实变函数试题库参考答案

1《实变函数》试题题库参考答案一、选择题1、D2、C3、D4、D5、A6、B7、C8、A9、B10、C11、C12、D13、C14、B15、C16、D17、A18、D19、C20、A21、B22、C23、B24、C25、A26、C27、D28、D29、B30、D31、A32、B33、C34、A35、B36、D37、C38、B39、C40、B41、B42、D43、B44、A45、A46、D47、D48、B49、A50、B51、A52、D53、C54、D55、B56、A57、D58、C59、A60、D61、A62、B63、D64、C65、C66、D67、B68、A69、B70、C71、D72、C73、C74、B75、A76、B77、A78、C79、C80、D81、B82、A83、B84、C85、C86、B87、C88、D89、A90、A二、填空题1、n2；2、c；3、c；4、c；5、c；6、c；7、{x:对于任意的I,有Ax}；8、{x:存在I,使得Ax}；9、ACsI；10、ACsI；11、nknkA1；12、nknkA1；13、211)(nkkx；14、|})()({|sup],[tytxbax；15、2112})({kkkyx；16、21222211})(){(yxyx；17、21233222211})()(){(yxyxyx；18、21244233222211})()()(){(yxyxyxyx；19、}1:),{(22yxyxE；20、}1:),,{(222zyxzyx；21、}1:),{(22yxyx；22、}1:),{(22yxyx；223、}1:),,{(222zyxzyx；24、}1:),,{(222zyxzyx；25、2；26、0；27、1；28、)},({inf,yxdByAx；29、)},({sup,yxdAyAx；30、1；31、1||infiiI；32、nnmSlim；33、)(afE可测；34、0有1iiIE；35、CBDA；36、||x；37、可测函数；38、点态收敛与一致收敛；39、)(*||EImI；40、次可数可加性；41、可测函数；42、可测函数；43、单调性；44、1iiG（iG开）；45、推广；46、测度；47、)(*)(**CETmETmTm；48、1nnF，（nF闭集）；49、常数；50、可测函数，连续函数；51、nnmSlim；52、零测集；53、可测函数；54、依测度；55、0；56、0；57、0；58、0；59、0；60、0三、判断题1、(√)理由:集合具有无序性2、(×)理由:举一反例,比如:取A={1},B={2}3、（√）理由:空集Φ是任意集合的子集.4、（×）理由:符号表示集合间的关系,不能表示元素和集合的关系.5、(×)理由:Φ表示没有任何元素的集合,而{Φ}表示单元素集合,这个元素是Φ36、(×)理由:Φ表示没有任何元素的集合,而{0}表示单元素集合,这个元素是07、(√)理由:根据内点的定义,内点一定是聚点8、(×)理由:举一反例,比如:E=(0,1),元素1不是E的外点,但却属于E的余集分9、(√)理由:有内点的定义可得.10、(√)理由:有内点的定义可得.11、(×)理由:举例说明,比如:E=(0,1),元素1是E的边界点,但属于E.12、(×)理由:举一反例,比如:E=(0,1),元素1是E的内点,但不属于E13、（×）理由:因有若]1,0[E，E不可测，而EE)]1,0([可测14、（√）理由:因))(()(()(aggfEgfeagE)))((()))((((aggfEafgfE两可测集的并可测。15、（×）4理由:因C]2,0[]1,0[，但2]2,0[,1]1,0[mm16、（√）理由:因1)()(nnfEfE分17、（×）理由:反例：]1,0(E，nnnnnnjijjxjjxxf2,,2,1]2,21(,0]2,21(,1)()(把}{)(njf是按n后按j的顺序形成的函数列18、（×）理由:因2S的测度可能无限19、（√）理由:因若1E（可测）E，则11)()(EafEafE20、（×）理由:反例：自然数集外测度为零。21、（×）理由:若1E是E的不可测集就不行。22、（×）理由:反例：),0(),,1(BA，1)(ABm23、（√）理由:因Rc，存在单调下降趋于c的有理数列}{nr，则有1)()(nnrfEcfE，故可测。524、（√）理由:因mEEAmmEEAEmAEm)())(()(四、简答题1、答:令f(2n)=2nf(2n－1)＝－2（n－１）其中n=1,2,下面验证f是{自然数全体}到{偶数全体}的一一映射.（1）设m{自然数全体},n{自然数全体}且f(m)=f(n)若f(m)=f(n)0,则m、n为偶数，f(m)=f(n)=m=n若f(m)=f(n)0,则m、n为奇数，f(m)=f(n)=1－m=1－n即m=n,故而f是单射。（2）对于任意的m{偶数全体}若m=0,则有f(1)=0;若m0,则有f(m)=m;若m0,则有f(1－m)=m故而f是满射。有（1）（2）得f是一一映射。2、答：令f(x)=tg((x－21))，下证f(x)是(0,1)到R的一一映射.由三角函数的性质可知f(x)是(0,1)上的严格单增连续函数，且f((0,1))=R所以f(x)是(0,1)到R的一一映射.3、答：令f(x)=tg(2(１－x))，6下证f(x)是(0,1)到[0,]的一一映射.由三角函数的性质可知f(x)是(0,1)上的严格单减连续函数，且f((0,1))=[0,]所以f(x)是(0,1)到[0,]的一一映射.4、答：令f(3n)=nn=1,2,…下证f是{能被3整数整除的正整数}到{正整数全体}的一一映射(1)对于任意的3m,3n{能被3整数整除的正整数}若f(3m)=f(3n)则有m=n,所以f是单射(2)对于任意的n{正整数全体}显然有3n{能被3整数整除的正整数}且f(3n)=n即f是满射由（1）（2）得f是{能被3整数整除的正整数}到{正整数全体}的一一映射.5、答:令f(x)=2x当x(0,21);f(x)=2x+1当x(21,1).由f(x)的单调性,易知f(x)是(0,1)到(0,1)(2,3)的一一映射.6、答:令f(x)=x+1,显然，f(x)是{奇数全体}到{偶数全体}的一一映射.7、答：因对n,1。有),[)1()1|(|nnxEffEn这样)(0)1|(|nffmEn，故ffn。8、答：,2,1iSi，可测jiSSji,11)(iiiimSSm9、答：因1°0c分72°0c时)()(cafEacfE3°0c时)()(cafEacfE故cf在E上可测。10、答：设E是L可测的，F是F集，则存在零测集N，使E=F+N11、答：因1,10,]1,0[0],1,0[))(](1,0[ccQcoxD而[0,1]，Q]1,0[，均可测，故)(xD可测。12、答：有限集，可列集，康脱尔集。分五、计算题1、解：因为有理数集的测度为0，故在]1,0[上几乎处处有xxf)(这样利用积分的性质得：]1,0[)(dxxf]1,0[xdx=211022110|xxdx。2、解：因为有理数集的测度为0，故在]1,0[上几乎处处有xexf)(这样利用积分的性质得：]1,0[)(dxxf]1,0[dxex=1|1010eedxexx。3、解：因为有理数集的测度为0，故在]1,0[上几乎处处有xxfsin)(。这样利用积分的性质得：8]1,0[)(dxxf]1,0[sinxdx=1cos1|cossin1010xxdx。4、解：因为00mP，故在]1,0[上几乎处处有xxf)(这样利用积分的性质得：]1,0[)(dxxf]1,0[xdx=211022110|xxdx。5、解：因为00mP，故在]1,0[上几乎处处有xexf)(这样利用积分的性质得：]1,0[)(dxxf]1,0[dxex=1|1010eedxexx。6、解：因为00mP，故在]1,0[上几乎处处有xxfsin)(。这样利用积分的性质得：]1,0[)(dxxf]1,0[sinxdx=1cos1|cossin1010xxdx。7、解：令nxxfxnnxn51sin)(22，则0)(limxfnn。而212122)(nxnxxnnxnxf。故由Lebesgue控制收敛定理得：0sin)(lim105122nxdxRxnnxn。8、解：令nxxfxnnxnsin)(222/11，则0)(limxfnn。而xnxnxxnnxnxf21212/1222/1)(，且函数x21在]1,0[上L可积。故由Lebesgue控制收敛定理得：0sin)(lim101222/1nxdxRxnnxn。9、解：令nxxfxnnxn21cos)(22，则0)(limxfnn。9而212122)(nxnxxnnxnxf。故由Lebesgue控制收敛定理得：0cos)(lim102122nxdxRxnnxn。10、解：令nxxfxnnxncos)(223/21，则0)(limxfnn。而3/1213/2223/2)(xxfnxnxxnnxn，且函数3/1x在]1,0[上L可积。故由Lebesgue控制收敛定理得：0cos)(lim101223/2nxdxRxnnxn。11、解：令)cos(sin)(21242nxnxxfxnxnn，则0)(limxfnn。而212122242)(xnxnxnxnnxf。故由Lebesgue控制收敛定理得：0)cos(sin)(lim1021242dxnxnxRxnxnn。12、解：令242/331)(xnxnnxf，则0)(limxfnn。而2/1242/33)(xxfxnxnn。故由Lebesgue控制收敛定理得：0)(lim101242/33dxRxnxnn。六、证明题1、证明:设A为一无穷集合,A不空,任意取一元素1x,因为A是无穷集合,所以}{1xA不空,任意取一元素2x,同理},{21xxA不空,任意取一元素103x,…，依次取下去,得一个集合Axxxn},,,{21。令f(nx)=n，显然f是},,,{21nxxx到N的一一映射。故而},,,{21nxxx是A的可数子集.2、证明:令C=B－A,则CB,若C是空集，则BA＝A是可数集.若C不是空集，则C是有限集，设C=},{21naaaA=},,{21nxxx，显然imxa其中nm1，i1。kkac当nk1时；nkkxc当kn时．则},,{21kccc＝BA，显然BA是可数集.3、证明:令C=A－B,则有AC,故C是可数集或有限集．若C是有限集，显然.若C是可数集，显然BC，设},,,{21ncccC，},,{21nbbbB。令nnba2，nnca12，则BACBaaan},,,{21。而},,,{21naaa显然是可数集。故而BA是可数集.4、证明：设},,,{321iiiiA（,3,2,1i）,则iA是可数集，于是知全体正有理数