中考数学《二次函数》考点大通关

1中考数学《二次函数》考点大通关二次函数是初中数学的重要内容，也是中考必考的热点内容之一.下面就这部分内容的主要考点分类解析，希望能对读者有所帮助.通关一:求二次函数的解析式(一)利用定义求解例1若函数2221()mmymmx是二次函数，则此二次函数的解析式是.解析:根据二次函数的定义，函数2221()mmymmx是二次函数需满足两个条件:①未知数的系数20mm,②未知数的次数2212mm.由题意，得222120mmmm解得3m.将3m代入2221()mmymmx，得212yx.故填212yx.(二)利用一般式2(0)yaxbxca求解例2如图1，在平面直角坐标系中，一抛物线经过,,ABC三点，且与x轴的另一个交点为点E，它的顶点为点D.(1)求这个二次函数的解析式.(2)求这个二次函数图象的顶点坐标.(3)填空:把这个二次函数的图象沿坐标轴方向最少平移个单位长度，可使得该图象的顶点在原点.解析:由二次函数的一般式2(0)yaxbxca可知，只要知道这个二次函数图象上的三个点的坐标，即可求出该二次函数的解析式.(1)设二次函数的解析式为2(0)yaxbxca.2由图象可知，抛物线经过点(1,0),(0,3),(2,3)ABC.将三个点的坐标代入，得03423abccabc，解得所以这个二次函数图象的解析式为223yxx.(2)因为2223(1)4yxxx,所以这个二次函数图象的顶点坐标为(1，4).(3)因为点(1,4)变为点(0,0)，需要向左平移1个单位长度，向下平移4个单位长度，所以应最少平移5个单位长度，才能使得该图象的顶点在原点.(三)利用顶点式2()(0)yaxhka求解例3在平面直角坐标系中，二次函数2yaxbxc的图象的顶点坐标为(－2，－1),且过点(2,7)，求该二次函数的解析式.解析:当已知抛物线的顶点或对称轴或二次函数的最大(小)值时，将二次函数的解析式设为顶点式2()(0)yaxhka来求解较为简便.根据题意，设二次函数的解析式为2(2)1yax.把(2,7)代入解析式，得27(2)1ax.解得12a.所以该二次函数的解析式为21(2)12yx，即21212yxx.(四)利用交点式12()()(0)yaxxxxa求解例4如图2，在平面直角坐标系中，一抛物线的顶点为点(3,2)P，且抛物线在x轴上截得的线段AB长为4个单位长度，求这个函数的解析式.3解析:当已知二次函数2yaxbxc的图象与x轴有两个交点12(,0),(,0)xx时，将二次函数的解析式设为12()()(0)yaxxxxa来求解比较简便.因为抛物线的顶点为点(3,2)P，且抛物线在x轴上截得的线段AB长为4个单位长度，所以抛物线与x轴的交点分别为点(1,0)A，点(5,0)B.设所求二次函数的解析式为(1)(5)yaxx.将点(3,2)P，得2(31)(35)a.解得12a.所以这个二次函数的解析式为1(1)(5)2yxx，即215322yxx.小结:求二次函数解析式的常用方法是待定系数法.当给定的条件不同时，所设的解析式也不一样，具体如下表所示:通关二:二次函数的图象与系数的关系例5在平面直角坐标系中，二次函数2(0)yaxbxca的图象如图3所示，给出下列四个结论:①240acb,②42acb,③320bc,④()(1)mambbam，其中正确的结论有().4A.4个B.3个C.2个D.1个解析:观察图象，因为抛物线与x轴有两个交点，所以240bac，即240acb.结论①正确.因为抛物线的对称轴是直线1x,抛物线和x轴的一个交点在点(0,0)和点(1,0)之间，所以抛物线和x轴的另一个交点应在点(－3,0)和点(－2,0)之间.所以当2x时，420yabc，即42acb.结论②错误.因为当1x时，0yabc，所以2220abc.又因为2ba,所以320bc.结论③正确.因为抛物线的对称轴是直线1x，所以yabc的值最大.当xm时，2yambmc,所以2ambmcabc，即()mambba.结论④正确.因此，正确的结论有3个.故选B.小结:二次函数2(0)yaxbxca的图象是一条抛物线，开口方向由a决定.当a0时，抛物线开口向上;当a0时，抛物线开口向下.抛物线的对称轴是直线2bxa，顶点坐标是24(,)24bacbaa.通关三:抛物线的平移、旋转和翻折(一)由抛物线的平移来求新得二次函数的解析式例6在平面直角坐标系中，将二次函数21322yxx的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移6个单位长度，所得二次函数的解析式为.解析:本题应先将二次函数的解析式化为顶点式的形式，再根据平移规律确定平移后所得的函数解析式.5因为22131(1)2222yxxx，所以抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移6个单位长度，所得二次函数的解析式应为21(12)262yx,即21(3)82yx，也就是217322yxx.故填217322yxx.(二)由抛物线的旋转来求新得二次函数的解析式例7已知二次函数2365yxx，在平面直角坐标系中，将其图象绕坐标原点顺时针旋转180º，求旋转后的函数解析式.解析:根据旋转的特征可知，将抛物线绕原点旋转180º后，所得到的抛物线与原抛物线的形状相同，但开口方向变化了，顶点横、纵坐标是原抛物线顶点横、纵坐标的相反数.因为22365318yxxx（）所以该抛物线的顶点坐标为(1,8).所以将抛物线绕原点逆时针旋转180º后所得抛物线的顶点坐标为(1,8).所以旋转后的二次函数的解析式为22318365yxxx（）.(三)由抛物线的翻折来求新得二次函数的解析式例8在平面直角坐标系中，将二次函数2243yxx的图象按下列要求进行翻折变换，求翻折后所得二次函数的解析式.(1)沿y轴翻折.(2)沿x轴翻折.解析:(1)抛物线沿y轴翻折只改变抛物线的顶点位置，不改变抛物线的开口方向及开口大小.因为222432(1)5yxxx，所以翻折前抛物线的顶点坐标为(1,5).所以翻折后所得新抛物线的顶点坐标为(1,5).所以翻折后所得新的二次函数的解析式为22(1)5yx，即2243yxx.(2)抛物线沿x轴翻折将同时改变抛物线的开口方向及顶点位置，但抛物线的开口大小不变.因为抛物线沿x轴翻折后所得新抛物线的顶点坐标为(1,5)，所以翻折后所得新的二次函数的解析式为22(1)5yx，即2243yxx.小结:在平面直角坐标系中，将二次函数的图象作平移、旋转或轴对称变换，有如下规6律:通关四:二次函数的图象和性质例9已知二次函数2yaxbxc(其中0,0,0abc)，关于这个二次函数的图象有如下说法:①开口一定向上;②顶点一定在第四象限;③与x轴的交点至少有一个在y轴的右侧.以上说法正确的个数为().A.0B.1C.2D.3解析:因为0a，所以这个二次函数图象的开口一定向上.说法①正确.因为0,0ab，所以这个二次函数图象的对称轴位于y轴的右侧.又由于0c，所以可以判断图象的顶点一定在第四象限.说法②正确.因为图象的开口向上，对称轴位于y轴的右侧，0c，所以图象与x轴的交点只有一个在y轴的右侧.说法③错误.所以说法正确的有2个.故选C.小结:对于二次函数2yaxbxc(0)a的图象，如果0a，那么当2bxa时，y随x的增大而增大，当2bxa时，y随x的增大而减小;如果0a，那么当2bxa时，y随x增大而减小，当2bxa时，y随x的增大而增大.7通关五:利用抛物线的对称轴解题(一)利用对称轴求解析式例10在平面直角坐标系中，二次函数2yaxbxc的图象的顶点坐标为(1,4)，图象与x轴两交点间的距离为6，求此二次函数的解析式.解析:因为抛物线的顶点坐标为(1,4)，所以抛物线的对称轴为直线1x.又因为抛物线与x轴两交点的距离为6,所以两交点的横坐标分别为1213,13xx，即两交点的坐标分别为(4,0)，(2,0)，求函数的解析式有以下两种方法:解法1:设二次函数的解析式为2(1)4yax.把(2,0)代入，解得49a.所以二次函数的解析式为24(1)49yx，即24832999yxx.解法2:设二次函数的解析式为(4)(2)yaxx.把(1,4)代入，解得49a.所以二次函数的解析式为4(4)(2)9yxx，即24832999yxx.(二)利用对称轴比大小例11已知二次函数234yxx，若2133022xx，试比较1y与2y的大小.解析:因为二次函数234yxx的图象的对称轴为直线32x，且1302x，2302x.所以1x在对称轴的左侧，2x在对称轴的右侧.因为1x到对称轴直线32x的距离为132x，2x到对称轴直线32x的距离为232x.因为2133022xx，即2x到对称轴距离大于1x到对称轴的距离，所以21yy.(三)利用对称轴解答方程问题例12若关于x的方程210(0)xpxp的两根之差为1，则p等于().A.2B.48C.3D.5解析:设方程210xpx的两根为12,xx，则二次函数21yxpx的图象与x轴两交点的坐标分别为12(,0),(,0)xx.因为二次函数21yxpx的图象的对称轴为直线2px，所以1211,2222ppxx.因为121xxg，11()()12222pp解得25p.因为0p，所以5p.小结:二次函数2(0)yaxbxca的图象是一条抛物线，对称轴是直线2bxa，如果抛物线与x轴有两个交点的话，那么对称轴垂直平分两交点所连的线段，即两交点到对称轴的距离相等.通关六:二次函数与一元二次方程的联系例13下表是二次函数2yaxbxc的自变量x与函数值y的对应值，判断方程20axbxc(0a，,,abc为常数)的一个解x的范围是().A.66.17xB.6.176.18xC.6.186.19xD.6.196.20x解析:由于数轴上表示实数的点是连续的，因此，观察表格，可以估计方程20axbxc的解必然在6.18与6.19之间.故选C.小结:二次函数与一元二次方程有着密切的联系.当二次函数2yaxbxc的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是0y时对应的自变量x的值，也就是一元二次方程20axbxc的解.