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定积分与微积分基本定理一、非常了解、考试大纲①了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念.②了解微积分基本定理的含义.二、非常考题、高考真题例1、（2010•宁夏）设y=f（x）为区间[0，1]上的连续函数，且恒有0≤f（x）≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分，先产生两组（每组N个）区间[0，1]上的均匀随机数x1，x2，…xN和y1，y2，…yN，由此得到N个点（xi，yi）（i=1，2，…，N），再数出其中满足yi≤f（xi）（i=1，2，…，N）的点数N1，那么由随机模拟方案可得积分的近似值为_________．考点：定积分在求面积中的应用；模拟方法估计概率；几何概型。专题：计算题。分析：要求∫10f（x）dx的近似值，利用几何概型求概率，结合点数比即可得．解答：解：由题意可知得，故积分的近似值为．点评：本题考查几何概型模拟估计定积分值，以及定积分在面积中的简单应用，属于基础题．例2、计算的结果是（）A、4πB、2πC、πD、考点：定积分。专题：计算题。分析：根据积分所表示的几何意义是以（0，0）为圆心，2为半径第一象限内圆弧与坐标轴围成的面积，只需求出圆的面积乘以四分之一即可．解答：解：表示的几何意义是以（0，0）为圆心，2为半径第一象限内圆弧与坐标轴围成的面积=π×4=π故选：C点评：本题主要考查了定积分，定积分运算是求导的逆运算，解题的关键是求原函数，也可利用几何意义进行求解，属于基础题．例3、（2009•广东）已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为V甲和V已（如图所示）．那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是（）A、在t1时刻，甲车在乙车前面B、t1时刻后，甲车在乙车后面C、在t0时刻，两车的位置相同D、t0时刻后，乙车在甲车前面考点：定积分在求面积中的应用；函数的图象。专题：数形结合。分析：利用定积分求面积的方法可知t0时刻前甲走的路程大于乙走的路程，则在t0时刻甲在乙的前面；又因为在t1时刻前利用定积分求面积的方法得到甲走的路程大于乙走的路程，甲在乙的前面；同时在t0时刻甲乙两车的速度一样，但是路程不一样．最后得到A正确，B、C、D错误．解答：解：当时间为t0时，利用定积分得到甲走过的路程=v甲dt=a+c，乙走过的路程=v乙dt=c；当时间为t1时，利用定积分得到甲走过的路程=v甲dt=a+c+d，而乙走过的路程=v乙dt=c+d+b；从图象上可知a＞b，所以在t1时刻，a+c+d＞c+d+b即甲的路程大于乙的路程，A正确；t1时刻后，甲车走过的路程逐渐小于乙走过的路程，甲车不一定在乙车后面，所以B错；在t0时刻，甲乙走过的路程不一样，两车的位置不相同，C错；t0时刻后，t1时刻时，甲走过的路程大于乙走过的路程，所以D错．故答案为A点评：考查学生利用定积分求图形面积的能力，以及会观察函数图象并提取有价值数学信息的能力，数形结合的数学思想的运用能力．例4、由曲线y2=2x和直线y=x﹣4所围成的图形的面积为18．考点：定积分在求面积中的应用。专题：计算题；数形结合。分析：先求出曲线y2=2x和直线y=x﹣4的交点坐标，从而得到积分的上下限，然后利用定积分表示出图形面积，最后根据定积分的定义求出即可．解答：解：解得曲线y2=2x和直线y=x﹣4的交点坐标为：（2，﹣2），（8，4）选择y为积分变量∴由曲线y2=2x和直线y=x﹣4所围成的图形的面积S==（y2+4y﹣y3）|﹣24=18故答案为：18点评：本题主要考查了定积分在求面积中的应用，以及会利用定积分求图形面积的能力．应用定积分求平面图形面积时，积分变量的选取是至关重要的，属于基础题．例5、若y=f（x）的图象如图所示，定义，则下列对F（x）的性质描述正确的有（1）（2）（4）．（1）F（x）是[0，1]上的增函数；（2）F′（x）=f（x）；（3）F（x）是[0，1]上的减函数；（4）∃x0∈[0，1]使得F（1）=f（x0）．考点：定积分；导数的概念。专题：计算题；数形结合。分析：根据定积分的几何意义，连续曲线y=f（x）≥0在[a，b]上形成的曲边梯形的面积为S=∫abf（x）dx，可得如图的阴影部分的面积为F（x），根据上边的图形得到F（x）为增函数；且f（x）为F（x）的原函数；根据下边的图形可得（4）正确．解答：解：由定积分的集合意义可知，F（x）表示图中阴影部分的面积，且F′（x）=f（x），当x0逐渐增大时，阴影部分的面积也逐渐增大，所以F（x）为增函数，故（1）、（2）正确；由定积分的几何意义可知，必然）∃x0∈[0，1]，使S1=S2，此时S矩形ABCO=S曲边三角形AOD即F（1）=∫01f（t）dt=f（x0），故（4）正确．所以对F（x）的性质描述正确的有（1）（2）（4）故答案为：（1）（2）（4）三、非常训练、当堂检测1、（2011•湖南）由直线与曲线y=cosx所围成的封闭图形的面积为（）A、B、1C、D、考点：定积分在求面积中的应用。专题：计算题。分析：为了求得与x轴所围成的不规则的封闭图形的面积，可利用定积分求解，积分的上下限分别为与，cosx即为被积函数．解答：解：由定积分可求得阴影部分的面积为S=cosxdx==﹣（﹣）=，所以围成的封闭图形的面积是．故选D．点评：本小题主要考查定积分的简单应用、定积分、导数的应用等基础知识，考查运算求解能力，化归与转化思想、考查数形结合思想，属于基础题．2、（2010•山东）由曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积为（）A、B、C、D、考点：定积分在求面积中的应用。专题：计算题。分析：要求曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积，根据定积分的几何意义，只要求∫01（x2﹣x3）dx即可．解答：解：由题意得，两曲线的交点坐标是（1，1），（0，0）故积分区间是[0，1]所求封闭图形的面积为∫01（x2﹣x3）dx═，故选A．点评：本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的面积．3、从如图所示的正方形OABC区域内任取一个点M（x，y），则点M取自阴影部分的概率为（）A、B、C、D、考点：定积分在求面积中的应用；几何概型。专题：计算题。分析：欲求所投的点落在叶形图内部的概率，须结合定积分计算叶形图（阴影部分）平面区域的面积，再根据几何概型概率计算公式易求解．解答：解：可知此题求解的概率类型为关于面积的几何概型，由图可知基本事件空间所对应的几何度量S（Ω）=1，满足所投的点落在叶形图内部所对应的几何度量：S（A）==．所以P（A）=．故选B．点评：几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据P=求解．4、如图中阴影部分的面积是（）A、B、C、D、考点：定积分在求面积中的应用。专题：计算题。分析：求阴影部分的面积，先要对阴影部分进行分割到三个象限内，分别对三部分进行积分求和即可．解答：解：直线y=2x与抛物线y=3﹣x2解得交点为（﹣3，﹣6）和（1，2）抛物线y=3﹣x2与x轴负半轴交点（﹣，0）设阴影部分面积为s，则==所以阴影部分的面积为，故选C．点评：本题考查定积分在求面积中的应用，解题是要注意分割，关键是要注意在x轴下方的部分积分为负（积分的几何意义强调代数和），属于基础题．5、（2009•福建）（1+cosx）dx等于（）A、πB、2C、π﹣2D、π+2考点：定积分。专题：计算题。分析：由于F（x）=x+sinx为f（x）=1+cosx的一个原函数即F′（x）=f（x），根据∫abf（x）dx=F（x）|ab公式即可求出值．解答：解：∵（x+sinx）′=1+cosx，∴（1+cosx）dx=（x+sinx）=+sin﹣=π+2．故选D点评：此题考查学生掌握函数的求导法则，会求函数的定积分运算，是一道中档题．6、（2008•山东）设函数f（x）=ax2+c（a≠0），若，0≤x0≤1，则x0的值为．考点：定积分的简单应用。分析：求出定积分∫01f（x）dx，根据方程ax02+c=∫01f（x）dx即可求解．解答：解：∵f（x）=ax2+c（a≠0），∴f（x0）=∫01f（x）dx=[+cx]01=+c．又∵f（x0）=ax02+c．∴x02=，∵x0∈[0，1]∴x0=．点评：本题考查了积分和导数的公式，属于基本知识基本运算．同时考查了恒等式系数相等的思想．四、非常提高、课后作业1、若∫0k（2x﹣3x2）dx=0，则k等于（）A、0B、1C、0或1D、以上均不对考点：定积分。专题：计算题。分析：利用定积分公式求出等式左边的值，利用其等于0解出k的值即可．解答：解：∫0k（2x﹣3x2）dx=∫0k2xdx﹣∫0k3x2dx=x2|0k﹣x3|0k=k2﹣k3=0，解可得k=0若k=1．故选C点评：考查学生利用定积分解方程的能力．2、如图所示，曲线y=x2和曲线y=围成一个叶形图（阴影部分），其面积是（）A、1B、C、D、考点：定积分；定积分的简单应用。专题：计算题。分析：联立由曲线y=x2和曲线y=两个解析式求出交点坐标，然后在x∈（0，1）区间上利用定积分的方法求出围成的面积即可．解答：解：联立得，解得或，设曲线与直线围成的面积为S，则S=∫01（﹣x2）dx=故选：C点评：考查学生求函数交点求法的能力，利用定积分求图形面积的能力．3、下列计算错误的是（）A、∫﹣ππsinxdx=0B、∫01=C、cosxdx=2cosxdxD、∫﹣ππsin2xdx=0考点：定积分。专题：计算题。分析：利用微积分基本定理求出各选项的值，判断出D错．解答：解：∫﹣ππsinxdx=（﹣cosx）|﹣ππ=（﹣cosπ）﹣（﹣cos（﹣π）=0因为y=cosx为偶函数所以=π故选D点评：本题考查利用微积分基本定理或定积分的几何意义求定积分值4、（2010•陕西）从如图所示的长方形区域内任取一个点M（x，y），则点M取自阴影部分部分的概率为．考点：定积分的简单应用。专题：数形结合。分析：本题利用几何概型概率．先利用定积分求出图中阴影部分部分的面积，再结合概率计算公式求出阴影部分部分面积与长方形区域的面积之比即可．解答：解：长方形区域的面积为3，阴影部分部分的面积为，所以点M取自阴影部分部分的概率为故答案为：．点评：本题考查的定积分的简单应用，解决本题的关键是熟练掌握定积分的几何意义及运算公式．简单地说，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．5、由曲线和直线y=x﹣4，x=1，x=2围成的曲边梯形的面积是ln2+1．考点：定积分在求面积中的应用。专题：计算题。分析：曲线y=与直线y=x﹣4，x=2，x=1所围成的图形面积可用定积分计算，先求出图形横坐标范围，再代入定积分的公式求出结果即可．解答：解：联立两条直线的方程，得和∴曲线y=与直线y=x﹣4，x=2，x=1所围成的图形面积为=（﹣21x2+lnx+4x）|12=ln2+25故答案为：ln2+25点评：本题考查利用定积分求封闭图形的面积，解题的关键是利用方程联立做出两个函数的交点坐标，不停地交点的坐标在解题中用不到，本题是一个基础题．6、如图所示，计算图中由曲线y=与直线x=2及x轴所围成的阴影部分的面积S=．考点：定积分在求面积中的应用。专题：计算题。分析：先将阴影部分的面积用定积分表示∫02（x2）dx，然后根据定积分的定义求出此值即可．解答：解：阴影部分的面积为∫02（x2）dx，而∫02（x2）dx=（x3）|02=，故答案为：．点评：本题主要考查了阴影部分的面积用定积分表示，以及定积分的求解，属于基础题．7、（1977•福建）求定积分∫10（x+x2e2）dx．考点：定积分的简单应用。分析：应用导数公式确定被积函数x2+x2e2的原