等比数列前n项求和的探索之旅

等比数列前n项求和的探索之旅——则体现数形结合思想的教学案例本案例借助一道2014年青岛数学中考题，探索在初中阶段如何对等比数列前n项进行求和.案例采用探究式教学法，从特殊到一般，运用数形结合的思想方法，展开对某一类等比数列前n项求和方法的探究，以激发学生再创造的学习热情.问题计算231111nmmmm…(其中m，n都是正整数，且2m，1n).一、创设情境，发现规律探究1计算2311112222n….引导学生思考:2311112222n…如何与图形的面积产生联系?学生之间先相互交流讨论，教师适时提示:这一式子如何与正方形的面积产生联系?教师进行初步演示:如图1，首先在黑板上画一个正方形，对正方形进行多次分割.第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为12;第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为21122；第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，…；…引导学生思考:第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和是多少?学生经过知识迁移，马上能得出第n次分割，所有阴影部分的面积之和为2311112222n…，最后空白部分的面积是12n.因此，根据第n次分割图，很快就能得出阴影部分面积:2311111122222nn….二、知识迁移，举一反三在教师的带领下解决了第一个问题后，接下来由学生自主探究，发现一般规律.探究2计算2311113333n….引导学生思考:2311113333n…如何与图形的面积产生联系?根据第一次探究获得的经验，学生进行知识迁移，很快就把正方形的面积进行三等分，如图2所示.第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为23;第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为22233；第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，…;…第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为2322223333n…，最后空白部分的面积是13n.根据第n次分割图可得等式:2322221133333nn….问题到这马上要解决了，但是有的学生这时也会卡住做不下去了，教师引导学生思考:如何转化成我们要解决的问题呢?两边同除以2，得231111113333223nn….学生在自主探究得出答案后，充满成就感，从而对接下来的探究更有兴趣，更具挑战欲.探究3计算2311114444n….教师要求学生仿照前两个探究的方法，只需画出第n次的分割图，在图3上标注阴影部分面积，并写出探究过程.第1次分割，把正方形的面积四等分，其中阴影部分的面积为34;第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分，阴影部分的面积之和为23344；第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分，…；……第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后四等分，所有阴影部分的面积之和为2333334444n…，最后空白部分的面积是14n.根据第n次分割图可得等式:2333331144444nn….两边同除以3，得231111114444434nn….学生在经历前几次探究后，跃跃欲试.通过探究2中方法的迁移，学生顺着思路很快得出结论，对利用数形结合思想解决问题有了更深刻的感受，为接下来从特殊到一般的转化做了很好的铺垫.三、解决问题。形成定理问题:计算231111nmmmm….教师要求学生只需画出第n次分割图(图4)，在图上标注阴影部分面积，完成填空.根据第n次分割图可得等式:23111111nnmmmmmmmmm…，所以231111111nnmmmmmm….因此，学生在一个崭新的几何背景下通过自主探究得出了某一类等比数列前n项求和公式.整个探究过程中，设计的问题串背景十分新颖，设问流畅，层层递进，设计了关联程度较高的几个问题.从一般到特殊再到一般，从m到2，3，4再回到m，让学生领悟了研究问题的一般方法，经历了研究问题的基本过程.将代数与几何巧妙地结合起来，改变常规等比数列前。项求和的呈现形式，让学生感受数形结合的思想方法，实现了在教科书基础上的适当延伸和拓展.四、应用拓展，深化理解教师逐步设疑、诱导、解疑，引导学生去发现问题，解决问题.由学生自主探究得到了某一类等比数列前n项和公式.接下来对得到的公式进行简单的应用和拓展，让学生进一步思考，感受数形结合的魅力，深化对等比数列前n项求和的理解.问题1计算2323515151515555nn….解析根据探究所得公式:231111111nnmmmmmm…，可得2323515151515555nn…23111111115555n…231111()5555nn…1154nn411445nn.此题并不是对等比数列前n项和公式的直接应用，而是在原式基础上做一个化简整理，在最后一步得出答案前应用等比数列前n项和公式.稍有难度，又合情合理，不仅训练了学生的数学思维，而且进一步对其应用进行了巩固.问题2当n时，231111nmmmm…？学生通过前几次探究，仔细观察结论，很快就得出:当n时，23111111nmmmmm….教师再次追问:除了正方形，能否通过其他图形的等分面积的方法得出类似的结论呢?学生感到困惑，教师展示图5，让学生欣赏与思考.观察这个图形，马上有学生说23111()()444…代表左侧一列三角形的面积之和.由于左侧三角形的面积之和是整个大三角形的13，所以231111()()4443….教师让学生讨论理由和根据.这个图形是在对整个大三角形的面积四等分的基础上形成的，把大三角形分成四个面积完全相等的小三角形，再在小三角形里面继续四等分，一直无限四等分，最后得到了非常直观的结果.且左中右三列三角面积相等，刚好组成一个完整的大三角形，因此面积为整个大三角形的13.学生发现:仅仅通过一个图形就可以直观地得出231111()()4443….这种方法用直观的形来揭示数的本质，新颖别致、自然天成，达到“不证自明”的效果，给学生留下了难以磨灭的印象.最后教师给学生留下一个思考题:问题3你是否也能用类似图5的一个图形来表示2311113332…以及其他等式?教师不作解答，让学生课后积极思考，自主探究，利用数形结合的思想方法，发散思维解决问题.教师最后告诉学生，本节课的整个探究过程其实就是2014年青岛市中考题的完整呈现(问题2和3又做了适当拓展).给学生完整出示这个中考题，对整个探究思路从头到尾进行梳理回顾，感受从一般到特殊和数形结合思想在解决数学问题中的巨大价值.让学生惊叹于数形转化巧妙之时，增加探索数学的兴趣.