正方形中三垂直结构

正方形专题一------正方形中的三垂直结构一【知识精析】1、等腰直角三角形的特征：①边、角方面的特征：两直角边相等，两锐角相等（都是45º）②边之间的关系：已知任意一边长，可得到其它两边长。2、等腰直角三角形与全等三角形：以等腰直角三角形为背景的几何问题中，常常包含全等三角形，发现并证明其中的全等三角形往往是解题的关键突破口。熟悉以下基本模型，对解决等腰直角三角形问题很有好处。（1）以原等腰直角三角形的两直角边为对应斜边，必定可以构造一对全等的直角三角形（三垂直模型）2）以原等腰直角三角形的两直角边为对应直角边，必定可以构造一对全等的直角三角形：拓展：双三垂直相关结论：1.若△ADC和△CBE为等腰直角三角形，F为AB上一动点，若DF⊥EF则DF=EF.2.若△ADC和△CBE为等腰直角三角形，F为AB上一动点，若DF=EF则DF⊥EF.3.若△ADC为等腰直角三角形，DF=EF，DF⊥EF则△CBE为等腰直角三角形(2)(3)(1)DDEECCECABBAABDEFFED(2)(1)CCABBA例1．如图，在正方形ABCD中．（1）若点E、F分别在AB、AD上，且AE=DF．试判断DE与CF的数量及位置关系，并说明理由；（2）若P、Q、M、N是正方形ABCD各边上的点，PQ与MN相交，且PQ=MN，问PQ⊥MN成立吗？为什么？例2．如图，直线MN不与正方形的边相交且经过正方形ABCD的顶点D，AM⊥MN于M，CN⊥MN于N，BR⊥MN于R．（1）求证：△ADM≌△DCN：（2）求证：MN=AM+CN；（3）试猜想BR与MN的数量关系，并证明你的猜想．．例3如图，四边形ABCD是正方形，直线l1，l2，l3分别通过A，B，C三点，且l1∥l2∥l3，若l1与l2的距离为5，l2与l3的距离为7，则正方形ABCD的面积等于（）例4.如图在平面直角坐标系中正方形OABC的边OC，OA分别在x轴正半轴上和y轴的负半轴上，点B（a,b）在第四象限且满足222aab．（1）求点B的坐标；（2），E,F为OC,OA上的动点，连接BE，CF交于M点，满足∠OEF=45°，是否存在点E,F，使得BE⊥CF？若存在，求出E,F的坐标；若不存在，请说明理由；（3）F在线段OA上，连BF，作OM⊥BF于M，AN⊥BF于N，当F在线段OA上运动时（不与O、A重合），的值是否变化．若变化，求出变化的范围；若不变，求其值．例5如图，直线AB交x轴正半轴于点A（a，0），交y轴正半轴于点B（0，b），且a、b满足4a+|4－b|=0（1）求A、B两点的坐标；（2）D为OA的中点，连接BD，过点O作OE⊥BD于F，交AB于E，求证∠BDO=∠EDA；（3）如图，P为x轴上A点右侧任意一点，以BP为边作等腰Rt△PBM，其中PB=PM，直线MA交y轴于点Q，当点P在x轴上运动时，线段OQ的长是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求线段OQ的取值范围.ABODEFyxABOMPQxy例题6、1、如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，BD与CE交于F点，求证：AF⊥BE。2、已知正方形ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上一点，MN⊥DM且交∠CBE的平分线于N。（1）求证：MD＝MN；（2）若将上述条件中的“M是AB的中点”改为“M是AB上任意一点”，其余条件不变，则结论“MD＝MN”还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由。第1题图DCBAEF第2题图1NMDCBAE第2题图2NMDCBAE例7、如图，正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于Q．（1）如图1，当点Q在DC边上时，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系；并加以证明；（2）如图2，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，请证明你的猜想．例8.如图1，四边形ABCD为正方形，E在CD上，∠DAE的平分线交CD于F，BG⊥AF于G，交AE于H．（1）如图1，∠DEA=60°，求证：AH=DF；（2）如图2，E是线段CD上（不与C、D重合）任一点，请问：AH与DF有何数量关系并证明你的结论；（3）如图3，E是线段DC延长线上一点，若F是△ADE中与∠DAE相邻的外角平分线与CD的交点，其它条件不变，请判断AH与DF的数量关系（画图，直接写出结论，不需证明）．例9.操作，将一把含45°的直三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑行，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q。探究：设A、P两点间的距离为x。（1）当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的关系？试证明你观察得到的结论；（2）当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数关系式。（3）当点P在线段AC上滑行时，△PCQ是否可能成为等腰三角形，如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x值；如果不可能，请说明理由（题目中的图形形状大小都相同，供操作用）。DCBADCBADCBA课堂练习1、如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，BD与CE交于F点，求证：AF⊥BE。2、已知正方形ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上一点，MN⊥DM且交∠CBE的平分线于N。（1）求证：MD＝MN；（2）若将上述条件中的“M是AB的中点”改为“M是AB上任意一点”，其余条件不变，则结论“MD＝MN”还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由。第1题图DCBAEF第2题图1NMDCBAE第2题图2NMDCBAE3、如图，ABCD是正方形，P是对角线上的一点，引PE⊥BC于E，PF⊥DC于F。求证：（1）AP＝EF；（2）AP⊥EF。4、.如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、DC上的点，且AF⊥BE．（1）求证：AF=BE；（2）如图2，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且MP⊥NQ．MP与NQ是否相等？并说明理由．第3题图PFEABCD5、如图，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，过A作AG⊥EB于G，AG交BD于点F，则OE＝OF，对上述命题，若点E在AC的延长线上，AG⊥EB，交EB的延长线于点G，AG的延长线交DB的延长线于点F，其它条件不变，则结论“OE＝OF”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，说明理由。问题一图1OFGEDCBA问题一图2OFGEDCBA6、如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别在OD、OC上，且DE=CF，连接DF、AE，AE的延长线交DF于点M．求证：AM⊥DF．