定积分与不定积分的关系

５.４定积分与不定积分的关系一、积分上限函数二、牛顿-莱布尼茨公式如果物体运动的速度函数为v=v(t)，那么在时间区间[a,b]内物体的位移s可以用定积分表示为.d)(battvs另一方面，如果已知该变速直线运动的路程函数为s=s(t)，则在时间区间[a,b]内物体的位移为s(b)–s(a)，所以又有).()(d)(asbsttvba由于，即s(t)是v(t)的原函数，这就是说，定积分等于被积函数v(t)的原函数s(t)在区间[a,b]上的增量s(b)–s(a).)()(tvts'battvd)(一、积分上限函数设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则对于任意的x()，积分存在，且对于给定的x()，就有一个积分值与之对应，所以上限为变量的积分是上限x的函数.bxaxaxxfd)(bxaxaxxfd)(注意：积分上限x与被积表达式f(x)dx中的积分变量x是两个不同的概念，在求积时(或说积分过程中)上限x是固定不变的，而积分变量x是在下限与上限之间变化的，因此常记为.d)(xattf上具有导数，且在的积分所确定的函数上连续，则变上限在区间如果函数],[)(d)()(],[)(babxattfxΦbaxfxa定理6.3).()(d)(dd)('bxaxfttfxxΦxaxaxxattfttfd)(d)(=xxxxaxxxxattfttfttfttfd)(d)(d)(d)()()(0xΦxxΦΦx，不妨设证明),,()(d)(xxxxfttfxxx由积分中值定理有).()(fxxfxΦ即数的连续性，有根据导数的定义以及函，，从而时，有当0xxxxx结论：变上限积分所确定的函数对积分上限x的导数等于被积函数f(t)在积分上限x处的值f(x).xattfd)(，)()(limlim)(0xffxΦxΦ'xx).(d)(dd)(xfttfxx'Φxa即由上述结论可知：尽管不定积分与定积分概念的引入完全不同，但彼此有着密切的联系，因此我们可以通过求原函数来计算定积分..],[)(d)()(],[)(上的一个原函数在是上连续，则在区间如果函数baxfttfxΦbaxfxa定理6.4(原函数存在定理).)()(CxΦxF上的任一个原函数，则在是上连续，且在区间设函数],[)()(],[)(baxfxFbaxf定理6.5，)()(d)(aFbFxxfba).()()(d)(aFbFxFxxfbaba或记作二、牛顿牛顿—莱布尼兹公式证明的一个原函数，也是而的一个原函数，是)(d)()()()(xfttfxΦxfxFxa.)()(CaΦaFax有令，有令CbΦbFbx)()(上式称为牛顿-莱布尼茨公式，也称为微积分基本定理.，)()(d)(aFbFttfba.)(0d)()(CaFttfaΦaa，，，)()()d()()()()()(aFbFttfbΦaFbFCbFbΦba，即)()(d)(aFbFxxfba牛顿－莱布尼茨公式提供了计算定积分的简便的基本方法，即求定积分的值，只要求出被积函数f(x)的一个原函数F(x)，然后计算原函数在区间[a,b]上的增量F(b)–F(a)即可.该公式把计算定积分归结为求原函数的问题，揭示了定积分与不定积分之间的内在联系..d102xx例1求的一个原函数，是被积函数因为xx233解.31333d0133103102xxx莱布尼茨公式，有根据牛顿例2求.d11112xx11112arctand11xxx莱布尼茨公式，有根据牛顿的一个原函数，是被积函数因为11arctan2xx解.2π)4π(4π)1arctan(1arctan.d)1ln(dd12xttx例3求).1ln(d)1ln(dd3.6212xttxx有根据定理解例4求.darctanlim200xxxtt必达法则，有型的极限问题，利用洛这属于00'xttxttxxxxx)(darctandddarctan200200limlim解'x'xx)()(arctan21lim0xxx2arctanlim0.211112120limxx小结理解积分上限函数、原函数存在定理，掌握积分积分上限函数的关于上限的导数，熟练掌握定积分计算公式牛顿—莱布尼兹公式。