宝山区2014学年度质量管理考试数学试卷定稿

宝山区2014年第一学期期末高三年级数学质量监测试卷（满分150分，其中学业水平考试卷120分，附加题30分，完卷时间130分钟）2014.12考试注意：1.答卷前，考生务必将姓名、高考座位号、校验码等填写清楚．2.本试卷共有32道试题，满分150分．考试时间130分钟．3.请考生用钢笔或圆珠笔按要求在试卷相应位置上作答．一.（本大题满分36分）本大题共有12题，要求直接填写结果，每题填对3分，否则一律得0分．1.函数3tanyx的周期是．2.计算2413=．3.计算limn2123nn＝．4.二项式10(x1)展开式中，8x的系数为．5．设矩阵241Ax，2211B，若BA2412，则x.6．现有6位同学排成一排照相，其中甲、乙二人相邻的排法有种.7．若1cos()2，322，则sin．8.若一个球的体积为34，则它的表面积为__________．9.若函数sin(2)(0)yx是R上的偶函数，则的值是．10.正四棱锥ABCDP的所有棱长均相等，E是PC的中点，那么异面直线BE与PA所成的角的余弦值等于．ECDPAB11.直线20xy被曲线2262xyxy150所截得的弦长等于．12.已知函数)0,0,0(),sin()(AxAxf的部分图像如图所示，则(x)yf的解析式是(x)f．二．选择题（本大题满分36分）本大题共有12题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．考生必须把正确结论的代码写在题后的括号内，选对得3分，否则一律得0分．13．已知点(tan,cos)P在第三象限，则角的终边在（）（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限14．已知函数yxb，(0,)x是增函数，则（）（A）0，b是任意实数（B）0，b是任意实数（C）0b，是任意实数（D）0b，是任意实数15．在ABC中，若Babsin2，则这个三角形中角A的值是（）（A）30或60（B）45或60（C）60或120（D）30或15016.若log3log30ab，则（）()01()01()1()1AabBbaCabDba17.双曲线24x-212y=1的焦点到渐近线的距离为（）（A）23（B）2（C）3（D）118.用数学归纳法证明等式2135(21)nn（n∈N*）的过程中，第二步假设n=k时等式成立，则当n=k+1时应得到（）（A）2135(21)kk（B）2135(21)(1)kk（C）2135(21)(2)kk（D）2135(21)(3)kk19.设1zi（i是虚数单位），则复数22zz对应的点位于（）（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限w.w.w.k.s.5.u.c.o.m20.圆0422xyx在点)3,1(P处的切线方程为()（A）023yx（B）043yx（C）043yx（D）023yx21.“1tanx”是“)(24Zkkx”的（）（A）充分非必要条件；（B）必要非充分条件；（C）充要条件；（D）既非充分又非必要条件.22.在四边形ABCD中,(1,2)AC,(4,2)BD,则四边形的面积为（）（A）5（B）25（C）5（D）1023．函数211(0)yxx的反函数是（）（A）22(0)yxxx（B）22(0)yxxx（C）22(2)yxxx（D）22(2)yxxx24．曲线21||yx的部分图像是（）（A）（B）(C)（D）三、解答题（本大题满分48分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤．25.（本题满分8分）解不等式组|1|3213xx26.（本题满分8分）如图，正四棱柱1111DCBAABCD的底面边长2AB，若异面直线AA1与CB1所成角的大小为21arctan，求正四棱柱1111DCBAABCD的体积.第26题27．（本题满分10分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分．已知点F为抛物线2:4Cyx的焦点，点P是准线l上的动点，直线PF交抛物线C于,AB两点，若点P的纵坐标为(0)mm，点D为准线l与x轴的交点．(1)求直线PF的方程；(2)求DAB面积S的取值范围．28.（本题满分10分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分．已知函数2()()2xafxxRx．（1）写出函数()yfx的奇偶性；（2）当0x时，是否存实数a，使()yfx的图像在函数2()gxx图像的下方，若存在，求a的取值范围；若不存在，说明理由．29.（本题满分12分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分4分，第3小题满分5分．已知抛物线24xy，过原点作斜率为1的直线交抛物线于第一象限内一点1P，又过点1P作斜率为12的直线交抛物线于点2P，再过2P作斜率为14的直线交抛物线于点3P，，如此继续。一般地，过点nP作斜率为12n的直线交抛物线于点1nP，设点(,)nnnPxy．（1）求31xx的值；（2）令2121nnnbxx，求证：数列{}nb是等比数列；DlPFABOyx（3）记(x,y)P奇奇奇为点列1321,,,,nPPP的极限点，求点P奇的坐标．四、附加题（本大题满分30分）本大题共有3题，解答下列各题必须写出必要的步骤．30.（本题满分8分）有根木料长为6米，要做一个如图的窗框，已知上框架与下框架的高的比为1∶2，问怎样利用木料，才能使光线通过的窗框面积最大（中间木档的面积可忽略不计）.31.（本题满分10分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分．在平面直角坐标系xoy中，点P到两点0,3、0,3的距离之和等于4．设点P的轨迹为C．(1)写出轨迹C的方程；(2)设直线1ykx与C交于A、B两点，问k为何值时?OBOA此时|AB|的值是多少？32．（本题满分12分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分4分，第3小题满分5分．设数列na的首项1a为常数135a，且132(*)nnnaanN．（1）证明：35nna是等比数列；（2）若132a，na中是否存在连续三项成等差数列？若存在，写出这三项，若不存在说明理由．x2x（3）若na是递增数列，求1a的取值范围．宝山区2014年第一学期期末高三年级数学质量监测参考答案2014.11.221.2.23.214.455．26．2407．328.129.210．3311.4512.(x)2sin24fx二．选择题13．（B）14．（A）15．（D）16.（B）17.（A）18.（B）19.（A）20.(D)21.（B）22.（C）23.（D）24．（C）三、解答题25.由题意得：由（1）解得24x………………………………………………………3分由（2）解得35x…………………………………………………………6分所以，不等式解集为（3,4）………………………………………8分26.所成的角、为CBAABCBBBAA11111//且21tan1BCB………………………………………4分2BC第25题41BB………………………………6分16shV………………………8分27．解：（1）由题知点,PF的坐标分别为(1,)m，(1,0)，于是直线PF的斜率为2m，………………………………………2分所以直线PF的方程为(1)2myx，即为20mxym．…………………4分（2）设,AB两点的坐标分别为1122(,),(,)xyxy，由24,(1),2yxmyx得2222(216)0mxmxm，所以2122216mxxm，121xx．……………………………………6分于是2122416||2mABxxm．………………………………………7分点D到直线20mxym的距离22||4mdm，………………………8分所以2222114(4)2||4||41224mmSABdmmm.因为mR且0m，于是4S，所以DAB的面积S范围是(4,)．……10分28.解：（1）因为()yfx的定义域为R，所以…………………………1分当0a时，2()2xfxx是奇函数；……………………………2分当0a时，2()()2xafxxRx是非奇非偶函数．………………………4分（2）若()yfx的图像在函数2()gxx图像的下方，则222xaxx，化简得4axx恒成立，………………………………6分因为44xx，……………………………………………………………8分所以，当4a时，()yfx的图像都在函数2()gxx图像的下方．……10分29.解：（1）直线1OP的方程为yx，由24xyyx解得1(4,4)P，……1分直线21PP的方程为1442yx，即122yx由24122xyyx得2(2,1)P，…………………………………2分直线23PP的方程为1124yx，即1342yx由241342xyyx解得，)49,3(3P所以31341xx．………………………………………………………3分（2）因为214(,)nnnPxx，211114(,)nnnPxx，由抛物线的方程和斜率公式得到22111114422nnnnnnnnxxxxxx………………………………………………5分所以182nnnxx，两式相减得1142nnnxx…………………………6分用2n代换n得212144nnnnbxx，由（1）知，当1n时，上式成立，所以{}nb是等比数列，通项公式为44nnb．……………………………………7分（3）由212144nnnxx得，3144xx，53244xx，……，212144nnnxx，……………………8分以上各式相加得2184334nnx，……………………………………………………10分所以218lim3nnxx奇，211649yx奇奇．即点P奇的坐标为816,39．……………………………………………………………12分四、附加题30.解：如图设x,则竖木料总长=3x+4x=7x,三根横木料总长=67x∴窗框的高为3x，宽为376x．……………………………2分即窗框的面积y=3x·376x=7x2+6x(0x76)……5分配方：y=79)73(72x(0x2)……………………7分∴当x=73米时，即上框架高为73米、下框架为76米、宽为1米时，光线通过窗框面积最大.…………………………………………………………………………8分31.解：（1）设P（x，y）,由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(0,3),(0,3)为焦点，长半轴为2的椭圆.………………………………………………………………2分它的短半轴222(3)1,b故曲线C的方程为2214yx．…………………………………………………4分x2x（2）设1122()()AxyBxy，，，，其坐标满足22141yxykx消去y并整理得22(4)230kxkx，故1212222344kxxxxkk，．…………………………………………5分由OAOB，即12120xxyy