实施数学建模教学提高中考复习效率

实施数学建模教学提高中考复习效率近几年中考加强了对应用型问题的考查，这类试题以数学建模为中心，意在考查学生应用数学的能力.通过靠后分析试卷发现，考生在此类题中的得分率远低于其它类型题，原因之一就是考生缺乏数学建模能力和应用数学意识，因此在数学毕业总复习中加强数学建模的教学，提高学生数学建模能力，注重培养学生应用数学意识和创新意识就显得尤为重要.本文以2008年中考试题为例，结合笔者近几年的教学实践，谈一下在毕业复习中进行数学建模教学从而提高复习效率的一些探索体会，共大家参考.一.中考当中数学建模的主要类型按照新课程改革的要求，数学建模教学主要是在高中阶段进行，但由于近几年高中教师不断地参与中考命题，因此使高中这一教学模式渗透进了中考的考查.掌握初中数学建模的主要类型，是在复习中有效地实施数学建模教学的前提.1.建立方程（组）模型现实生活中广泛地存在着等量关系，如利息和税率、百分比、浓度配比、工程施工及人员调配、行程等问题，通常都需要建立方程（组）模型来解决.在2008年中考中，通过建立方程（组）模型求解的试题比比皆是，在此仅以山东德州卷第19题为例：为迎接2008年奥运会，某工艺厂准备生产奥运会标志“中国印”和奥运会吉祥物“福娃”．该厂主要用甲、乙两种原料，已知生产一套奥运会标志需要甲原料和乙原料分别为4盒和3盒，生产一套奥运会吉祥物需要甲原料和乙原料分别为5盒和10盒．该厂购进甲、乙原料的量分别为20000盒和30000盒，如果所进原料全部用完，求该厂能生产奥运会标志和奥运会吉祥物各多少套？简析：设生产奥运会标志x套，生产奥运会吉祥物y套，则依题意可建立方程组模型300001032000054yxyx，解方程组得24002000yx，因此该厂能生产奥运会标志2000套，生产奥运会吉祥物2400套．2.建立不等式（组）模型生活中的不等关系主要体现在市场营销、生产决策、统筹安排、最佳决策、最优方案等方面，对于此类实际问题可以考虑通过建立不等式（组）模型来解决.这类试题是最近几年中考呈现的新型试题，由于更为贴近生活，更能考查学生的数学应用意识，因此有愈演愈烈之势，以2008年云南昆明卷第24题为例：某校决定购买一些跳绳和排球，需要的跳绳数量是排球数量的3倍，购买的总费用不低于2200元，但不高于2500元．（1）商场内跳绳的售价为20元/根，排球的售价为50元/个，设购买跳绳的数量为x，按照学校所定的费用，有几种购买方案？每种方案中跳绳和排球的数量各为多少？（2）在（1）的方案中，哪一种方案的总费用最少？最少费用是多少元？（3）由于购买数量较多，该商场规定20元/根的跳绳可打九折，50元/个的排球可打八折，用（2）中的最少费用最多．．还可以多买多少跳绳和排球？简析：本题是一道典型的建立不等式（组）寻求最优方案问题，同时还要注意题中的未知数取值须是正整数.⑴由题意不难建立不等式组模型250035020220035020xxxx，解得1126860x，∵x取正整数，∴x可取60、61、62、63、64、65、66、67、68，∵x31也须取整数，∴x31可取20、21、22，∴有三种购买方案：①跳绳60根，排球20个；②跳绳63根，排球21个；③跳绳66根，排球22个.⑵在⑴中，方案①购买的总数量最少，所以总费用最少，最少费用为60×20＋20×50＝2200元.⑶设用⑵中的最少费用最多还可以多买的排球数量为y，则有20×90%（60＋y3）+50×80%（20＋y）≤2200，解得y≤47193，∵y为正整数，∴满足y≤47193的最大正整数为3，∴多买的跳绳为y3＝9根，故用⑵中的最少费用最多还可以多买9根跳绳和3个排球.3.建立直角三角形模型对测量高度、测量距离、航海、燕尾槽、拦水坝、人字架计算等应用型问题，可考虑建立直角三角形模型，利用解直角三角形的知识使问题获得解决.此类试题在2008年中考中得到了加强和提升，在各地中考试卷中都可以见到，仅以河南卷第20题为例：如图所示，A、B两地之间有一条河，原来从A地到B地需要经过DC，沿折线A→D→C→B到达，现在新建了桥EF，可直接沿直线AB从A地到达B地．一直BC=11km，∠A=45°，∠B=37°．桥DC和AB平行，则现在从A地到达B地可比原来少走多少路程？（结果精确到0.1km．参考数据：1.412，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80）FEDCBA45°37°简析：如图，过点D作DH⊥AB于H，建立直角三角形模型，再作DG∥CB交AB于G，可得DCBG是平行四边形，则有DC＝GB，GD＝BC＝11，从而得两条路线路程之差为AD＋DG－AG，在Rt△DGH中，DH＝DG·sin37°≈11×0.60＝6.60，GH＝DG·cos37°≈11×0.80＝8.80.在Rt△ADH中，AD＝2DH≈1.41×6.60≈9.31，AH＝DH＝6.60，∴AD＋DG－AG＝（9.31＋11）－（6.60＋8.80）≈4.9(㎞),即现在从A地到B地可比原来少走4.9㎞.4.建立函数模型当变量的变化具有（近似）函数关系或物体运动的轨迹具有某种规律时，可通过建立函数模型，将实际问题转化为数学问题，运用函数的相关知识解决.2008年这类需要建立函数模型的试题主要体现在造价成本最低、产出利润最大、风险决策、股市期货、开源节流、扭亏为盈等方面.下面以广西南宁卷第26题为例：随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高．某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润1y与投资量x成正比例关系，如图12-①所示；种植花卉的利润2y与投资量x成二次函数关系，如图12-②所示（注：利润与投资量的单位：万元）．（1）分别求出利润1y与2y关于投资量x的函数关系式；（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利图12图12-①图12-②xxyy11222211OO(12)P，(22)Q，润？他能获取的最大利润是多少？简析：⑴由题意可设kxy1，22axy，结合图像可知2k，21a，得xy21，2221xy.⑵要获得最大利润，根据题意可设总利润为y万元，投入花卉为x万元，植树投入为（8－x）万元，依题意得14)2(21162212221xxxyyy，∴当2x时，最小y＝14，∴这位专业户至少获利14万元.又∵0≤x≤8，抛物线的对称轴为2x，①当0≤x＜2时，y随x的增大而减小，∴x＝0时，最大y＝16；②当2≤x≤8时，y随x的增大而增大，∴x＝8时，最大y＝32.综合①、②可知，这位专业户能获取的最大利润是32万元.5.建立几何模型诸如工程定位、边角余料加工、拱桥计算、皮带传动、修复残破轮片、跑道的设计与计算等应用问题，涉及应用一定几何图形的性质需建立几何模型，用几何知识加以解决.这类试题是近年出现的一类创新试题，相信随着中考数学应用意识考查的进一步加强，这类需要建立几何模型解决的试题会得到各地命题人员的重视与完善.以2008年江苏南京卷第16题为例：如图，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点A处安装了一台监视器，它的监控角度是65．为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装这样的监视器台．简析：由题意可知该展厅是圆形，根据圆周角的度数等于角所对的弧的度数的一半可知，65°角的监控器可看到130°的圆形弧，由此问题转化为360°的角可分为几个130°角的问题，从而建立起几何模型，可得整个展厅至少需要安装3台.二.数学复习教学中实施建模教学的具体途径1.立足教材发掘改编目前初中数学教材中编制的大部分应用型问题，只是为了体现“理论联系实际”的原则，普遍存在着分量过轻、内容陈旧、范围过窄等缺点，而且离学生的生活现实较远，缺乏真正意义上的数学建模的教学功能.通过近几年在毕业复习中的实践，我认为数学建模教学应结合正常的复习教学内容切入，把培养学生数学应用意识真正落实到复习的过程中.可以教材为载体，通过对数学内容的科学A65加工、处理和再创造，即对其进行再生利用，可有效地提高学生的数学建模能力.对复习过程中出现的应用型问题，可以改变设问方式，变换题目中的条件和结论，拓广成新的问题，从而可扩展学生的视野，增强数学应用意识.例1：（鲁教版数学七年级下册第107页）某学校计划购买若干台某型号的电脑，现从两家商场了解到该型号电脑每台报价为6000元，并且多买都有一定的优惠.甲商场的优惠条件是：第一台按原报价收费，其余每台优惠25%，那么甲商场的收费1y（元）与所买电脑台数x之间的函数关系式是_______________；乙商场的优惠条件是：每台优惠20%，那么乙商场的收费2y（元）与所买电脑台数x之间的函数关系式是_______________.本题背景是与我们生活密切相关的方案问题，在现实生活中学生随处都可以遇到，因此对学生具有一定的吸引力，但学生能否把这一应用型问题抽象为函数模型是解决问题的关键.作为教材中的基础题，应起到示范和引导的作用，因此命题者将其降低了难度，预先设出变量x、y来引导学生列出关系式，这对学生建立函数模型解题有提示作用.解：150045001xy；xy48002.在毕业复习时可将此题作为数学建模教学的素材，进行改编强化学生建模解题的意识.改编题一：在学生写出两个关系式后，教师可先后提出下面两个问题：⑴什么情况下到两家商场购买花费相同？⑵什么情况下到甲商场购买更优惠？问题⑴有助于培养学生建立方程模型，∵1y＝2y，即xx480015004500，解得5x，∴当买5台电脑时，到两家商场购买收费相同；问题⑵有助于培养学生建立不等式模型，∵1y＜2y，即xx480015004500，解得5x，∴当所买电脑台数多余5台时，到甲商场购买更优惠.改编题二：（2008年四川宜宾卷第15题）某学校准备添置一些“中国结”挂在教室。若到商店去批量购买，每个“中国结”需要10元；若组织一些同学自己制作，每个“中国结”的成本是4元，无论制作多少，另外还需共付场地租金200元。亲爱的同学，请你帮该学校出个主意，用哪种方式添置“中国结”的费用较节省？这道最优方案试题需要考生构造不等式模型求解，可用作前面例1的加深和提升对学生进行训练，从而强化学生的数学应用意识.解：设需要中国结x个，则直接购买需10x元，自制需(4x＋200)元分两种情况：（1）若10x4x+200,得2333x,即少于33个时，到商店购买更便宜（2）若10x4x+200,得2333x即少于33个时,自已制作更便宜.对教材中已有的问题或教参中一些有代表性的问题，进行有目的地加工，然后应用于数学建模教学中，可有效地培养学生自觉地应用知识去观察、分析实际问题，促使学生由知识型向能力型转变.2.赋予纯数学问题以实际背景，编拟应用型问题对教材中的纯数学问题，可依照科学性、现实性、新颖性、趣味性和可行性的原则，编拟有实际背景或一定应用价值的应用型问题，应用于数学建模教学当中，可有效地提高学生解中考试题的能力.下面仅举一例：例2：已知△PAC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∠PBC＝60°，AB＝500，试求线段PC的长度.PCBA本题是初中数学教材中常见的一个问题，可以用代数或几何知识解决.在中考复习中，我们可以增加它的背景，让其生活化，引入直角三角形模型，将此枯燥的纯数学问题赋予生命，从而可拉近与学生间的距离，增强学生用数学的意识.背景一：PC是一根旗杆，某人先站在A点处看旗杆顶部，仰角∠A＝30°.然后他向旗杆方向走了500米到B处，再看旗杆顶部，此时仰角∠PBC＝60°，则旗杆的高度是多少米？解：设PC＝x米，∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴AC＝30tanx＝x3，∵∠PBC＝60°，∴BC＝60tanx＝x33，∵AC－BC＝500，∴500333xx，∴x＝3250米，即旗杆的高度是3250米.背景二：（2008年山东威海卷第17题）如图，小明同学在东西方向的