所以1sin(2)01262m解得：12m……………………5分（Ⅱ）因为2ccosBbcosCacosB，所以sincossincos2sincosCBBCAB所以sin()2sincosBCAB，即sin2sincosAAB又因为(0,)A，所以sin0A,所以1cos2B……………………9分又因为(0,)B，所以2,33BAC所以270,23666AA，所以1sin(2),162A所以()fA的取值范围是1,12……………………12分17．解：（Ⅰ）当et时，()eexfxx，()eexfx．由()ee0xfx，解得1x；()ee0xfx，解得1x．∴函数()fx的单调递增区间是(1,)；单调递减区间是(,1)．………………5分（Ⅱ）依题意：对于任意(0,2]x，不等式()0fx恒成立，即e0xtx即extx在(0,2]x上恒成立．令e()xgxx，∴2(1)e()xxgxx．·7·当01x时，()0gx；当12x时，()0gx．∴函数()gx在(0,1)上单调递增；在(1,2)上单调递减．所以函数()gx在1x处取得极大值(1)eg，即为在(0,2]x上的最大值．∴实数t的取值范围是(,)e．……………………12分18．解：（Ⅰ）∵DE⊥平面ACD，AF平面ACD，∴DE⊥AF．又∵AC=AD，F为CD中点，∴AF⊥CD，因CD∩DE=D，∴AF⊥平面CDE.………………4分（Ⅱ）取CE的中点Q，连接FQ，因为F为CD的中点，则FQ∥DE，故DE⊥平面ACD，∴FQ⊥平面ACD，又由（Ⅰ）可知FD，FQ，FA两两垂直，以O为坐标原点，建立如图坐标系，则F（0，0，0），C（1，0，0），A（0，0，3），B（0，1，3），E（1，2，0）．(1,1,3),(2,2,0)CBCE………………6分设面BCE的法向量(,,)nxyz，则0,0,nCBnCE即30,220,xyzxy取(1,1,0)n．又平面ACD的一个法向量为(0,1,0)FQ，∴0102cos,2||||2FQnFQnFQn．∴面ACD和面BCE所成锐二面角的大小为45°．19，解：（Ⅰ）设考生甲、乙正确完成实验操作的题数分别为，，则的取值分别为1、2、3，的取值分别,0、1、2、3，122130424242333666131(1),(2),(3)555CCCCCCPPPCCC所以考生甲正确完成实验操作的题数的概率分布列为：123P153515131()1232555E………………5分·8·因为2~(3,)3B,所以考生乙正确完成实验操作的题数的概率分布列为：0123P127627122782716128()0123227272727E………………8分（Ⅱ）因为31412820(2),(2)555272727PP所以(2)(2)PP………………10分从做对题的数学期望考察，两人水平相当；从至少正确完成2题的概率考察，甲通过的可能性大，因此可以判断甲的实验操作能力较强。………………10分20解：（Ⅰ）设曲线C上任意一点P(x,y),又F(1,0)，N(－1,y),从而(1,0),PNx(2,)NFy,11(,)22PNNFxy,211()02022PNNFNFxy化简得y2=4x,即为所求的P点的轨迹C的对应的方程.………………4分（Ⅱ）设11,)Axy（、22,)Bxy（、2224:(21)MBykyxk、2:(1)MBykx将MB与24yx联立，得：2114480kyyk∴1142yk①同理2242yk②而AB直线方程为:211121()yyyyxxxx，即1212124yyyxyyyy③………………8分由①②:y1+y2=12121212121212122()446444,4(1)4(1)kkkkyykkkkkkkkkk代入③，整理得12(1)60kkxyy恒成立………………10分·9·则105606xyxyy故直线AB经过(5,-6)这个定点..………………13分21．解：（Ⅰ）当n＝1时，a1＝3．当n≥2时，因为a1＋a2λ＋a3λ2＋…＋anλn－1＝n2＋2n，①所以a1＋a2λ＋a3λ2＋…＋an－1λn－2＝(n－1)2＋2(n－1)．②－②得anλn－1＝2n＋1，所以an＝(2n＋1)·λn－1（n≥2，n∈N*）．………………3分又a1＝3也适合上式，所以an＝(2n＋1)·λn－1(n∈N*)．……………………4分（Ⅱ）当λ＝4时，an＝(2n＋1)·4n－1．（反证法）假设存在ar，as，at成等比数列，则[(2r＋1)·4r－1]·[(2t＋1)·4t－1]＝(2s＋1)2·42s－2．整理得(2r＋1)(2t＋1)4r＋t－2s＝(2s＋1)2．由奇偶性知r＋t－2s＝0．所以(2r＋1)(2t＋1)＝(r＋t＋1)2，即(r－t)2＝0．这与r≠t矛盾，故不存在这样的正整数r，s，t，使得ar，as，at成等比数列．………8分（Ⅲ）Sn＝3＋5λ＋7λ2＋…＋(2n＋1)λn－1．当λ＝1时，Sn＝3＋5＋7＋…＋(2n＋1)＝n2＋2n．…………10分当λ≠1时，Sn＝3＋5λ＋7λ