实验四FIR数字滤波器的设计

实验四FIR数字滤波器的设计一、实验目的1.掌握用窗函数法，频率采样法及优化设计法设计FIR滤波器的原理及方法，熟悉相应的MATLAB编程。2.熟悉线性相位FIR滤波器的幅频特性和相频特性。3.了解各种不同窗函数对滤波器性能的影响。二、实验原理与方法线性相位实系数FIR滤波器按其N值奇偶和h(n)的奇偶对称性分为四种：1．h(n)为偶对称，N为奇数H(ejω)的幅值关于ω=0，π，2π成偶对称。2．h(n)为偶对称，N为偶数H(ejω)的幅值关于ω=π成奇对称，不适合作高通。3．h(n)为奇对称，N为奇数H(ejω)的幅值关于ω=0，π，2π成奇对称，不适合作高通和低通。4．h(n)为奇对称，N为偶数H(ejω)ω=0、2π＝0，不适合作低通。FIR滤波器的常用设计方法：(一)窗口法窗函数法设计线性相位FIR滤波器步骤1.确定数字滤波器的性能要求：临界频率c、r，滤波器单位脉冲响应长度N。2.根据性能要求，合理选择单位脉冲响应)(nh的奇偶对称性，从而确定理想频率响应)(jdeH的幅频特性和相频特性。3.求理想单位脉冲响应)(nhd，在实际计算中，可对)(jdeH按M(M远大于N)点等距离采样，并对其求IDFT得)(nhM，用)(nhM代替)(nhd。4.选择适当的窗函数)(nw，根据)()()(nwnhnhd求所需设计的FIR滤波器单位脉冲响应。5.求)(jeH，分析其幅频特性，若不满足要求，可适当改变窗函数形式或长度N，重复上述设计过程，以得到满意的结果。窗函数的傅氏变换)(jeW的主瓣决定了)(jeH的过渡带宽。)(jeW的旁瓣大小和多少决定了)(jeH在通带和阻带范围内波动的幅度。常用的几种窗函数有：(1)矩形窗w(n)=RN(n)；(2)Hanning窗；(3)Hamming窗；(4)Blackmen窗；(5)Kaiser窗。式中Io(x)为零阶贝塞尔函数。（二）频率采样法频率采样法是从频域出发，将给定的理想频率响应)(jdeH加以等间隔采样然后以此)(kHd作为实际FIR数字滤波器的频率特性的采样值)(kH，即令由)(kH通过IDFT可得有限长序列)(nh将上式代入到Z变换中去可得其中Φ(ω)是内插函数（三）FIR滤波器的优化设计FIR滤波器的优化设计是按照最大误差最小化准则，使所设计的频响与理想频响之间的最大误差，在通带和阻带范围均为最小，而且是等波动逼近的。为了简化起见，在优化设计中一般将线性相位FIR滤波器的单位脉冲响应)(nh的对称中心置于n=0处，此时，线性相位因子α=0。令N=2M+1，则MnMnjnnannhheH01)cos()()cos()(2)0()(如希望逼近一个低通滤波器，这里M，c和r固定为某个值。在这种情况下有rcjdeH,00,1)(定义一逼近误差函数：)]()()[()(jjdeHeHWEE(ω)为在希望的滤波器通带和阻带内算出的误差值，W(ω)为加权函数，rcKW,10,1)(K应当等于比值δ1/δ2，δ1为通带波动，δ2为阻带波动。在这种情况下，设计过程要求|E(ω)|在区间c0和r的最大值为最小，它等效于求最小δ2。根据数学上多项式逼近连续函数的理论，用三角多项式逼近连续函数，在一定条件下存在最佳逼近的三角多项式，而且可以证明这个多项式是唯一的。这一最佳逼近定理通常称作交替定理。在逼近过程中，可以固定K，M，c和r，而改变δ2，按照交替定理，首先估计出(M+2)个误差函数的极值频率i，i=0,1,...,M+1，共计可以写出(M+2)个方程1,,1,0)1(])cos()()()[(])cos()(2)0()()[(01MinnaeHWnnhheHWiMnjdiMnjdiii式中ρ表示峰值误差。一般仅需求解出ρ，接着便可用三角多项式找到一组新的极值频率点，并求出新的峰值误差ρ。依此反复进行，直到前、后两次ρ值不变化为止，最小的ρ即为所求的δ2。这一算法通常称作雷米兹(Remez)交替算法。三、实验内容及步骤(1)N=45，计算并画出矩形窗、汉明窗、布莱克曼窗的归一化的幅度谱，并比较各自的主要特点。(2)N=15，带通滤波器的两个通带边界分别是3.01，5.02。用汉宁（Hanning）窗设计此线性相位带通滤波器，观察它的实际3dB和20dB带宽。N=45，重复这一设计，观察幅频和相位特性的变化，注意长度N变化的影响。(3)分别改用矩形窗和Blackman窗，设计（2）中的带通滤波器，观察并记录窗函数对滤波器幅频特性的影响，比较三种窗的特点。(4)用Kaiser窗设计一专用线性相位滤波器，N=40，)(jdeH如图，当β=4、6、10时，分别设计、比较它们的幅频和相频特性，注意β取不同值时的影响。(5)用频率采样法设计（4）中的滤波器，过渡带分别设一个过渡点，令H(k)=0.5。比较两种不同方法的结果。(6)用雷米兹(Remez)交替算法设计(4)中的滤波器，并比较(4)、(5)、(6)三种不同方法的结果。(7)利用雷米兹(Remez)交替算法，设计一个线性相位高通FIR数字滤波器，其指标为：Hzfc800，dB1,Hzfr500，dBAt40,Hzfs5000。四、实验思考1.定性地说明用本实验程序设计的FIR滤波器的3dB截止频率在什么位置？它等于理想频率响应)(jdeH的截止频率吗？2.如果没有给定h(n)的长度N，而是给定了通带边缘截止频率c和阻带临界频率r，以及相应的衰减，能根据这些条件用窗函数法设计线性相位FIR低通滤波器吗？五、实验报告要求1.简述实验目的及原理。2.按实验步骤附上所设计滤波器系统函数)(nh及相应的幅频和相频特性曲线，比较它们的性能，说明不同设计方法对滤波器性能的影响。3.总结三种不同设计方法的特点，归纳设计中的主要公式。4.简要回答思考题。