定积分在经济学中的应用

论文题目定积分在经济学中的应用系别：数学系专业：数学与应用数学学号：2007101208姓名：卢欢定积分在经济学中的应用摘要：定积分是微积分中重要内容，它是解决许多实际问题的重要工具，在经济学中有着广泛的应用，而且内容十分丰富。文中通过具体事例研究了定积分在经济学中的应用，如求总量生产函数、投资决策、消费者剩余和生产者剩余等方面的应用。关键词：定积分；原函数；边际函数；最大值最小值；总量生产函数；投资；剩余引言积分学是微分学和积分学的总称。由于函数概念的产生和应用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的。可以说是继欧氏几何后，全部数学中最大的一个创造。微积分是与应用联系着并发展起来的。定积分推动了天文学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支的发展。并在这些学科中有越来越广泛的应用，微积分是一门历史悠久而又不断发展进步的学科，历史上许多著名的数学家把毕生的心血投入到微积分的研究中，从生产实际的角度上看，应用又是重中之重，随着数学的不断前进，微积分的应用也呈现前所未有的发展。本文将重点介绍定积分在经济学中的应用。1利用定积分求原经济函数问题在经济管理中,由边际函数求总函数(即原函数),一般采用不定积分来解决,或求一个变上限的定积分。可以求总需求函数,总成本函数,总收入函数以及总利润函数。设经济应用函数u(x)的边际函数为)(xu,则有dxxuuxux)()0()(0例1�生产某产品的边际成本函数为100143)(2xxxc,固定成本C(0)=10000,求出生产x个产品的总成本函数。解�总成本函数dxxccxcx0)()0()(=dxxxx)100143(1000002=xxxx02_3|]1007[10000=xxx100710000232�利用定积分由变化率求总量问题如果求总函数在某个范围的改变量,则直接采用定积分来解决。例2已知某产品总产量的变化率为ttQ1240)((件/天),求从第5天到第10天产品的总产量。解所求的总产量为dttQQ05)(650)150200()600400(|)640()1220(1052105ttdtt(件)3�利用定积分求经济函数的最大值和最小值例3设生产x个产品的边际成本C=100+2x,其固定成本为10000c元,产品单价规定为500元。假设生产出的产品能完全销售,问生产量为多少时利润最大?并求出最大利润。解�总成本函数为)0()2100()(0cdttxcx=10001002xx总收益函数为R(x)=500x总利润函数为L(x)=R(x)-C(x)=10004002xxL=400-2x令L=0,得x=200因为L(200)0所以,生产量为200单位时,利润最大。最大利润为L(200)=400200-2200-1000=39000(元)。例4�某企业生产x吨产品时的边际成本为30501)(xxc(元/吨)。且固定成本为900元,试求产量为多少时平均成本最低?解：�首先求出成本函数900301001900)30501()()(2000xxdxxcdxxcxcxx,得平均成本函数为xxxxcxc900301001)()(求一阶导数29001001)(xxc令0c,解得3001x(2x=-300舍去)。因此,c(x)仅有一个驻点1x=300,再由实际问题本身可知c(x)有最小值,故当产量为300吨时,平均成本最低。例5、某煤矿投资2000万元建成，在时刻t的追加成本和增加收益分别为2323//()62()18CttRtt（百万元/年）试确定该矿的何时停止生产可获得最大利润？最大利益是多少？解：有极值存在的必要条件//()()0RtCt，即223318(62)0tt可解得t=8132////3////24()()33()()0RtCtttRtCt故*t=8时是最佳终止时间，此时的利润为2233538//08080[()()]20[(18)(62)]209(12)|20538.42018.4LRtCtdtttdttt因此最大利润为18.4百万元4�利用定积分求消费者剩余与生产者剩余在经济管理中,一般说来,商品价格低,需求就大;反之,商品价格高,需求就小,因此需求函数Q=f(P)是价格P的单调递减函数。同时商品价格低,生产者就不愿生产,因而供给就少;反之,商品价格高,供给就多,因此供给函数Q=g(P)是价格P的单调递增函数。由于函数Q=f(P)与Q=g(P)都是单调函数,所以分别存在反函数P=)(1Qf与P=)(1Qg,此时函数P=)(1Qf也称为需求函数,而P=)(1Qg也称为供给函数。需求曲线(函数)P=)(1Qf与供给曲线(函数)P=)(1Qg的交点A(P*,Q*)称为均衡点。在此点供需达到均衡。均衡点的价格P*称为均衡价格,即对某商品而言,顾客愿买、生产者愿卖的价格。如果消费者以比他们原来预期的价格低的价格(如均衡价格)购得某种商品,由此而节省下来的钱的总数称它为消费者剩余。假设消费者以较高价格P=)(1Qf购买某商品并情愿支付,Q*为均衡商品量,则在[Q,Q+Q]内消费者消费量近似为QQf)(1,故消费者的总消费量为dQQfQ)(*01,它是需求曲线P=)(1Qf在Q与Q*之间的曲边梯形OQ*1Ap的面积,如图如果商品是以均衡价格P*出售,那么消费者实际销售量为P*Q*,因此,消费者剩余为**0)(*QpdQQfQ它是曲边三角形1*APP的面积。如果生产者以均衡价格P*出售某商品,而没有以他们本来计划的以较低的售价)(1QgP出售该商品,由此所获得的额外收入,称它为生产者剩余。同理分析可知:P*Q*是生产者实际出售商品的收入总额,dQQgQ*01)(是生产者按原计划以较低价格售出商品所获得的收入总额,故生产者剩余为dQQgQPQ)(*01**它是曲边三角形*0App的面积。例6设某产品的需求函数是P=Q2.030。如果价格固定在每件10元,试计算消费者剩余。解�已知需求函数P=QQf2.030)(1,首先求出对应于P*=10的Q*值,令Q2.030=10,得Q*=10000。于是消费者剩余为�**01)(*QPdQQfQ=1000010)2.030(10000dQQ=(30Q-)15223Q100000|100000=66666.67(元)。例7�设某商品的供给函数为P=250+3Q+0.012Q,如果产品的单价为425元,计算生产者剩余。解�首先求出对应于*p=425的*Q的值,令425=250+3Q+0.012Q,得一正解Q*=50,于是生产者剩于为dQQgQpQ)(*01**=dQQQ)01.03250(504252500=323101.023250050425QQ500|=4583.339(元)。5�利用定积分决定广告策略问题例8�某出口公司每月销售额是1000000美元,平均利润是销售额的10%.根据公司以往的经验,广告宣传期间月销售额的变化率近似地服从增长曲线te02.06101(t以月为单位),公司现在需要决定是否举行一次类似的总成本为5103.1美元的广告活动.按惯例,对于超过6101美元的广告活动,如果新增销售额产生的利润超过广告投资的10%,则决定做广告。试问该公司按惯例是否应该做此广告?解由公式知,12个月后总销售额是当t=12时的定积分即总销售额=|12002.012002.002.010000001000000ttedte=135600015000000024.0e(美元)公司的利润是销售额的10%,所以新增销售额产生的利润是156000)1200000013560000(10.0(美元)156000美元利润是由花费130000美元的广告费而取得的,因此,广告所产生的实际利润是156000-130000=26000(美元)这表明赢利大于广告成本的10%,故公司应该做此广告。6�利用定积分计算资本现值和投资若有一笔收益流的收入率为f(t),假设连续收益流以连续复利率r计息,从而总现值y=dtetfrtT0)(。例9现对某企业给予一笔投资A,经测算,该企业在T年中可以按每年a元的均匀收入率获得收入,若年利润为r,试求:(1)该投资的纯收入贴现值;(2)收回该笔投资的时间为多少?解�(1)求投资纯收入的贴现值:因收入率为a,年利润为r,故投资后的T年中获总收入的现值为Y=)1(0rtTrteradtae从而投资所获得的纯收入的贴现值为AeraAyRrT)1(��(2)求收回投资的时间:收回投资,即为总收入的现值等于投资。由AerarT)1(得T=Araarln1即收回投资的时间为T=Araarln1例如,若对某企业投资A=800(万元),年利率为5%,设在20年中的均匀收入率为a=200(万元/年),则有投资回收期为05.0800200200ln05.01T=25.1ln2046.4(年)由此可知,该投资在20年内可得纯利润为1728.2万元,投资回收期约为4.46年.例10�有一个大型投资项目,投资成本为A=10000(万元),投资年利率为5%,每年的均匀收入率为a=2000(万元),求该投资为无限期时的纯收入的贴现值(或称为投资的资本价值).解�由已知条件收入率为a=2000(万元),年利率r=5%,故无限期的投资的总收入的贴现dtaeyrt0=dtet005.02000=dteLimbtb005.02000=bbeLim05.0105.02000=05.012000=40000（万元）从而投资为无限期时的纯收入贴现值为R=y-A=40000-10000=30000(万元)=3亿元.例11�一对夫妇准备为孩子存款积攒学费,目前银行的存款的年利率为5%,以连续复利计算,若他们打算10年后攒够5万元,计算这对夫妇每年应等额地为其孩子存入多少钱?解�设这对夫妇每年应等额地为其孩子存入A元(即存款流为f(t)=A),使得10年后存款总额的将来值达到5万元,由公式得50000)10(02.0100dteAt又02.012.0100)10(02.0AedtAet得4517102.0500002.0eA(元)。即这对夫妇每年应等额地存入4517元,10年后才能为孩子攒够5万元的学费。总结定积分在数学中占主导地位。同时，它和经济学也有很大的联系，以上几个方面的应用也只是定积分在经济学中应用的一部分,定积分还有很多在经济学中的应用之处。只要勤于学习,善于思考,勇于探索,就一定能从中感受到定积分的无穷魅力,同时也能提高应用数学知识解决实际问题的能力。参考文献［1］误传生，《经济数学—微积分》，高等教育出版社，2003［2］侯风波，《经济数学基础》，高等教育出版社，2004［3］华东师范大学数学系，数学分析，高等教育出版社,1990［4］王向东，数学分析概念与方法，上海科技文献出版社，1989［5］陈锡璞，工程经济，机械工业出版社，北京，1994.10［6］Г.М.菲赫金哥尔茨,《微积分学教程》,高等教育出版社,2006［7］白银凤罗蕴玲,《微积分及其应用》,高等教育出版社TheapplicationofdefiniteintegralintheeconomicsAbstract:Definiteintegralisanessentialofcalculus,anditisalsoanimportantmeanstosolvemanypracticalproblems