实变函数试题1

《实变函数》试卷第1页共5页一、选择题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分）1．设nRE,0E,则E是（）A．可数集；B．不可数集；C．开集；D．闭集.2．设｛Ei｝为一列可测集,则1iiE也可测.且有（）A.m（1iiE）≤1imEi；B.m（1iiE）＝1imEi；C.m（1iiE）≥1imEi；D.m（1iiE）＝∞3．设Ec，则A.E必有内点；B.E可测；C.[0,1]E；D.以上均不对.4．设()fx是E上的可测函数，则()fx（）A.在E上连续；B.在E上可测；C.在E上未必可测；D.在E上绝对连续.5．设()fx是E上的绝对连续函数，则()fx是E上的（）A．一个可积函数的不定积分；B.未必是一致连续连续函数；C．单调函数；D.未必是有界变差变函数.二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）6.设1A，2A，…，nA，…是任一列集合，该集列的下限集limnnA|x《实变函数》试卷第2页共5页7.设E是Rn中一点集,0P为Rn中一定点,如果0P属于E但不是E的聚点,则0P为E的_____________8.有限个可积函数的线性组合是9.设()fx是[a,b]上的有限函数,，则称()fx是[a,b]上的有界变差函数.10.设()fx是全连续函数，则'()bafxdx三、简述题（本大题2小题，每小题5分，共10分）叙述下列定义或定理11.L-外测度具有基本性质12.叶果洛夫定理《实变函数》试卷第3页共5页四、（本大题5小题，每小题10分共50分）解答、证明题13.设[0,],()sin2Efxx，给出()max(),0xfx及()max(),0xfx的图象.《实变函数》试卷第4页共5页14.设31,(),xQxfxxxRQ,计算dxxfL1,015.设201()51312xxfxxxx，求20()Vf16.求证：在[a,b]上的任一有界变差函数()fx都可以表示为两个单调不减函数之差.《实变函数》试卷第5页共5页17.求极限112320lim()sin1()nnxRnxdxnx