实验6 子集和问题的回溯算法设计与实现(报告)

湖南大学算法分析与设计实验报告实验6子集和问题的回溯算法设计与实现201506191实验6子集和问题的回溯算法设计与实现一、实验目的1、掌握回溯法解题的基本思想；2、掌握回溯算法的设计方法；3、针对子集和数问题，熟练掌握回溯递归算法、迭代算法的设计与实现。二、实验内容1、认真阅读教材或参考书,掌握回溯法解题的基本思想,算法的抽象控制策略；2、了解子集和数问题及解向量的定长和变长状态空间表示；3、针对解向量的定长表示,设计状态空间树节点扩展的规范(限界)函数及实现方法；4、分析深度优先扩展状态空间树节点或回溯的条件；5、分析和设计生成解向量各分量可选值的实现方法；6、设计和编制回溯算法的递归和迭代程序。【实验题】：组合数问题：找出从自然数1，2，…，n中任取r个数的所有组合。三、算法的原理方法回溯法也称为试探法，该方法首先暂时放弃关于问题规模大小的限制，并将问题的候选解按某种顺序逐一枚举和检验。当发现当前候选解不可能是解时，就选择下一个候选解；倘若当前候选解除了还不满足问题规模要求外，满足所有其他要求时，继续扩大当前候选解的规模，并继续试探。如果当前候选解满足包括问题规模在内的所有要求时，该候选解就是问题的一个解。在回溯法中，放弃当前候选解，寻找下一个候选解的过程称为回溯。扩大当前候选解的规模，以继续试探的过程称为向前试探。可以采用回溯法找问题的解，将找到的组合以从小到大顺序存于a[0]，a[1]，…，a[r-1]中，组合的元素满足以下性质：（1）a[i+1]a[i]，后一个数字比前一个大；（2）a[i]-i=n-r+1。按回溯法的思想，找解过程可以叙述如下：首先放弃组合数个数为r的条件，候选组合从只有一个数字1开始。因该候选解满足除问题规模之外的全部条件，扩大其规模，并使其满足上述条件（1），候选组合改为1，2。继续这一过程，得到候选组合1，2，3。该候选解满足包括问题规模在内的全部条件，因而是一湖南大学算法分析与设计实验报告实验6子集和问题的回溯算法设计与实现201506192个解。在该解的基础上，选下一个候选解，因a[2]上的3调整为4，以及以后调整为5都满足问题的全部要求，得到解1，2，4和1，2，5。由于对5不能再作调整，就要从a[2]回溯到a[1]，这时，a[1]=2，可以调整为3，并向前试探，得到解1，3，4。重复上述向前试探和向后回溯，直至要从a[0]再回溯时，说明已经找完问题的全部解。四、实验程序的功能模块voidcomb(intn,intr);//计算排列函数，传入参数数组规模大小n，排列的规模大小r，输出排列结果。五、详细代码#includestdio.h#includeiostream#defineN100usingnamespacestd;inta[N];//暂存结果数组，排列voidcomb(intn,intr){inti,j;i=0;a[i]=1;do{if(a[i]-i=n-r+1)/*还可以向前试探*/{if(i==r-1)/*已找到一个组合*/{for(j=0;jr;j++)couta[j];coutendl;a[i]++;continue;}i++;a[i]=a[i-1]+1;/*向前试探*/}else{if(i==0)return;/*已找到所有解*/a[--i]++;}/*回溯*/}while(1);}intmain(){intn,r;cinnr;comb(n,r);return0;湖南大学算法分析与设计实验报告实验6子集和问题的回溯算法设计与实现201506193}六、测试数据和相应的实验结果Input:32123Output:121323七、思考题1、在3×3个方格的方阵中要填入数字1到N（N≥10）内的某9个数字，每个方格填一个整数，似的所有相邻两个方格内的两个整数之和为质数。试求出所有满足这个要求的各种数字填法。答：#includestdio.h#defineN12voidwrite(inta[]){inti,j;for(i=0;i3;i++){for(j=0;j3;j++)printf(%3d,a[3*i+j]);printf(\n);}scanf(%*c);}intb[N+1];inta[10];intisprime(intm){inti;intprimes[]={2,3,5,7,11,17,19,23,29,-1};if(m==1||m%2==0)return0;for(i=0;primes[i]0;i++)if(m==primes[i])return1;for(i=3;i*i=m;)湖南大学算法分析与设计实验报告实验6子集和问题的回溯算法设计与实现201506194{if(m%i==0)return0;i+=2;}return1;}intchecmatrix[][3]={{-1},{0,-1},{1,-1},{0,-1},{1,3,-1},{2,4,-1},{3,-1},{4,6,-1},{5,7,-1}};intselectnum(intstart){intj;for(j=start;j=N;j++)if(b[j])returnj;return0;}intcheck(intpos){inti,j;if(pos0)return0;for(i=0;(j=checmatrix[pos][i])=0;i++)if(!isprime(a[pos]+a[j]))return0;return1;}intextend(intpos){a[++pos]=selectnum(1);b[a[pos]]=0;returnpos;}intchange(intpos){intj;while(pos=0&&(j=selectnum(a[pos]+1))==0)b[a[pos--]]=1;if(pos0)return-1;b[a[pos]]=1;a[pos]=j;b[j]=0;returnpos;}voidfind(){intok=0,pos=0;a[pos]=1;b[a[pos]]=0;do{if(ok)湖南大学算法分析与设计实验报告实验6子集和问题的回溯算法设计与实现201506195if(pos==8){write(a);pos=change(pos);}elsepos=extend(pos);elsepos=change(pos);ok=check(pos);}while(pos=0);}voidmain(){inti;for(i=1;i=N;i++)b[i]=1;find();}（1）4,9,81,2,36,11,16（2）1,2,54,3,87,10,9(3)2,1,45,6,78,11,122、试针对0/1背包问题设计回溯算法，比较与子集和数问题的算法差异。答：0/1背包问题是子集树，是满二叉树，而子集和数问题是排列树。就以本实验的题目来说，两者解空间构成的树如下：0/1背包问题解空间树：a[i]表示第i件物品，边0表示不放入背包，边1表示放入背包子集和数问题解空间树：a[i]表示第i个数，从根节点到叶节点表示一个排列湖南大学算法分析与设计实验报告实验6子集和问题的回溯算法设计与实现2015061963、求出在一个n×n的棋盘上，放置n个不能互相捕捉的国际象棋“皇后”的所有布局。思考题可选做一个。答：一个合适的解应是在每列、每行上只有一个皇后，且一条斜线上也只有一个皇后。求解过程从空配置开始。在第1列至第m列为合理配置的基础上，再配置第m+1列，直至第n列配置也是合理时，就找到了一个解。接着改变第n列配置，希望获得下一个解。另外，在任一列上，可能有n种配置。开始时配置在第1行，以后改变时，顺次选择第2行、第3行、…、直到第n行。当第n行配置也找不到一个合理的配置时，就要回溯，去改变前一列的配置。为使程序在检查皇后配置的合理性方面简易方便，引入以下三个工作数组：（1）数组a[]，a[k]表示第k行上还没有皇后；（2）数组b[]，b[k]表示第k列右高左低斜线上没有皇后；（3）数组c[]，c[k]表示第k列左高右低斜线上没有皇后；棋盘中同一右高左低斜线上的方格，他们的行号与列号之和相同；同一左高右低斜线上的方格，他们的行号与列号之差均相同。初始时，所有行和斜线上均没有皇后，从第1列的第1行配置第一个皇后开始，在第m列col[m]行放置了一个合理的皇后后，准备考察第m+1列时，在数组a[]、b[]和c[]中为第m列，col[m]行的位置设定有皇后标志；当从第m列回溯到第m-1列，并准备调整第m-1列的皇后配置时，清除在数组a[]、b[]和c[]中设置的关于第m-1列，col[m-1]行有皇后的标志。一个皇后在m列，col[m]行方格内配置是合理的，由数组a[]、b[]和c[]对应位置的值都为1来确定。得到求解皇后问题的算法如下：#includestdio.h#includestdlib.h#defineMAXN20intn,m,good;intcol[MAXN+1],a[MAXN+1],b[2*MAXN+1],c[2*MAXN+1];voidmain(){intj;湖南大学算法分析与设计实验报告实验6子集和问题的回溯算法设计与实现201506197charawn;printf(Entern:);scanf(%d,&n);for(j=0;j=n;j++)a[j]=1;for(j=0;j=2*n;j++)b[j]=c[j]=1;m=1;col[1]=1;good=1;col[0]=0;do{if(good)if(m==n){printf(列\t行);for(j=1;j=n;j++)printf(%3d\t%d\n,j,col[j]);printf(Enteracharacter(Q/qforexit)!\n);scanf(%c,&awn);if(awn=='Q'||awn=='q')exit(0);while(col[m]==n){m--;a[col[m]]=b[m+col[m]]=c[n+m-col[m]]=1;}col[m]++;}else{a[col[m]]=b[m+col[m]]=c[n+m-col[m]]=0;col[++m]=1;}else{while(col[m]==n){m--;a[col[m]]=b[m+col[m]]=c[n+m-col[m]]=1;}col[m]++;}good=a[col[m]]&&b[m+col[m]]&&c[n+m-col[m]];}while(m!=0);}