基于PASCO系统的混沌摆实验的研究

基于PASCO系统的混沌摆实验的研究韩晓茹1，傅筱莹1，彭可鑫1，向勇1，陈建育1，金立1(1.浙江理工大学,理学院,浙江杭州310018)摘要：基于PASCO系统研制了具备出现混沌现象的受周期外力驱动的混沌摆实验仪，调节实验混沌摆系统的参数而使系统演示出各种非线性动力学特征行为，完成无驱动情况，有驱动情况（固定电压、可变电压）下的系统相位图的描绘，并对初值敏感性、奇异性(奇异吸引子)现象作出结果分析。应用混沌摆的动力学方程，进行Matlab仿真实验，对比仿真状态下的图形，分析混沌现象的形成原理。实验结果表明：混沌实验摆系统动力学的性质依赖于振动频率值；系统驱动振幅必须大于一定阈值是混沌相出现的必要条件。关键词：混沌现象；PASCO系统；传感器；混沌摆；数值模拟中图分类号：O415.5文献标识码：AResearchoftheChaoticpendulumExperimentbasedonPASCOsystemHanXiao-ru1，FuXiao-ying1，PengKe-xin1，XiangYong1，ChenJian-yu1，JINLi1（FacultyofScience，ZhejiangSci-TechUniversity，Hangzhou，310018）Abstract:AdevelopmentofthechaoticpenduluminstrumentwhichcangivenchaosphenomenonandcanbedrivenbytheperiodicforcebasedonPASCOsystemwasfinished.Adjustingtheparametersofthechaoticpenduluminstrument，thesystemcandemonstratedifferentnonlineardynamicactions，andcompletedthedepictofphasediagramsunderthesituationssuchasnon-drivenforce,drivenforce(fixedvoltage、variablevoltage)，thenmaketheresultsanalysistothephenomenonsuchassensitivetoinitialvalue，singularity（singularattractor）.Usingthedynamicequationforthechaoticpendulum，carryingoutthesimulationexperimentbasedonMatlab，alsothefiguresunderthesimulationconditionarecompared，thenanalyzingtheformationprincipleofchaosphenomenon.Theresultindicatethattheproperitiesofthechaoticpendulumdynamicsystemaresensitivetothedrivenfrequency.Athresholdvalueofthedrivenamplitudeexistsfortheappearanceofchaosphase.Keywords:Chaosphenomenon;PASCOsystem;Sensor;Chaoticpendulum;numericalsimulation1引言混沌现象亦称“蝴蝶效应”[1-3]，这种现象普遍存在于物理学、化学、电子学、生物学和社会学等科学领域。近年来许多学者通过非线性电路对混沌行为进行基金项目：浙江省新世纪高等教育教学改革项目ZC2010020；物理实验省级示范中心SB1002001-E；校级教改项目EL1108作者简介：韩晓茹(1989—)女，山东龙口人，08应用物理专业学生。E-mail:[e-mail]通信作者：金立(1972—)男，浙江杭州人，硕士，高级实验师，主要研究方向为物理实验教学与仪器开发。Tel：[phone]；E-mail:[e-mail]了广泛地研究，其中最典型的是由美国Berkeley大学的LeonOChua提出的蔡氏电路(ChuasCircuit)，它是能产生混沌行为的最小、最简单的三阶自治电路[4]。但是，采用力学装置呈现混沌现象的实践在国内外则相对少见[5]。随着人们对系统复杂性的探索和研究的逐步深入，混沌现象已日益受到研究人员的关注。作为一种普遍存在的非线性现象，混沌的发现对科学的发展具有深远的影响。如果借助原理浅显、结构简单的实验装置来呈现混沌的特性，可以使人们较好地理解和掌握混沌的知识[6]。本文主要完成了基于PASCO系统的混沌摆实验仪的研制，利用PASCO系统高性能的传感器采集信号，在计算机科学工作室软件DataStudio上进行实验，成功地呈现了混沌的基本特征，并对该过程实现了Matlab数值模拟。2实验原理与方法2.1PASCO系统简介PASCO系统是采用传感器和数据采集接口，利用电脑进行控制和数据采集的物理实验系统，主要包括3个部分：（1）传感器。现有传感器60余种。如：力传感器、旋转移动传感器、压强传感器、光传感器等。（2）数据采集接口。将传感器的数据通过科学工作室输入计算机，最高采样频率为250kHz。（3）数据采集软件。包括240个预设的物理实验，可进行多种实验数据的显示形式和处理功能。2.2实验仪构建所需仪器主要由下面几部分组成：PASCO系统750接口、V300直流稳压电源、圆盘、机械震荡驱动器、转动传感器、偏心铜圆柱、120cm长钢杆（2根）、45cm长钢杆（1根）、底座（1个）、细线和弹簧。电源用于输出驱动电压，万用表可测量对应电压的实际值。该装置示意图如图1所示。使用科学工作室DataStudio程序：启动科学工作室，选择转动感器并连接到模拟通道A，选择旋转运动传感器并连接到数字通道1、2。利用转动传感器来记录驱动力的角频率和铝盘的旋转角频率。选取平滑函数“Smooth（n，x）”，设置图表中的横坐标为角度，单位是弧度，纵坐标为角速度，单位是弧度/秒。通过电机的驱动使曲柄连杆做周期性圆周运动引起圆盘在外力的作用下做混沌摆运动，转动传感器记录它的运动并传输到计算机进行处理，描绘出图像。2.3实验原理混沌摆的动力学方程[7])()2(sin00cccLLkrLkkrII（1）其中磁阻尼力矩用表示，线性弹簧的倔强系数为k，表示转轮的转角;0L是初始位置时弹簧的伸长,0cL,cL分别为初始时刻和t时刻外部策动振幅,022220cos2babaccLLLLAL（2）)cos(202222tLLLLALbaaacc（3）式中0为初始相角，为策动力的角速度，cA为策动振幅，aL和bL表示外部策动力与转轮的距离。为讨论动力学性质的方便，公式（1）可改写为如下的标准一阶微分方程形式：LkrIIkrIIc11212sin，（4）式中转轮的内外半径分别为Rr,，质量为M，转轮圆盘的转动惯量2/2MRI，cI为偏心铜圆柱的转动惯量，00LLLLcc，cA，和的初始值作为系统的可调节参数。为简单起见，对系统动力学性质没有影响的弹簧初始伸长和外部策动力的初位相分别取18/11,000L。由公式（4）可见，当无外部策动力（0L）和磁阻尼系数（0）时，该装置构成保守动力学系统。图1PASCO系统混沌摆实验仪实物图公式（4）可简化为1212sinIkrIIc，（5）系统没有出现混沌时，系统对初始值不敏感。当有外部策动力和阻尼存在时，该系统成为耗散动力学体系，表现出许多复杂的动力学性质,这些性质十分依赖于驱动振幅cA,振动频率和转动初始角等可调节实验参数。具备了产生混沌现象的基本条件[8]：1）方程右侧至少有1个非线性项；2）至少有3个变量。为方便理解混沌现象，对上述的动力学方程应用Matlab作了数值模拟，定义pi表示圆周率。当无外部策动力(0L)时，系统在不同的初始角度2/,4/,6/pipipi下的数值模拟图像如图2所示。由图可知，当系统没有出现混沌时，系统对初始值不敏感。外部策动力条件下，不同条件下的系统相图如图3所示。同理，在实验中通过改变参数出现的双周期、三周期的、多周期这些特殊的图像通过数值模拟也能实现，见图4所示。0,7,9.0cA3/,2,1piAc2/,12,1piAc图3不同条件下的系统相图6/pi4/pi2/pi图2无外部策动力时的系统相图3/,12,5.1piAc，双周期3/,2.7,7.1piAc，三周期3/,10,5.1piAc，四周期3/,7,2.1piAc，五周期图4不同条件下的特殊相图从数值模拟结果发现，系统动力学性质灵敏地依赖于驱动振幅Ac和振动频率。对于一个非线性系统，依次改变系统的参数，可以出现从无序向有序的转变，有序程度不断增加的转变，最后出现混沌。3PASCO系统混沌状态测试已测参数：转轮外半径mR048.0，内半径mr024.0，质量kgM1182.0，偏心铜圆柱质量kgm0145.0，mL048.0，弹簧倔强系数121.4.2mNkk，mLa05.0，mLb16.0。从混沌摆的相轨迹（PASCO仪器上呈现的相图）很容易判断是否为混沌运动，为方便比较混沌现象，特定几个特殊的初始相位，即。3.1无驱动情况改变摆角初始值，为40200，，。实验结果如图5所示。从相位图表现可知在无驱动时混沌摆作振幅衰减运动，当系统没有出现混沌时，系统对初始值不敏感。3.2有源驱动情况3.2.1固定驱动电压驱动一定（v2.5V）的情况下，改变摆角初始值分别为150135100，，。实验结果如图3所示。从相位图表现为混沌现象，并且各个初值对应的相位图差异很大。比较图6发现系统从双吸引子逐渐向单吸引子改变，当系统出现混沌时，系统对初始值很敏感。3.2.2可变驱动电压逐渐增大驱动电压，从而增加驱动频率下得到如图7所示的相位变化图。从实验结果可知，在一定范围内当混沌摆的驱动电压越大时驱动频率越大，系统的运动越趋于复杂。当驱动电压较小时，如1周期、2周期所示结果都是周期运动的相图。当驱动电压达到一定大小时就出现了混沌现象，如单吸引子与双吸引子所示结果就是混沌现象的相图。图5无驱动状态混沌现象1800v0，，V18020v0，，V18040v0，，V180150v2.5，，V0100v2.5，，V90135v2.5，，V180150v2.5，，V图6固定驱动状态混沌现象由单吸引子与双吸引子现象可知，当驱动频率达到一定值时系统从周期运动逐渐出现混沌现象。并且发现当角度初始值稍微改变时系统的运动情况却变化很大，可以出现混沌运动，也可以出现周期运动，这就是混沌系统的初值敏感性的基本特征。观察奇异吸引子相图，当相图存在吸引子现象时，吸引子首先由外向内绕若干圈，转到圆心附近时将随机跳跃，继续向内绕若干圈后再突然跳回原来的那个循环。对应于混沌摆的实际运动，则是铜圆柱时而做周期运动时而角度超过360度，有时可以一直不停旋转多圈，然后再作周期运动。尽管无法预料轨迹将在何时从一边跳到另一边，但是相轨道总不会超出边界，也绝不会自相重复。通过上述实验的手段，依次改变PASCO混沌摆系统的参数（驱动电压、驱动频率），系统由稳定有序逐渐失稳，开始分岔，系统由有序到无序。同时可以出现从无序向有序的转变，随着有序程度不断的增加，最后会观察到混沌现象，从而可得出结论，混沌是一种确定的系统中出现的貌似不规则的有序运动。4结语本文