实验三 FIR数字滤波器的设计

实验三FIR数字滤波器的设计一、实验目的1.掌握用窗函数法，频率采样法及优化设计法设计FIR滤波器的原理及方法，熟悉响应的计算机编程；2.熟悉线性相位FIR滤波器的幅频特性和相频特性；3.了解各种不同窗函数对滤波器性能的影响。二、实验原理与方法线性相位实系数FIR滤波器按其N值奇偶和h(n)的奇偶对称性分为四种：1、h(n)为偶对称，N为奇数H(ejω)的幅值关于ω=0，π，2π成偶对称。2、h(n)为偶对称，N为偶数H(ejω)的幅值关于ω=π成奇对称，不适合作高通。3、h(n)为奇对称，N为奇数H(ejω)的幅值关于ω=0，π，2π成奇对称，不适合作高通和低通。4、h(n)为奇对称，N为偶数H(ejω)ω=0、2π＝0，不适合作低通。(一)窗口法窗函数法设计线性相位FIR滤波器步骤确定数字滤波器的性能要求：临界频率{ωk}，滤波器单位脉冲响应长度N；根据性能要求，合理选择单位脉冲响应h(n)的奇偶对称性，从而确定理想频率响应Hd(ejω)的幅频特性和相频特性；求理想单位脉冲响应hd(n)，在实际计算中，可对Hd(ejω)按M(M远大于N)点等距离采样，并对其求IDFT得hM(n)，用hM(n)代替hd(n)；选择适当的窗函数w(n)，根据h(n)=hd(n)w(n)求所需设计的FIR滤波器单位脉冲响应；求H(ejω)，分析其幅频特性，若不满足要求，可适当改变窗函数形式或长度N，重复上述设计过程，以得到满意的结果。窗函数的傅式变换W(ejω)的主瓣决定了H(ejω)过渡带宽。W(ejω)的旁瓣大小和多少决定了H(ejω)在通带和阻带范围内波动幅度，常用的几种窗函数有：矩形窗w(n)=RN(n)；Hanning窗；Hamming窗；Blackmen窗；Kaiser窗。式中Io(x)为零阶贝塞尔函数。（二）频率采样法频率采样法是从频域出发，将给定的理想频率响应Hd(ejω)加以等间隔采样然后以此Hd(k)作为实际FIR数字滤波器的频率特性的采样值H(k),即令由H(k)通过IDFT可得有限长序列h(n)将上式代入到Z变换中去可得其中Φ(ω)是内插函数（三）FIR滤波器的优化设计FIR滤波器的优化设计是按照最大误差最小化准则，使所设计的频响与理想频响之间的最大误差，在通带和阻带范围均为最小，而且是等波动逼近的。为了简化起见，在优化设计中一般将线性相位FIR滤波器的单位脉冲响应h(n)的对称中心置于n=0处，此时，线性相位因子α=0。当N为奇数，且N=2M+1，则如希望逼近一个低通滤波器，这里M，ωp和ωs固定为某个值。在这种情况下有定义一逼近误差函数：E(ω)为在希望的滤波器通带和阻带内算出的误差值，W(ω)为加权函数。k应当等于比值δ1/δ2，δ1为通带波动，δ2为阻带波动。在这种情况下，设计过程要求|E(ω)|在区间的最大值为最小，它等效于求最小δ2。根据数学上多项式逼近连续函数的理论，用三角多项式逼近连续函数，在一定条件下存在最佳逼近的三角多项式，而且可以证明这个多项式是唯一的。这一最佳逼近定理通常称作交替定理。在逼近过程中，可以固定k，M，ωp，ωs而允许改变δ2，按照交替定理，首先估计出(M+2)个误差函数的极值频率点{ωi}，i=0,1,...,M+1，共计可以写出(M+2)个方程式中ρ表示峰值误差。一般仅需求解出ρ，接着便可用三角多项式找到一组新的极值频率点，并求出新的峰值误差ρ。依此反复进行，直到前、后两次ρ值不变化为止，最小的ρ即为所求的δ2。这一算法通常称作雷米兹(Remez)交替算法。三、实验内容及步骤(1)N=15,。用Hanning窗设计一线性相位带通滤波器，观察它的实际3dB和20dB带宽。N=45，重复这一设计，观察幅频和相位特性的变化，注意长度N变化的影响；(2)分别改用矩形窗和Blackman窗，设计(1)中的带通滤波器，观察并记录窗函数对滤波器幅频特性的影响，比较三种窗的特点；(3)用Kaiser窗设计一专用线性相位滤波器，N=40，如图，当β0=4，6，10时，分别设计，比较它们的幅频和相频特性，注意β0取不同值时的影响；(4)用频率采样法设计(3)中的滤波器，过渡带分别设一个过渡点，令H(k)=0.5。比较两种不同方法的结果；(5)用雷米兹(Remez)交替算法设计(3)中的滤波器，并比较(3)、(4)、(5)三种方法的结果。四、实验思考1.定性地说明用本实验程序设计的FIR滤波器的3dB截止频率在什么位置？它等于理想频率响应Hd(ejω)的截止频率吗？2.如果没有给定h(n)的长度N，而是给定了通带边缘截止频率ωc和阻带临界频率ωp，以及相应的衰减，你能根据这些条件用窗函数法设计线性相位FIR低通滤波器吗？