导数典型例题讲解

（二）典型例题讲解：1．导数的概念例1．已知曲线y=3x上的一点P(0,0)，求过点P的切线方程·解析：如图，按切线的定义，当x0时，割线PQ的极限位置是y轴（此时斜率不存在），因此过P点的切线方程是x=0.例2．求曲线y＝x2在点(2，4)处的切线方程·解析：∵y=x2,∴y=(x0＋x)2－x02＝2x0x＋(x)2=4x＋(x)2∴k＝00limlim(4)4xxyxx.∴曲线y＝x2在点(2，4)处切线方程为y－4＝4(x－2)即4x－y－4＝0.例3．物体的运动方程是S＝1＋t＋t2，其中S的单位是米，t的单位是秒，求物体在t＝5秒时的瞬时速度及物体在一段时间[5，5＋t]内相应的平均速度．解析：∵S=1+t+t2,∴S=1+(t+t)+(t+t)2－(1+t+t2)=2t·t+t+(t)2,∴21Sttt,即()21vttt,∴(5)11vt,即在[5，5＋t]的一段时间内平均速度为(t＋11)米／秒∴v(t)=S’＝00limlim(21)21ttStttt即v(5)＝2×5＋1＝11.∴物体在t＝5秒时的瞬时速度是11米／秒．例4．利用导数的定义求函数y=1x在x=1处的导数。解析：y=111111xxx,∴yx=11(11)xx,∴0limxyx=011lim21(11)xxx.例5．已知函数f(x)=21sin000xxxx,求函数f(x)在点x＝0处的导数解析：由已知f(x)=0，即f(x)在x=0处有定义，y=f(0+x)－f(0)=21()sinxx,yx=1sinxx,0limxyx=01limsinxxx=0,即f’(0)＝0.∴函数f(x)在x＝0处导数为0.例6．已知函数f(x)=21(1)121(1)12xxxx≤,判断f(x)在x＝1处是否可导？解析：f(1)=1,20001[(1)1]112limlimlim(1)12xxxxyxxx,001(11)112limlim2xxxyxx,∵00limlimxxyyxx,∴函数y=f(x)在x＝1处不可导．例7．已知函数y＝2x3＋3，求y’.解析：∵y=2x3+3,∴y=2(x+x)3+3－(2x3+3)=6x2·x+6x·(x)2+2(x)3,∴yx=6x2+6x·x+2(x)2,∴y’=0limxyx=6x2.例8．已知曲线y＝2x3＋3上一点P，P点横坐标为x＝1，求点P处的切线方程和法线方程．解析：∵x=1,∴y=5,P点的坐标为(1,5),利用例7的结论知函数的导数为y’=6x2,∴y’1|x＝6,∴曲线在P点处的切线方程为y－5＝6(x－1)即6x－y－1＝0,又曲线在P点处法线的斜率为－61，∴曲线在P点处法线方程为y－5＝－61(x－1)，即6y＋x－31＝0.例9．抛物线y＝x2在哪一点处切线平行于直线y＝4x－5？解析：∵y’=0limxyx=220()lim2xxxxxx,令2x＝4．∴x=2,y＝4,即在点P(2，4)处切线平行于直线y＝4x－5.例10．设mt≠0，f(x)在x0处可导，求下列极限值(1)000()()limxfxmxfxx；(2)000()()limxxfxfxtx.解析：要将所求极限值转化为导数f’(x0)定义中的极限形式。(1)000()()limxfxmxfxx=0000()()lim()'()xfxmxfxmmfxmx,（其中－m·x0）(2)000()()limxxfxfxtx=0000()()11lim'()xxfxfxtfxxttt.（其中10xt）例11．设函数f(x)在x＝1处连续，且1()lim21xfxx，求f’(1).解析：∵f(x)在x＝1处连续，∴1lim()xfxf(1).而又1111()()lim()lim(1)lim(1)lim011xxxxfxfxfxxxxx×2=0.∴f(1)=0.∴f’(1)=01(1)(1)()(1)limlim21xxfxffxfxx（将x换成x－1）即f’(1)＝2.例12．已知抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)，通过点(1，1)，且在点(2，－1)处与直线y＝x－3相切，求a，b，c的值．解析：由y’＝0limxyx=220()()()lim2xaxxbxxcaxbxcaxbx,由函数在点(2，－1)处与直线y＝x－3相切,∴2a×2＋b＝1，又函数过点(1，1)，(2，－1),∴a＋b＋c=1，4a＋2b＋c＝－1，由三式解得a＝3，b＝－11，c=9.例13．设曲线y＝sinx在点A(6，21)处切线倾斜角为θ，求tan(4－θ)的值.解析：∵y=sinx，∴y=sin(x+x)－sinx=2cos(x+2x)sin2x,∴y’=0limxyx=0002cos()sinsin222limlimcos()limcos22xxxxxxxxxxxx.即y’＝(sinx)’＝cosx,令在A点处切线斜率为k=cos6=23,∴tanθ=23,θ∈(0,π),∴tan(4－θ)＝311tan27431tan312H，例14．设f(x)是定义在R上的函数，且对任何x1、x2∈R，都有f(x1＋x2)=f(x1)f(x2)，若f(0)≠0，f’(0)＝1，证明：对任何x∈R，都有f(x)=f’(x)解析：由f(x1＋x0)=f(x1)f(x2)，令x1＝x2＝0得f(0)＝f(0)f(0),又f(0)≠0∴f(0)=1由f’(0)=1即00()(0)()1limlim1xxfxffxxx,∴f’(x)＝000()()()()()()1limlim()lim()xxxfxxfxfxfxfxfxfxfxxxx.即f’(x)=f(x)成立．2．几种常见函数的导数例1．已知f(x)=x3，求f’(x)，f’(1)，(f(1))’，f’(0.5)解析：f(x)=x3,∴f’(x)＝3x2,f’(1)=3,f’(0.5)＝3×(0.5)2=0.75，(f(1))’=(1)’=0.说明：导函数与函数在某点处导数要弄清区别与联系．后者是导函数的某一函数值，因此在求函数某一点处导数时可先求导函数，再直接求导函数值．例2．已知曲线y=x2上有两点A(1,1),B(2,4)，求①割线AB的斜率；②在[1，1＋x]内的平均变化率；③过点A处的切线斜率kAT；④点A处的切线方程．解析：①kAB＝4121＝3；②平均变化率2(1)(1)(1)12yfxfxxxxx,③y’＝2x,∴y’|x＝1＝2.即点A处的切线斜率为KAT＝2.④点A处的切线方程为y－1＝2(x－1)即2x－y－1＝0.说明：通过本例搞清割线斜率，区间上平均变化率，某点处切线斜率与某点处的导数之间的区别与联系，再次验证了导数与平均变化率之间的关系y’=0limxyx.例3．利用导数定义和导数公式两种方法求曲线y=1x在点P(1，1)处的切线倾斜角及该点处的法线方程．解析：解法一：f(x)=1x,y=f(1+x)－f(1)=1111xxx,∴y’|x=1=0limxyx=01lim11xx.即在点P处斜率为k＝－1，∴倾斜角为135°，法线方程y－1＝x－1即x－y＝0.解法(二)：y=f(x)＝1x，y’=f’(x)=21x,∴y’|x=1＝－1.即在点P处切线斜率为k=－1，以下同法(一)说明：求导致方法有两种，一种是利用导致定义法求导数，第二种用导数公式，要注意题目要求，若无声明，用最简单的方法即可．例4．已知曲线y=3x上的一点P(0，0)，求过点P的切线方程.解析：由y=3x,∴y’=3321()'3xx,在x=0处导数不存在，由图形知过P点的切线方程是x=0.例5．设曲线y＝cosx在A(6，23)点处的切线倾斜角为θ，求cot(4－θ)的值解析：y=cosx,y’=－sinx,x=6时,k=－sin6=－21,∴tanθ=－21，∴cot(4－θ)=1111tan1211tan3tan()142.例6．求曲线y＝x3在点(3，27)处的切线与坐标轴所围成的三角形面积．解析：∵y=x3,∴y’=3x2,y’|x=3=27,∴曲线y=x3在点(3，27)处的切线方程为y－27＝27(x－3),即y＝27x－54.其与x轴，y轴交点分别为(2，0)，(0，－54)∴切线与坐标轴围成的三角形面积为S=21×2×54＝54.例7．在抛物线y＝x2上取横坐标为x1＝1及x2＝3的两点，作过这两点的割线，问该抛物线上哪一点的切线平行于这一割线？解析：已知两点A(1，1)B(3，9)，割线斜率为kAB=4,∵y’＝2x，令y’=2x＝4得x＝2,即在点(2，4)处切线平行于这一割线．3．函数和、差、积、商的导数例1．求下列函数的导数：①y=3x2＋xcosx；②y=tanxx；③y=xtanx－2cosx；④y=111x.解析：①y’=6x+cosx－xsinx；②y’=222(tan)'tan()'sectanxxxxxxxxx；③y=sin2cosxxx,∴y’=2(cossin)cos(sin2)(sin)cosxxxxxxxx=2sin(cos2)cosxxxx.④y=1111xxx,y’=2211(1)(1)xx.例2．已知函数f(x)=x3－7x+1，求f’(x)，f’(1)，f’(1.5).解析：f(x)=x3－7x+1,∴y’=f’(x)=3x2－7,f’(1)=－4，f’(1.5)=－41.注意：导函数与导数的区别与联系，函数在某一点的导数是导函数在这一点处的函数值．例3．已知函数y＝x3＋ax2－34a的导数为0的x值也都使y值为0，求常数a的值．解析：y’=3x2+2ax,令y’=0,则3x2+2ax=0,x1=0,x2=－32a,当x=0时，y=0=－34a，∴a=0，即a＝0满足条件,当x=－32a时．y＝0=328442793aaa得a＝0或a＝±3检验知a＝±3不满足条件，∴常数的值为0.例4．曲线y＝－x2＋4x上有两点A(4，0)，B(2，4)，求①割线AB的斜率kAB；②过点A处的切线斜率kA；③点A处的切线方程。解析：①割线AB的斜率kAB=4024=－2；②y’=－2x+4，∴y’|x=4=－4，即kA=－4；③过A点的切线方程为y－0＝－4(x－4)，即y＝－4x＋16.例5．已知F(x)=f(x)＋g(x)，就下列两种情形判断F(x)在x＝x0处是否可导？①f(x)在x＝x0处可导，g(x)在x＝x0处不可导．②f(x)，g(x)在x＝x0处均不可导．解析：①F(k)在x＝x0处不可导．假设F(x)在x＝x0处可导，由F(x)=f(x)＋g(x),∴g(x)＝F(x)－f(x).∵f(x)在x＝x0处可导，∴g(x)在x=x0处可导，与条件g(x)在x＝x0处不可导矛盾，∴F(x)在x＝x0处不可导．②F(x)在x＝x0处不一定可导．如设f(x)=sinx+1x,g(x)=cosx－1x,则f(x)，g(x)在x＝0处均不可导，但F(x)=f(x)+g(x)＝sin