寸金学院2011-2012期末考试线性代数试题

第1页共7页广东海洋大学寸金学院2011—2012学年第一学期《线性代数》课程考试试卷命题教师：陈增雄考试班级：10级会计、财管、公管、国贸、工商、市营、旅游等本科■考试□A卷■闭卷□考查■B卷□开卷题号一二三四五六七八九十总分阅卷教师各题分数20244610100实得分数一、单项选择题：（共20分，每题4分）1、行列式01110212kk充分必要条件是()（A）2k；（B）2k或3k；（C）3k；（D）2k且3k.2、已知,AB是同阶方阵，下列等式中不正确的是（）（A）()kkkABAB；（B）TTTABAB)(；（C）111)(ABAB；（D）BAAB.3、设A为n阶可逆矩阵，A是A的伴随矩阵,则A=（）（A）A；（B）1A；（C）1nA；（D）nA4、设A是n阶方阵，且A=0，则()(A)A的秩为零；(B)A的列秩为零；(C)A中必有一列向量是其余各列向量的线性组合；(D)A中任意一列向量是其余各列向量的线性组合.5、设A是mn矩阵，齐次线性方程组0Ax有非零解的充要条件是()（A）()rAn；（B）nAr)(；（C）0A；（D）mAr)(实得分数班级：姓名：学号：试题共4页加白纸2张密封线第2页共7页二、填空题：（共24分，每题3分）1、排列435126的逆序数是；2、设A是三阶方阵，且2A，则A2=；3、行列式232341231的元素323a的余子式23M；4、若n阶矩阵A可逆，则A的标准形是；5、设)3,3,3(),3,3,1(，则=；6、设,12470131aA若,2)(Ar则a；7、线性方程组BAX有解的充分必要条件是；8、若n元齐次线性方程组0AX的系数矩阵A的秩rAr)(，则其基础解系包含解向量的个数是；三、计算题：（共46分）1、(本题满分10分)计算：3111131111311113实得分数实得分数第3页共7页2、（本题满分12分）求矩阵400031013A的特征值和特征向量3、（本题分12分）已知向量组：)1,3,1,1(1a、)3,1,1,1(2a、)9,8,2,5(3a、)7,1,3,1(4a。(1)求向量组的秩；(2)求向量组的一个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表示。第4页共7页4、（本题满分12分）设线性方程组axxxxxxxxxxx43214324321512222（1）讨论a为何值时，方程组无解？有解？（2）方程组有解时，求出它的全部解。四、证明题：（共10分）设向量组321,,线性无关，证明向量组122,2323,313线性无关．实得分数第5页共7页广东海洋大学寸金学院2011—2012学年第一学期《线性代数》课程考试试卷答案命题教师：陈增雄考试班级：10级会计、财管、公管、国贸、工商、市营、旅游等本科■考试□A卷■闭卷□考查■B卷□开卷题号一二三四五六七八九十总分阅卷教师各题分数20244610100实得分数一、单项选择题：（共20分，每题4分）1、D；2、A；3、C；4、C；5、B；二、填空题：（共24分，每题3分）1、7；2、16；3、-3；4、nI；5、（2,0,0）；6、2；7、)()(ArAr；8、rn三、计算题：（共46分）1、(本题满分10分)解：311113111131666631111311113111134321rrrr31111311113111116（5分）4820000200002011116141312rrrrrr（5分）实得分数实得分数实得分数班级：姓名：学号：试题共页加白纸张密封线第6页共7页2、（本题满分12分）解：矩阵A的特征方程为0)4)(2(4000310132AI得A的特征值为1232,4（4分）当21时，解齐次线性方程组0)2(xAI，得它的基础解系是T)0,1,1(1所以A对应于特征值21的全部特征向量是)0()0,1,1(1111cccT。（4分）当41时，解齐次线性方程组0)4(xAI得它的基础解系是TT)1,0,0(,)0,1,1(32，所以A对应于特征值432的全部特征向量为：3322cc（32,cc不同为零）。（4分）3、（本题分12分）解：对矩阵),,,(4321TTTTaaaaA施以初等行变换：A793118133211151181440472047201511000000004720151100000000210151127000000002101012723（6分）（1）向量组的秩：2)(Ar（2分）（2）向量组的一个极大无关组为21,aa且2271233aaa；2142aaa（4分）4、（本题满分12分）解：)(bA=a51111111022221233301111022221a第7页共7页100001111022221a（4分）（1）当01a，即1a时，3)(2)(bArAr，方程组无解；当01a，即1a时，42)()(ArbAr方程组有无穷多解。（2分）（2）当1a时)(bA000001111022221000001111004001得同解线性方程组4324114xxxxx及同解的导出组432414xxxxx（2分）令自由未知量0043xx，得方程组的一个解T)0,0,1,0(令自由未知量10,0143xx，得导出组的基础解系：TT)1,0,1,4(;)0,1,1,0(21（2分）故方程组的全部解为：2211ccx（21,cc为任意常数）（2分）四、证明题：（共10分）证：设有一组数321,,kkk使0)3()32()2(133322211kkk（2分）整理得：0)33()22()(332221131kkkkkk(3分)由于321,,线性无关，所以0330220322131kkkkkk，解得0,0,0321kkk（3分）故向量组1332213,32,2线性无关.（2分）实得分数