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因子个数：设，其中为正质因子，，则(1)之正因子个数(2)之因子个数(3)之正因子总和=(4)之正因子乘积找因子：(1)2之倍数末位为偶数(2)4之倍数末两位为4之倍数(3)8之倍数末三位为8之倍数(4)5之倍数末位为0或5(5)3之倍数数字之和为3之倍数(6)9之倍数数字之和为9之倍数(7)11之倍数(奇位数字和)－(偶位数字和)恰为11的倍数(8)7(13)之倍数末位起向左每三位为一区间(第奇数个区间之和)—(第偶数个区间之和)为7(13)之倍数质数检验：设，，若没有小于等于的正质因子，则为质数。尤拉公式：设，表质因子，(1)不大于而与互质者：个(2)不大于，为的倍数但不为倍数者有个(3)不大于，为的倍数但不为的倍数者有个因倍数及公因子，公倍数性质：(1)，若，则为之公因子(2)且，则(3)，，则必有二整数，使(4)，若辗转相除法原理：若，，若，，，则整数解：(1)型化为(2)为整数)有整数解(3)若已知有一解，则有理数、实数：(1)有理数：凡是能写成形如(都是整数，且)的数叫有理数。(2)，，若(3)整数之离散性：设，若，则(不等整数之距离至少为1)(4)实数之稠密性：设，若，则存在，使(5)证无理数之另一方法：证为一方程式之根，但没有有根，或有理根不可能为。复数：(1)若，，则Z之实部之虚部，又，(2)为实数：且为纯虚数(3)若，，，则且(4)设，则(5)为实系数，为实数，则等差与等比公式：(1)级数成等差，若首项，公差，则；(2)级数成等比，若首项，等比，则；若，(3)调和级数：倒数成等差，故可用等差公式。杂级数公式：(1)连积之和(依此类推)(2)无穷等比数列及级数之敛散若，则(a)无穷等比级数(b)无穷杂级数无穷循环小数，无穷几何级数：(1)循环小数化为无穷等比级数求之(2)化为数字9之级数(3)(其他类似)(4)无穷几何级数求法要领：先求首项及公比距离公式：(1)A()，A()，则(2)中到三顶点等距支点为外心(3)则在时，产生最小值。分点公式：，，(a)若A-P-B则或(b)若A-B-P(或P-A-B)，则P或(c)△ABC中，A，B，C，重心为G，则Ｇ=斜率：m（１），若，则：若，则无斜率（不加以定义）（２）直线Ｌ之斜率ｍ，则１．ｍ＞０，，则右上升；ｍ＜０，则右下降﹔ｍ＝０，为水平线２．越大，则越接近铅直﹔越小，则越接近水平。（３）之斜率分别为（４）Ａ，Ｂ，Ｃ三点共线直线方程式：(1)点斜式：A()，且斜率m之直线为(2)斜截式：斜率m，截距b之直线为(3)两点式：过A()，B()且则：(4)截距式：，，且之直线为(5)，，则过交点之直线可设为(6)过又在P点之象限与两轴围成最小面积之直线为，而最小面积对称点及对称方程式：对称轴(点)A(xo,yo)之对称点坐标图形f(x,y)=0之对称图形(0,0)A’(-xo,-yo)F(-x,-y)=0(a,b)A’(2a-xo,2b-yo)F(2a-x,2b-y)=0X轴A’(xo,-yo)F(x,-y)=0Y轴A’(-xo,yo)F(-x,y)=0X=hA’(2h-xo,yo)F(2h-x,y)=0Y=kA’(xo,2k-yo)F(x,2k-y)=0X+Y-k=0A’(k-yo,k-xo)F(k-y,k-x)=0X-Y-k=0A’(yo+k,xo+k)F(y+k,x-k)=0(注):x+y-k=0;x+y-k=0由此可帮助记忆最后二个公式菱形与正方形之图形：若，，则之图形为一菱形(a=b则为正方形)，而其围成面积为，当然之图形亦为菱形，只不过中心为(h,k)而已，故其面积仍为2ab。三角型面积：则a△ABC=||一元二次方程式设a,b,cR，a0对于ax2+bx+c=0中(1)x=(2)二相异实根，相等实根，共轭虚根。(注):若a,b,cQ，且为有理数之平方根为相异有理根(3)根之正负:设实系数二次方程式ax2+bx+c=0的两根为1.皆为正根(a)0(b)(c)02.皆为负根(a)(b)(c)03.为同号(皆正或负)且04.为异号(一正根一负根)05.为纯虚数b=0且0根与系数关系(1)若,为ax2+bx+c=0(a≠0)之两根(2)二次函数:之图形抛物线(1)图形坐标：(2)对称轴(3)(4)最小二乘方定理，则当，比较，，，时，有最小值由二次图形求不等式之解集(：时，1、或2、时，1、2、或恒正恒负条件，，，多项式之基本性质(1)若一多项式，则一切系数之和1、一切奇式项之系数和2、一切偶式项之系数和(2)多项式之相等1、同次向对应系数相等2、任何值a代换x恒有3、不超过次，只要有n+1以上之值带入相等，则。(其逆为真)除法应用(1)求之近似值：化再以代入，适当略去后面部分可得所求。(2)除法求值：若为之一根，为一多项式，求时，可用除法求出，使，则余式定理跟因式定理(1)余式定理：除以之余式为(2)因式定理：又，且求余式之假设法(1)(2)而mx+n为除以之余式(3)除以g(x)之余式=除以之余式(4)除之余式(5)则除以之余式为牛顿定理(一次因式之检验)(1)，，，若有之因式，则，(2)若为之因式，则最高因式与最低公倍式(1)利用析因式法(先分解以知式，在观察共同因式)(2)利用辗转相除法(到整除时之最后除式为最高公因式)(3)利用和差法:，(4)为常数)n次方程式:(1)代数基本定理:每一n次程序，只要，至少有一个复数根。(2)k重根算k个，则n次方程式有n个。(3)实系数方程式之虚根成共轭对出现。又理系数方程式若有根式之根，亦成共轭对出现。(4)为实系数，则中间值定理与勘根定理(1)设为一连续函数(多项式函数必为连续)，若ab且，则必有一根介于a与b之间。(2)若ab，k重根算k个根，则1、间有奇数个根。2、间无实数根或有偶数个实根(3)利用勘根定理可勘查无理根位置，以求无理根之近似值。(用二分逼近法或十分逼近法)(A)指数率：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(B)根数率：(1)；a0，b0(2)；a0，b0(3)(C)对数定义及性质：(1)设b0，a0，，则(定义)(2)；(定义之推论)(3)运算：(1)(2)(但A0，B0)(3)(但A0，B0)(4)(换底公式)(5)(连锁原理)(6)；(7)(倒数关系)(8)(D)指数函数及对数函数图形：(1)及之图形如下：(1)a1(增函数)(2)0a1(减函数(2)设ab1(1)x0时，的图形恒在图形的上方(2)x0时，的图形恒在图形的下方（Ｅ）指数与对数方程式：(1)指数方程式：(a)。(b)两方取对数解之。(c)指数常数化为系数。(d)必要时适当化改为之方程式先解之。(2)对数方程式：(a)先列出有意有之基本之限制(真数，底数，底数)(b)可化为同底时：(c)不可化为同底时利用换底公式求之。(d)求得之解代入之有意义限制，除不合者。(e)必要时令，为之方程式解之。(F)指数不等式与对数不等式：(1)指数不等式：(1)底数相同时：(a)ａ＞０则(b)０＜ａ＜１则(2)底数不同，两方取对数(3)必要时，令，常数指数化为系数，转成t之不等式。(2)对数不等式：(1)先注意对数有意义之限制(2)底数相同时：(a)若ａ＞１欲解(b)若０＜ａ＜１欲解(3)底数不同时=换底(4)下列可当公式用(当然也可以直接讨论)(G)常用对数：(1)以10为底之对数，称常用对数，常省略其底，即(2)科学记号表示法：若ａ＞０，则存在，使，且(3)设ａ＞０且，，，称n为loga之首数，logb称为loga之尾数(4)logx之首数，=[logx]，logx之尾数=logx-[logx](5)若且logb之首数为m，则b之整数部分为m+1位；若０＜ｂ＜１且logb之首数为m，则b在小数点后最初有个0。(6)首数=判断位数：尾数了解用到之数字(有效之数字)。例如：log345000之首数为5；尾数log3.45log0.0345之首数为–2；尾数log3.4!(7)A为n位数(8)LogA之首数为nlogA=n+b，。(9)LogA与logB之尾数相同=logA-logB为整数例如：logx之首数为1且与之尾数相同，求x可利用此原理(10)log2=0.3010，log3=0.4771，log5=1-log2=0.6990，log7=0.8451(H)加强及注意：(1)(2)，则(3)a，b均正，或x=y=z=0(4)，比较2x，3y，5z之大小时x，y，z为正；x=y=z=0x，y，z为负。(5)判断A+B为几位数，可先求A之位数及首位数字；B之位数及位数字然后判断A+B位数。(6)或型，则两方取，可化简成之代数式，在令解之。(7)由(A)角之度量：(1)弧度：弧长等于半径所对圆心角称一弧度，简称一弪.(2)弧长s，半径r，所对圆心角(3)一周角=1弪=(4)如右图：扇形面积弓形面积=（扇形面积）—（三角形面积）(表圆心角之度量)(5)常用角度之换算表：(A)角之度量：(1)(2)位于标准位置之角终边上之一点P(x，y)(x≠0，y≠0)，则(1)三角函数直在各象限之正负：第一象限第二象限第三象限第四象限++--+--+D度R0+-+-(2)函数值之增减(在第一象限):为增函数为减函数(E)基本不等性质:(1)、(2)若，则若，则、(3)；(F)基本恒等式:(1)倒数关系：；(2)平方关系:(3)商数关系:(4)次要恒等式:1、2、(G)化任意之三角函数为锐角三角形函数值：任一角之三角函数值，通常由某一锐角之三角函数数值求出，其求法如下：(1)负角之三角函数：但1、n为偶数时：例：、、2、n为奇数时：例：、(2)空栏符号乃要吾人填“+”号或“-”，其取正或负需视为正锐角时，在第几象限，对左边原三角函数该选正或负。（Ｈ）三角形ａ＋ｂ＋ｃ＝２ｓ之一些关系：（１）中，分别以，Ａ，Ｂ，Ｃ代表﹔ａ，ｂ，ｃ依序表之对边长；，ｒ表内切圆半径，Ｒ表外接圆半径，依次表之内部之傍切圆半径（２）ＢＤ＝ＢＦ＝ｓ－ｂ，ＡＥ＝ＡＦ＝ｓ－ａ，ＣＤ＝ＣＥ＝ｓ－ｃ，内切圆半径ｒ，则Δ（面积）＝，而（３）ＡＥ＝ＡＦ＝ｓ；ＢＤ＝ＢＥ＝ｓ－ｃ；ＣＤ＝ＣＦ＝ｓ－ｂ△（面积）＝（看图推出）（Ｉ）三角形之面积公式：之面积（Ｊ）边形关系之重要定理：（1）正弦定律：（注）：求外接圆半径Ｒ，可由正弦定律求之。（2）余弦定理：１．２．３．（３）：投影定律：（Ｋ）解三角形：（1）由已知之编辑角，求未知之边与角，叫解三角形。（2）Ｓ.Ａ.Ｓ之解法：第三边用余弦定律求出在利用正弦定律求出另两角。（3）Ｓ.Ｓ.Ｓ之解法：利用余弦定律求出各角（4）Ａ.Ａ.Ａ之解法：利用三角度量和＝求出第三角形，利用正弦定律求其他边长。（5）Ｓ.Ｓ.Ａ之解法：例如：已知a，b及一角由a与b之大小与之大小，可知是否可能为直角、钝角，再由，求出(可能无解或一组解或二解)（Ｌ）测量：测量问题：（1）方法：从已知条件作三角形之关系图形，利用解三角形求出所要之边长或角度。（2）题型：1、单方向求高度（观测者向目标移动或仰视、俯视）利用直角Δ解之2、多方面求高度作立体图形，转成地面之三角形解之。3、航行方位问题由平面之方向作成平面之三角形解之(A)和角公式：(1)主要：(1)(2)(3)(4)(2)推广:(1)(2)(3)(4)(5)(6)(3)正余切和角公式之一次化(1)(2)(a)(b)(c)(d)(B)倍角公式(1)(1)(由推之)(2)(3)(2)(3)(1)(2)(4)辅助公式:(1)(2)(3)(C)半角公式(1)(±号随在第几象限而定)(±号随在第几象限而定)(2)设则(3)(D)和差与积互化(1)(2)(3)时，则(1)(2)(3)(4)(E)常见求极值:(1)(其中)(其中)(2)(可利用(1)合并)(3)可令(4)(F)三角形边角关系之补充公式：(1)正切定律：(2)；；(3)分角线：设为之一分线且求证：(4)中线：设为之中线，则(5)高：三边长比(G)复数之绝对值：(1)设，则，且不为负(2)设，则(3)设，则；(4)，则(