密度矩阵重整化群及其在凝聚态物理中的应用

密度矩阵重整化群及其在凝聚态物理中的应用向涛中科院理论物理所一个多体相互作用系统在某个特定状态(例如基态)下的物理性质困难点：不可微扰凝聚态物理多体理论需要解决的问题是什么？用密度矩阵挑选所要保留的基矢用有限的几个基矢来近似表示一个无穷维空间中的一些状态密度矩阵重整化群系统的总自由度随粒子数呈指数增长:mN(m=2,3,…,N~1023)优化处理多粒子相互作用体系的一种数值重整化群方法S=1/2Heisenberg模型N1i1iiSSHTotaldegreesoffreedom:2N100121S0ii021S011021SzyxxyyxSSSS量子效应：Heisenberg相互作用:H2分子21SSJTripletJ41SingletJ43SSJ21能量三重态单态JParticleinaboxN1i1iii1iccccH01101.........10110110110H1Ncos2Ei1Nisin0N1i0所研究的矩阵的特点•维数高:mN•稀疏：90％或更多矩阵元为零•有一定的对称性（或守恒量〕：矩阵可分块对角化重整化群思想irrelevant,'Ad,Ad/W0W0标度变换：作用量A与A’具有相同的泛函形式(称之为可重整性)，这也是量子场论方法的基础重正化群：只是一个半群保留H4的p最小本征态1iiiSSH212SSH32R2L24SSHHH1nnRnLnn2SSHHH经典重整化群方法:按能量保留状态保留H2的p最小本征态经典重整化群方法失败的原因•边界误差太大•切断误差太大共p2个状态仅p个被保留•按能量取舍状态有可能丢掉了一些有用的状态而保留了一些无用的状态两个开边界子系统合在一起其衔接部分的状态与实际差的很远改进的重整化群方法•边界误差减小•切断误差减小2p个状态，保留p个密度矩阵重整化群系统环境Superblock按系统的约化密度矩阵的本征值保留状态HenvsyseTrenve,se,ssysHHHH约化密度矩阵esTre,se,senvsysee,'s*e,s's,ssyssss,sys0e,e2约化密度矩阵的本征值等于其对应的本征态|在基态上的投影振幅DMRG迭代过程系统和环境中各加进一个点并初始化或更新H=Hsys+Henv+Hsys,env用Lanczos或其它稀疏矩阵对角化方法对角化H求出基态波函数构造并对角化约化密度矩阵做基矢切断并求出变换矩阵UnpLanczos方法3b2a1b2H2b1a0b1H1b0a0H32221110MMM1M1M43332221110abbabbabbabbabbaH21210101021210100b4aaaa21aab4aaaa21aDMRG与其它方法比较10-1310-1010-710-4020406080100ErroroftheGroundStateEnergyNumberofStatesRetainedL=7050301Dfreefermions,halffillingMonteCarlo或其它近似方法误差~1%1D量子系统DMRG的误差远小于其它近似方法总自由度数：2L•零温，实空间：1992•热力学计算(TMRG)：经典系统1995，1D量子系统1996•高维空间：动量空间1995，分子第一性原理计算1998，待进一步发展•动力学关联函数计算：零温及1D有限温度1999•非平衡态(含时演化)问题：2001，待进一步发展•与MonteCarlo方法的结合：1999，有很大的发展空间密度矩阵重整化群方法发展的主要进展计算量•主要CPU时间用于矩阵的对角化•实际计算的矩阵的维数：104－106稀疏程度：10-30％•需要对角化的矩阵的个数：103－105•矩阵与矢量相乘的总次数：105－107•硬盘：10G－200G转移矩阵重整化群：有限温度DMRG方法2/NmaxNk2/Nk2/NHTrTTreZ转移矩阵空间L/HL/HHeee时间转移矩阵重整化群与DMRG的比较T=0DMRGTMRGTargetMatrixHamiltonianHSymmetricTransferMatrixTNon-symmetricTargetStateGroundstatemax|maxDensitymatrixSymmetricNon-symmetricLatticesizeFiniteInfinity(Finitetimeslices)S=1/2Heiserberg模型的磁化率00.040.080.120.160.010.11cTln(T/J)cc011/2lnT/T0)]c01/2,T0~7.7m=8001200.51DDlog10(zz)T/Jzz-1=T[2-1/ln(T0/T)]T0=2m=80S=1/2Heiserberg模型的关联长度二维密度矩阵重整化群方法核心问题：2D格子如何向1D格子映射？BHGIDF多链方法2D方法Condmat/0102200-0.4-0.38-0.36-0.3400.10.20.30.4GroundStateEnergy1/L-0.26-0.24-0.22-0.2-0.1800.10.20.3GroundStateEnergy1/LY=M0+M1*x+...M8*x8+M9*x9-0.18144M0-0.12382M1-0.39072M20.34025M31RHeisenberg模型的基态性质SquareLatticeTriangleLatticeSquareTriangleDMRG-0.3346-0.1814MC-0.334719-0.1819SW-0.33475-0.1822小结•密度矩阵重整化群是目前研究一维量子多体系统最为精确的数值计算方法•但在研究高维或非平衡态系统的物理性质方面还有许多需要解决的数学问题