实现预定轨迹的平面四连杆机构的优化设计

实现预定轨迹的平面四连杆机构的数学建模及其优化设计一．问题描述设计一平面四连杆机构，如图1所示。要求曲柄在运动过程中实现运动轨迹xy2，52x，因传递力的需要，最小转动角大于50度。图1二．建立优化数学模型1．确定设计变量根据设计要求，由机械原理知识可知，设计变量有L1、L2、L3、L4、。将曲柄的长度取为一个单位长度1，其余三杆长可表示为L1的倍数。由图1所示的几何关系可知4324232212)(arccosLLLLLL为杆长的函数。另外，根据机构在机器中的许可空间，可以适当预选机架L4的长度，取L4=5，经以上分析，只剩下L2、L3两个独立变量，所以，该优化问题的设计变量为TTLLXXX3221,,因此。本优化设计为一个二维优化问题。2.建立目标函数按轨迹的优化设计，可以将连杆上M点mimiyx,与预期轨迹点坐标偏差最小为寻优目标，其偏差为iMiixxx和iMiiyyynxi,,2,1，如图2。为此，把摇杆运动区间2到5分成S等分，M点坐标有相应分点与之对应。将各分点标号记作i，根据均方根差可建立其目标函数，即min2/122iMiiMiyyxxXfsin3LyMicos33LxMiiixy2)1(31isxi，S为运动区间的分段数4324232212)(arccosLLLLLL于是由以上表达式便构成了一个目标函数的数学表达式，对应于每一个机构设计方案（即给定21,XX），即可计算出均方根差Xf。图23.确定约束条件根据设计条件，该机构的约束条件有两个方面：一是传递运动过程中的最小传动角应大于50度；二是保证四杆机构满足曲柄存在的条件。以此为基础建立优化线束条件。①保证传动角50图3按传动条件，根据图3可能发生传动角最小值的位置图，由余弦定理6428.050cos6428.0arccos2)(arccos322322241LLLLLL所以3223222412496.1)(LLLLLL（a）6428.0arccos2)(arccos322142322LLLLLL所以3221423222496.1)(LLLLLL（b）式（a）、（b）为两个约束条件，将11L，54L，12xL，23xL代入式（a）、（b），得0362496.12122211xxxxxg0162496.12122212xxxxxg②曲柄存在的条件按曲柄存在条件，由机械原理知识可知12LL，13LL，3241LLLL4321LLLL，4231LLLL把它们写成不等式约束条件（将11L，54L，12xL，23xL代入上式），得0113xxg0124xxg06215xxxg04216xxxg04127xxxg经过分析，上述七个约束条件式中，Xg1和Xg2为紧约束条件，XgXg73~为松约束条件，即满足01Xg和02Xg的X，必满足不等式0~073XgXg，所以本优化问题实际起作用的只有Xg1和Xg2两个不等式约束条件。4.写出优化数学模型综上所述，可得本优化问题的数学模型为siiMiiMiyyxxXf02/122minTTLLXXX3221,,ts.0362496.12122211xxxxxg0162496.12122212xxxxxg即本优化问题具有两个不等式约束的二维约束优化问题。三．选择优化方法及优化结果选取Matlab2011a版优化工具箱进行本优化问题优化。取初始点TX2,30，优化结果为TTxxX69.2,10.5,21，即L2=5.10（长度单位），L3=2.69（长度单位）；2.41Xff