垂直于弦的直径(第1课时).

24.1.2垂直于弦的直径赵州桥原名安济桥，俗称大石桥，建于隋炀帝大业年间（595-605年），至今已有1400年的历史，是今天世界上最古老的石拱桥。上面修成平坦的桥面，以行车走人.赵州桥的特点是“敞肩式”，是石拱桥结构中最先进的一种。其设计者是隋朝匠师李春。它的桥身弧线优美，远眺犹如苍龙飞驾，又似长虹饮涧。尤其是栏板以及望栓上的浮雕。充分显示整个大桥堪称一件精美的艺术珍品，称得上是隋唐时代石雕艺术的精品。1991年被列为世界文化遗产.赵州石拱桥1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m).OAB24.1.2垂直于弦的直径———（垂径定理）把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．●O圆绕它的中心旋转任意角度，都能和自身重合，所以旋转180°后也和原图形重合所以圆是中心对称图形活动一：圆是轴对称图形也是中心对称图形如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？思考（1）是轴对称图形．直径CD所在的直线是它的对称轴（2）线段：AE=BE弧:AC=BC,AD=BD⌒⌒⌒⌒·OABCDE活动一：想一想：垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦对的两条弧。CD为⊙O的直径CD⊥AB条件结论⌒⌒⌒⌒AE=BEAC=BCAD=BDDCEOBA上面的思考中·OABCDE垂径定理垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．题设结论（1）直径（2）垂直于弦｝｛（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧①CD是直径②CD⊥AB可推得③AE=BE,⌒⌒⑤AD=BD.⌒⌒④AC=BC,垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．CD⊥AB,几何语言：如图∵CD是直径,∴AE=BE,⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.EOABDCEOCDABEOABDCEABCDOBAEEOABC在下列图形中，你能否利用垂径定理找到相等的线段或相等的圆弧试一试不一定要直径，只要过圆心即可CD是⊙O的直径，如果CD平分弦AB，那么CD⊥AB吗？再思考DCEOBA(1)DCBAO垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．AE=BE,几何语言：如图∵CD是直径,∴CD⊥AB,⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.AE=BE,几何语言：如图∵CD是直径,∴CD⊥AB,⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.DCEOBA垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直并且平分弦所对的两条弧．小结：CD⊥AB,几何语言：如图∵CD是直径,∴AE=BE,⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.一、判断是非：（1）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。（2）平分弦的直线，必定过圆心。（3）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这条直线垂直这条弦。(2)EDCBAO(1)DCBAO小试牛刀二：填空：1、如图：已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，若_____________________________________________________，则CE=DE（只需填写一个你认为适当的条件）2、如图：已知AB是⊙O的弦，OB=4cm，∠ABO=300，则O到AB的距离是___________cm，AB=_________cm.。OAEDCBOAB第1题图第2题图AB⊥CD（或AC=AD，或BC=BD）2H43例题1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．·OABE解：222AOOEAE2222=3+4=5cmAOOEAE∴答：⊙O的半径为5cm.118422AEAB在Rt△AOE中,由勾股定理得OEAB如图，过点O作于点E连接OAOE=3例题解析例题2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．D·OABCE证明：OEACODABABAC90OEAEADODA∴四边形ADOE为矩形，又∵AC=AB1122AEACADAB，∴AE=AD∴四边形ADOE为正方形.∴∵OE⊥ACOD⊥AB方法归纳:解决有关弦的问题时，经常连接半径；过圆心作一条与弦垂直的线段等辅助线，为应用垂径定理创造条件。垂径定理经常和勾股定理结合使用。1．半径为4cm的⊙O中，弦AB=4cm,那么圆心O到弦AB的距离是。2．⊙O的直径为10cm，圆心O到弦AB的距离为3cm，则弦AB的长是。3．半径为2cm的圆中，过半径中点且垂直于这条半径的弦长是。cm32cm328cmEOBACEOBAEOBA巩固练习再逛赵州石拱桥如图，用表示桥拱，所在圆的圆心为O，半径为Rm，经过圆心O作弦AB的垂线OD，D为垂足，与相交于点C.根据垂径定理，D是AB的中点，C是的中点，CD就是拱高.由题设知ABABABAB,2.7,4.37CDABABAD21,7.184.3721DCOCOD.2.7R在Rt△OAD中，由勾股定理，得,222ODADOA.)2.7(7.18222RR即解得R≈27.9（m）.答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m.OABCRD37.47.2R-7.218.71300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m).请围绕以下两个方面小结本节课：1、从知识上学习了什么？２、从方法上学习了什么？课堂小结圆的轴对称性；垂径定理（１）垂径定理和勾股定理结合。（２）在圆中解决与弦有关的问题时常作的辅助线——过圆心作垂直于弦的线段；——连接半径。作业：EDCOABOBCADDOBCAOBACDOBAC