近世代数期末考试题库

1世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1、设A＝B＝R(实数集)，如果A到B的映射：x→x＋2，x∈R，则是从A到B的（c）A、满射而非单射B、单射而非满射C、一一映射D、既非单射也非满射2、设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积集合A×B中含有（d）个元素。A、2B、5C、7D、103、在群G中方程ax=b，ya=b，a,b∈G都有解，这个解是（b）乘法来说A、不是唯一B、唯一的C、不一定唯一的D、相同的(两方程解一样)4、当G为有限群，子群H所含元的个数与任一左陪集aH所含元的个数（c）A、不相等B、0C、相等D、不一定相等。5、n阶有限群G的子群H的阶必须是n的（d）A、倍数B、次数C、约数D、指数二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、设集合1,0,1A；2,1B，则有AB。2、若有元素e∈R使每a∈A，都有ae=ea=a，则e称为环R的单位元。3、环的乘法一般不交换。如果环R的乘法交换，则称R是一个交换环。4、偶数环是整数环的子环。5、一个集合A的若干个--变换的乘法作成的群叫做A的一个变换全。6、每一个有限群都有与一个置换群同构。7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是1，元a的逆元是1a。8、设I和S是环R的理想且RSI，如果I是R的最大理想，那么---------。9、一个除环的中心是一个-域-----。三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、设置换和分别为：6417352812345678，2318765412345678，判断和的奇偶性，并把和写成对换的乘积。2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。奇1、解：把和写成不相杂轮换的乘积：)8)(247)(1653()6)(57)(48)(123(可知为奇置换，为偶置换。和可以写成如下对换的乘积：)27)(24)(16)(15)(13()57)(48)(12)(13(2解：设A是任意方阵，令)(21AAB，)(21AAC，则B是对称矩阵，而C是反对称矩阵，且CBA。若令有11CBA，这里1B和1C分别为对称矩阵和反对称矩阵，则CCBB11，而等式左边是对称矩阵，右边是反对称矩阵，于是两边必须都等于0，即：1BB，1CC，所以，表示法唯一。23、设集合)1}(,1,,2,1,0{mmmMm，定义mM中运算“m”为amb=(a+b)(modm),则（mM，m）是不是群，为什么？四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、设G是群。证明：如果对任意的Gx，有ex2，则G是交换群。2、假定R是一个有两个以上的元的环，F是一个包含R的域，那么F包含R的一个商域。1、对于G中任意元x，y，由于exy2)(，所以yxxyxyxy111)(（对每个x，从ex2可得1xx）。2、证明在F里)0,,(11bRbabaabab有意义，作F的子集)0,,(bRbabaQ所有Q显然是R的一个商域证毕。近世代数模拟试题二一、单项选择题二、1、设G有6个元素的循环群，a是生成元，则G的子集（c）是子群。A、aB、ea,C、3,aeD、3,,aae2、下面的代数系统（G，*）中，（d）不是群A、G为整数集合，*为加法B、G为偶数集合，*为加法C、G为有理数集合，*为加法D、G为有理数集合，*为乘法3、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？（b）A、a*b=a-bB、a*b=max{a,b}C、a*b=a+2bD、a*b=|a-b|4、设1、2、3是三个置换，其中1=（12）（23）（13），2=（24）（14），3=（1324），则3=（b）A、12B、12C、22D、215、任意一个具有2个或以上元的半群，它（a）。A、不可能是群B、不一定是群C、一定是群D、是交换群二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、凯莱定理说：任一个子群都同一个---变换全-------同构。2、一个有单位元的无零因子-交换环----称为整环。3、已知群G中的元素a的阶等于50，则4a的阶等于-25-----。4、a的阶若是一个有限整数n，那么G与--模n乘余类加群-----同构。5、A={1.2.3}B={2.5.6}那么A∩B=---2--。6、若映射既是单射又是满射，则称为---双射--------------。7、叫做域F的一个代数元，如果存在F的--不都等于林---naaa,,,10使得3010nnaaa。8、a是代数系统)0,(A的元素，对任何Ax均成立xax，则称a为----单位元-----。9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G作成一个群，如果满足G对于乘法封闭；结合律成立、--消去律成立-------。10、一个环R对于加法来作成一个循环群，则P是----------。三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、设集合A={1,2,3}G是A上的置换群，H是G的子群，H={I,(12)}，写出H的所有陪集。2、设E是所有偶数做成的集合，“”是数的乘法，则“”是E中的运算，（E，）是一个代数系统，问（E，）是不是群，为什么？1、解：H的3个右陪集为：{I,(12)}，{(123)，(13)}，{(132)，(23)}H的3个左陪集为：{I,(12)}，{(123)，(23)}，{(132)，(13)}2、答：（E，）不是群，因为（E，）中无单位元。3、解方法一、辗转相除法。列以下算式：a=b+102b=3×102+85102=1×85+17由此得到(a,b)=17,[a,b]=a×b/17=11339。然后回代：17=102-85=102-(b-3×102)=4×102-b=4×(a-b)-b=4a-5b.所以p=4,q=-5.四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、证明设e是群G，*的幺元。令x＝a－1*b，则a*x＝a*(a－1*b)＝(a*a－1)*b＝e*b＝b。所以，x＝a－1*b是a*x＝b的解。若x∈G也是a*x＝b的解，则x＝e*x＝(a－1*a)*x＝a－1*(a*x)＝a－1*b＝x。所以，x＝a－1*b是a*x＝b的惟一解。2、容易证明这样的关系是Z上的一个等价关系，把这样定义的等价类集合Z记为Zm，每个整数a所在的等价类记为[a]=｛x∈Z；m︱x–a｝或者也可记为a，称之为模m剩余类。若m︱a–b也记为a≡b(m)。当m=2时，Z2仅含2个元：[0]与[1]。四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、若G，*是群，则对于任意的a、b∈G，必有惟一的x∈G使得a*x＝b。2、设m是一个正整数，利用m定义整数集Z上的二元关系：a〜b当且仅当m︱a–b。近世代数模拟试题三一、单项选择题1、6阶有限群的任何子群一定不是（c）。A、2阶B、3阶C、4阶D、6阶2、设G是群，G有（c）个元素，则不能肯定G是交换群。A、4个B、5个C、6个D、7个43、有限布尔代数的元素的个数一定等于（d）。4、下列哪个偏序集构成有界格（d）A、偶数B、奇数C、4的倍数D、2的正整数次幂A、（N,）B、（Z,）C、（{2,3,4,6,12},|（整除关系））D、(P(A),)5、设S3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3中可以与(123)交换的所有元素有（a）A、(1)，(123)，(132)B、12)，(13)，(23)C、(1)，(123)D、S3中的所有元素二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、群的单位元是--------的，每个元素的逆元素是--------的。2、如果f是A与A间的一一映射，a是A的一个元，则aff1----a------。3、区间[1，2]上的运算},{minbaba的单位元是--2-----。4、可换群G中|a|=6,|x|=8,则|ax|=———24———————。5、环Z8的零因子有-----------------------。6、一个子群H的右、左陪集的个数---相等-------。7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的-----商权----。8、无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶数称为R的---特征--------。9、设群G中元素a的阶为m，如果ean，那么m与n存在整除关系为---mIn----。三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？2、S1，S2是A的子环，则S1∩S2也是子环。S1+S2也是子环吗？3、设有置换)1245)(1345(，6)456)(234(S。1．求和1；2．确定置换和1的奇偶性。群论前我们没有一般的方法，只能用枚举法。用笔在纸上画一下，用黑白两种珠子，分类进行计算：例如，全白只1种，四白一黑1种，三白二黑2种，„等等，可得总共8种。2、证由上题子环的充分必要条件，要证对任意a,b∈S1∩S2有a-b,ab∈S1∩S2：因为S1，S2是A的子环，故a-b,ab∈S1和a-b,ab∈S2，因而a-b,ab∈S1∩S2，所以S1∩S2是子环。S1+S2不一定是子环。在矩阵环中很容易找到反例：53、解：1．)56)(1243(，)16524(1；2．两个都是偶置换。四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、一个除环R只有两个理想就是零理想和单位理想。2、M为含幺半群，证明b=a-1的充分必要条件是aba=a和ab2a=e。1、证明：假定是R的一个理想而不是零理想，那么a0，由理想的定义11aa，因而R的任意元1bb这就是说=R，证毕。2、证必要性：将b代入即可得。充分性：利用结合律作以下运算：ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e，ba=(ab2a)ba=ab2(aba)=ab2a=e，近世代数模拟试题四一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1.设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积集合A×B中含有（d）个元素。A.2B.5C.7D.102.设A＝B＝R(实数集)，如果A到B的映射：x→x＋2，x∈R，则是从A到B的（c）A.满射而非单射B.单射而非满射C.一一映射D.既非单射也非满射3.设S3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3中可以与(123)交换的所有元素有（a）A.(1)，(123)，(132)B.(12)，(13)，(23)C.(1)，(123)D.S3中的所有元素4.设Z15是以15为模的剩余类加群，那么，Z15的子群共有（d）个。A.2B.4C.6D.85.下列集合关于所给的运算不作成环的是（b）A.整系数多项式全体Z［x］关于多项式的加法与乘法B.有理数域Q上的n级矩阵全体Mn(Q)关于矩阵的加法与乘法C.整数集Z关于数的加法和新给定的乘法“”：m，n∈Z，mn＝06D.整数集Z关于数的加法和新给定的乘法“