实用统计学第五章

67第五章差异分析第一节差异分析的概念和作用一．什么是差异分析差异分析就是研究不同个体或不同条件下的数值差异大小。在经济分析中，常用来分析个人收的差异、投资风险、经营风险、财务风险、稳定性等。二．差异分析的作用（一）说明平均数的代表性平均数作为总体某一数据代表数值，其代表性取决于总体各单位数据值的差异程度。总体各单位数据值的差异程度。总体各单位数据值的差异大，说明该总体的平均数的代表差；总体各单位数据值差异小，则说明该平均数的代表性好。例如，某车间两个小组工人的月工资资料如下：（单位：元）甲组：800900100011001200乙组：900950100010501100这两个小组工人的月平均工资都是1000元，但各组工人工资的差异程度不同：甲组工人工资每人相差100元，乙组只相差50元。因而，这两具小组工人的平均工资所具有的代表性也不同：甲组各工人工资额的差异较大，其平均数的代表性就差；乙组各工人工资额的差异较小，其平均数的代表性就强。（二）反映均衡性、稳定性差异分析可以反映均衡性、稳定性，差异愈小，说明事物的稳定性和均衡性越好；差异越大，说明事物的稳定性和均衡性越差。因此运用差异分析可以考察经济发展的稳定性、生产的稳定性、个人收入水平的均衡性等。如对某一新品种种子作试验，除确定这一品种作物所达到的平均亩产水平外，还要研究它在生产中的稳定程度。如果这一品种在不同试验田的亩产比较接近，差异程度较小，说明该品种产量具有稳定性，标志着该品种为优良品种，可以推广种植。否则推广价值将受到不利影响。（三）反映经济风险风险就是收益的不稳定性，如果收益差异大，就说明收益不稳定，也就是风险大；如果收益差异小，说明收益稳定，就是风险小。差异分析常用来分析投资风险、经营风险等。（四）衡量估计误差大小估计误差包括以样本估计总体的误差和预测值与实际值的误差，估计误差的大小分析，就是用差异分析指标来衡量的。估计值与实际值差异越大，估计的准68确性越差。第二节差异分析的方法常用的差异分析方法有：全距、平均差、标准差、标准离差率等，最常用的是标准差和标准离差率。以下分别加以介绍一、全距（一）全距的概念和计算全距又称极差，它是数据最大值和最小值之差，用以说明数据变动范围的大小。全距=最大值－最小值[例5-1]某车间有两个生产小组，都是七名工人，各人日产产品件数如下：甲组：20、40、60、70、80、100、120乙组：67、68、69、70、71、72、73甲组日产量全距=120－20=100（件）乙组日产量全距=73－67=6（件）从计算可以看出，甲组工人日产量差异大于乙组工人日产量。全距愈小，反映数据愈集中，差异也就愈小；全距愈大，反映变量值愈分散，则差异愈大。对于根据组距数列求全距，可以用最高组的上限与最低组的下限之差，求全距的近似值。（二）全距的特点全距的优点在于计算方便，意义明确。它是差异分析的最简便方法。在实际工作中，全距可用于工业产品质量的检查和控制。在通常的生产条件下，产品质量性能指标如强度、硬度、浓度、尺寸等的差距总是在一定的范围内波动，如果差距超过了一定范围，就说明生产可能出现了问题，必须采取措施。但全距这个指标很粗略，它只考虑数据的两个极端数值的差异，而不管中间数据值的差异情况，因而不介于全面反映数据值的差异程度。二、平均差（一）平均差的概念和计算平均差是各数据值与其平均数的差异绝对值的平均数，又称平均离差。表示平均差异水平。计算平均差时，由于掌握的资料不同，平均差的计算分为两种情况：1．根据原始数据计算在根据原始数据计算时，采用简单平均法。其方法为：69AD=nxx[例5-2]以[例5-1]所举的甲、乙两组式人日产量为例。说明平均差的计算方法。计算见表5-1。表5-1甲组乙组产量（件）离差离差绝对值产量（件）离差离差绝对值xxxxxxxxxx20﹣505067﹣3340﹣303068﹣2260﹣101069﹣117000700080101071111003030722212050507333合计—180合计—12AD甲=71.257180（件）AD乙=71.1712（件）这就是说，在甲、乙两组工人平均日产量相等（都等于70件）的情况下，甲组的平均差明显大于乙组，说明甲组工人日产量水平差异大于乙组。2．根据分组资料计算在数据经过分组后，形成分布数列，就应采取加权平均法，其方法为：AD=ffxx[例5-3]某车间200个工人按日产量分组编成分布数列，计算平均差见表5-2。70422008400fxfx（公斤）AD=ffxx=6.62001320（公斤）表5-2日产量(公斤)组中值x工人数fxfxxxxfxx20—302510250-171717030—403570450-7749040—50459040503327050—60553016501313390合计—2008400—40计算结果表明，200个工人各自日产量与平均日产量平均差异为6.6公斤。（二）平均差的特点平均差是根据全部数据值计算出来的，所以对全部数据值的差异有充分的代表性。但平均差计算由于采用取离差绝对值的方法来达到防止正负离差抵消，因而不适合数学方法的应用，所以在统计分析中较少使用。三、标准差（一）标准差的概念和计算标准差是各个数据值与其平均数的离差平方的平均数的平方根，又称均方差，通常用表示。标准差的平方即方差。标准差实际上是平均差的另一种算法。标准差是测定数据差异大小最常用的指标。其计算方法根据资料的不同也有两种：1．根据原始资料计算根据原始资料计算时，采用简单平均法，计算方法为：nxx2）（[例5-4]仍以[例5-1]甲、乙两组工人日产量资料为例，计算标准差如表715-3。9.1872500甲（件）2728乙（件）这就是说，在甲、乙两组工人平均日产量的条件下，每人日产量与其平均数的平均差异，甲组为18.9件，乙组为2件，甲组的差异大于乙组。表5-3甲组乙组日产量（件）x离差xx离差平方2)(xx日产量（件）x离差xx离差平方2)(xx20﹣5025067﹣3940﹣3090068﹣2460﹣1010069﹣117000700080101007111100309007224120502507339合计—2500合计—282．根据分组资料计算根据分组资料即分布数列计算标准差时，采用加权平均法，计算方法为：ffxx2)([例5-5]仍以[例5-3]资料，计算标准差。如表5-4。日产量(公斤)组中值x工人数fxx2)(xxfxx2)(20—302510-17289289030—403570-749343040—504590393807250—605530131695070合计—200——122008.720012200)(2fxx(公斤)和计算平均数一样，标准差也可以以频率计算，即：ffxxfxx22)()(仍以本例数据计算如下：20030169200909200704920010289=%15169%459%3549%5289=8.7（公斤）以频率计算的方法常用于以概率计算标准差的场合。（二）标准差的特点标准差与平均差一样，考虑到总体所有数据值的差异，但它计算比较复杂。能准确反映差异情况，标准差的计算方法符合数学原理，所以应用最广。但它计算比较复杂。四、标准离差率（一）标准离差率的概念和计算由于标准差（或平均差）反映的是平均绝对离差，而绝对数在不同条件下往往是不可比的。因此，差异大小的比较，在同等条件下用标准差（或平均差）的大小比较就可以了，如前面的甲、乙两组工人日产量差异的比较，因为两组平均日产量水平都是70件，标准差（或平均差）较大的组差异就大。但在不同条件下，即不同总体的平均水平不相等的条件下，仅用标准差（或平均差）比较差异大小就是靠不住的。例如标准差为10，相对于100的平均水平来说差异率为10%，而相对于01000的平均水平来说差异率仅为1%，显然对后者来讲差异小，对前都来讲差异大。因此，在平均水平不同的条件下，比较差异要看相对差异率的高低。标准离差率就是反映相对差异水平的相对数，它是标准差与平均数的相对比率，也称标准差系数或离散系数。适用于不同平均水平条件下的差异分析。73标准离差率的计算方法就是：xV[例5-6]有两个不同班组的各5名工人，某日加班费数额如下：甲组：60、65、70、75、80乙组：2、5、7、9、12计算得：70甲x元07.7甲元7乙x元41.3乙元若根据甲＞乙而断言甲组差异大于乙组是不妥的，因为这两组的平均水平相差悬殊，应计算其标准离差率来比较。%1.107007.7甲V%7.48741.3乙V计算结果表明，并非甲组差异大于乙组，而是乙组大于甲组，因为乙组相对差异大。（二）标准离差率的特点标准离差率是相对数，可用于任何条件下的差异比较和研究，所以它是最主要的差异分析指标。第三节差异分析的应用一、个体差异分析个体差异分析用来分析如职工工资的差异、个人收入差异、工人完成工作量的差异，学生学习成绩差异等。个体差异分析的标准差计算方法为：标准差=个体数平均值）（个体值2标准差（或标准离差率）越大，说明个体差异越大，或者说越不均衡。前面所举的例子，都是个体差异分析，在此就不再另举例了。二、均衡性、稳定性分析74在社会经济分析中，均衡性、稳定性分析常用来分析企业生产的均衡性、销售或业务量的均衡性。经济发展的稳定性、市场价格的波动大小等问题。现举二例说明：[例5-7]某商贸企业，为了消除季节波动对经营的不利影响，本年度采取了一些营销手段试图改善，现有两年的销售资料如表5-5，试分析本年比上年销售均衡性是否有所改善。表5-5单位：万元月份123456789101112上年销售额405030355030323535504038本年销售额455335405235354040524540上年月平均销售额=（40+50+30+35+50+30+32+35+35+50+40+38）÷12=38.75（万元）月销售额标准差=1275.383875.385075.3840222）（）（）（=7.21（万元）本年月平均销售=（45+53+35+40+52+35+35+40+40+52+45+40）÷12=42.67（万元）月销售额标准差=1267.424067.425367.4245222）（）（）（=6.43（万元）由于本年月平均销售额大于上年，而标准差还小于上年，所以本年销售均衡性比上年有改善，改善的程度为：上年标准离差率=%61.1875.3821.7本年标准离差率=%07.1567.4243.6标准离差率即不均衡率降低了3.54%个百分点。[例5-8]某农产品市场价格在本年5月下与上年同期4周内变动情况如表5-6，试分析哪年份价格较稳定。（每周上市量基本相同）表5-675时间第一周第二周第三周第四周上年价格1.01.51.21.1本年价格1.11.31.21.0上年平均价格=2.141.12.15.10.1（元/公斤）上年标准差=42.11.12.12.12.15.12.10.12222）（）（）（）（=19.0（元/公斤）本年平均价格=175.140.12.13.11.1（元/公斤）本年标准=4175.10.1175.12.1175.13.1175.11.12222）（）（）（）（=11.0（元/公斤）由于两年平均价格不同，需计算标准离差率比较：上年标准离差率=%83.152.119.0本年标准离差率=%36.9175.111.0可见，本年价格较稳定，价格差异率降低了6.47个百分点。二、风险分析风险就是不稳定性，如果未来收益差异大，就说明收益不稳定，也就是风险大；如果未来收益差异小，说明收益稳定，就是风险小。所以，我们可以计算未来收益的标准差，来说明风险的大小。例如：某