2018年苏州中考数学《第六讲：圆的综合题》专题复习含答案

2018年苏州中考数学专题辅导第六讲圆的综合专题选讲一、圆的概念集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。二、点与圆的位置关系1、点在圆内dr点C在圆内；2、点在圆上dr点B在圆上；3、点在圆外dr点A在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离dr无交点；2、直线与圆相切dr有一个交点；3、直线与圆相交dr有两个交点；drd=rrd四、圆与圆的位置关系外离（图1）无交点dRr；外切（图2）有一个交点dRr；相交（图3）有两个交点RrdRr；内切（图4）有一个交点dRr；内含（图5）无交点dRr；图1rRd图3rRdrddCBAO五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB是直径②ABCD③CEDE④弧BC弧BD⑤弧AC弧AD中任意2个条件推出其他3个结论。推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在⊙O中，∵AB∥CD∴弧AC弧BD六、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，即：①AOBDOE；②ABDE；③OCOF；④弧BA弧BD七、圆周角定理1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即：∵AOB和ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角∴2AOBACB2、圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在⊙O中，∵C、D都是所对的圆周角，∴CD推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对弧是半圆，所对弦是直径。即：在⊙O中，∵AB是直径或∵90C∴90C∴AB是直径推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。即：在△ABC中，∵OCOAOB90C∴△ABC是直角三角形或注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。OEDCBAOCDABFEDCBAOCBAODCBAOCBAOEDCBA在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．八、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。即：在⊙O中，∵四边形ABCD是内接四边形∴180CBAD180BDDAEC九、切线的性质与判定定理（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即：∵MNOA且MN过半径OA外端，∴MN是⊙O的切线（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件能推出最后一个。十、切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：∵PA、PB是的两条切线∴PAPBPO平分BPA十一、★补充：圆幂定理（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。即：在⊙O中，∵弦AB、CD相交于点P，∴PAPBPCPD（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。即：在⊙O中，∵直径ABCD，∴2CEAEBE（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。即：在⊙O中，∵PA是切线，PB是割线，∴2PAPCPB（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。即：在⊙O中，∵PB、PE是割线，∴PCPBPDPE十二、★补充：两圆公共弦定理CBAONMAOPBAO圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。如图：12OO垂直平分AB。即：∵⊙1O、⊙2O相交于A、B两点∴12OO垂直平分AB十三、★补充：圆的公切线两圆公切线长的计算公式：（1）公切线长：12RtOOC中，22221122ABCOOOCO；（2）外公切线长：2CO是半径之差；内公切线长：2CO是半径之和。十四、圆内正多边形的计算（1）正三角形在⊙O中△ABC是正三角形，有关计算在RtBOD中进行：::1:3:2ODBDOB；（2）正四边形同理，四边形的有关计算在RtOAE中进行，::1:1:2OEAEOA：（3）正六边形同理，六边形的有关计算在RtOAB中进行，::1:3:2ABOBOA.十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式1、扇形：（1）弧长公式：180nRl；（2）扇形面积公式：213602nRSlRn：圆心角R：扇形多对应的圆的半径l：扇形弧长S：扇形面积2、圆柱：（1）圆柱侧面展开图2SSS侧表底=222rhr（2）圆柱的体积：2Vrh（2）圆锥侧面展开图（1）SSS侧表底=2RrrBAO1O2CO2O1BASlBAO母线长底面圆周长C1D1DCBAB1RrCBAO（2）圆锥的体积：213Vrh典型例题真题再现：1．(2008年苏州•第18题3分)如图．AB为⊙O的直径，AC交⊙O于E点，BC交⊙O于D点，CD=BD，∠C=70°．现给出以下四个结论：①∠A=45°；②AC=AB：③AEBE；④CE·AB=2BD2．其中正确结论的序号是（）A．①②B．②③C．②④D．③④2．(2008年苏州•第27题9分)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，BM平分∠ABC交AC于M，以A为圆心，AM为半径作OA交BM于N，AN的延长线交BC于D，直线AB交OA于P、K两点．作MT⊥BC于T(1)求证AK=MT；(2)求证：AD⊥BC；(3)当AK=BD时，求证：BNACBPBM．3．（2010年•苏州•第10题3分）如图，已知A、B两点的坐标分别为(2，0)、(0，2)，⊙C的圆心坐标为(－1，0)，半径为1．若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值是（）A．2B．1C．222D．22（第3题）（第4题）4．（2010年•苏州•第18题3分）如图，已知A、B两点的坐标分别为230，、(0，2)，P是△AOB外接圆上的一点，且∠AOP=45°，则点P的坐标为．5．（2010年苏州•第27题9分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC．O是CD边的中点，以O为圆心，OC长为半径作圆，交BC边于点E．过E作EH⊥AB，垂足为H．已知⊙O与AB边相切，切点为F(1)求证：OE∥AB；(2)求证：EH=12AB；(3)若14BHBE，求BHCE的值．6．（2011年苏州第16题，3分）如图，已知AB是⊙O的一条直径，延长AB至C点，使得AC＝3BC，CD与⊙O相切，切点为D．若CD＝3，则线段BC的长度等于．7．（2011年苏州第18题，3分）如图，已知点A的坐标为（3，3），AB⊥x轴，垂足为B，连接OA，反比例函数kyx（k0）的图象与线段OA、AB分别交于点C、D．若AB＝3BD，以点C为圆心，CA的54倍的长为半径作圆，则该圆与x轴的位置关系是（填“相离”、“相切”或“相交”）．8.（2011年苏州市•第26题8分）如图，已知AB是⊙O的弦，OB＝2，∠B＝30°，C是弦AB上的任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交于⊙O于点D，连接AD．(1)弦长AB等于▲（结果保留根号）；(2)当∠D＝20°时，求∠BOD的度数；(3)当AC的长度为多少时，以A、C、D为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似？请写出解答过程．9．（2012年苏州市第27题满分8分）如图，已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A，点P是直径AB左侧半圆上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为C，PC与⊙O交于点D，连接PA、PB，设PC的长为x(2x4)．（1）当x=52时，求弦PA、PB的长度；（2）当x为何值时PD·CD的值最大？最大值是多少？10．（2013年苏州第27题8分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连接DE并延长DE交BC的延长线于点F．（1）求证：BD=BF；（2）若CF=1，cosB=，求⊙O的半径．11．（2014•苏州第27题8分）如图，已知⊙O上依次有A、B、C、D四个点，=，连接AB、AD、BD，弦AB不经过圆心O，延长AB到E，使BE=AB，连接EC，F是EC的中点，连接BF．（1）若⊙O的半径为3，∠DAB=120°，求劣弧的长；（2）求证：BF=BD；（3）设G是BD的中点，探索：在⊙O上是否存在点P（不同于点B），使得PG=PF？并说明PB与AE的位置关系．江南汇教育网12．（2015年苏州第26题满分10分）如图，已知AD是△ABC的角平分线，⊙O经过A、B、D三点，过点B作BE∥AD，交⊙O于点E，连接ED．（1）求证：ED∥AC；（2）若BD=2CD，设△EBD的面积为1S，△ADC的面积为2S，且2121640SS，求△ABC的面积．13．（2016年苏州第26题10分）如图，AB是⊙O的直径，D、E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD=BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE、DE、DF．（1）证明：∠E=∠C；（2）若∠E=55°，求∠BDF的度数；（3）设DE交AB于点G，若DF=4，cosB=，E是的中点，求EG•ED的值．14．（2017年苏州市第27题10分）如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是直径，点D在⊙O上，OD∥BC，过点D作DE⊥AB，垂足为E，连接CD交OE边于点F．（1）求证：△DOE∽△ABC；（2）求证：∠ODF=∠BDE；（3）连接OC，设△DOE的面积为S1，四边形BCOD的面积为S2，若=，求sinA的值．模拟训练：1．(2017年常熟市•本题满分10分)如图1,DE是⊙O的直径，点A、C是直径DE上方半圆上的两点，且AOCO.连接,AECD相交于点F.点B是直径DE下方半圆上的任意一点，连接AB交CD于点G，连接CB交AE于点H.（1）求ABC的度数;（2）证明:CFHCBG;（3）若弧DB为半圆的三分之一，把AOC绕着点O旋转，使点C、O、B在一直线上时，如图2.①证明:1:2FHBG;②若⊙O的半径为4，直接写出FH的长.2．（2018年蔡老师预测•第26题10分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D、E分别在AC、BC上，且CD·BC＝AC·CE，以E为圆心，DE长为半径作圆，⊙E经过点B，与AB、BC分别交于点F、G．（1）求证：AC是⊙E的切线；（2）若AF＝4，CG＝5，①求⊙E的半径；②若Rt△ABC的内切圆圆