对“搭火柴棒”引发的数学探究活动的回顾与思考

1对“搭火柴棒”引发的数学探究活动的回顾与思考新昌县城关中学陈玉麟【摘要】新课程标准明确指出：“学生的数学学习活动应当是一个生动活泼的,主动的和富有个性的过程.”在新课程数学学习中,要培养学生积极动脑、动口、动手,去发现问题,提出问题,在解决问题的过程中,善于仔细观察,积极探索,深入思考,乐于质疑问难，大胆发表自己的见解，不人云亦云，敢于另辟蹊径，不断创新.本文由火柴棒搭接成三角形，四边形的实践操作引发出数学探究活动，从感性到理性，从特殊到一般，从正向到逆向，由浅入深，让学生欣赏数之美，形之美，数学思想之美，数学方法之美，在轻松愉悦的环境中获取知识.【关键词】搭火柴棒数学探究活动回顾思考数学美学习数学，不仅要获得数学知识，而且要重视获取这些数学知识的过程.数学之所以能赋予人创造性，就因为数学探研充满无穷的魅力.引导学生亲身经历数学的探研活动，能最大限度地激发学生的兴趣，拓展学生的思维，尽情享受数学思想之美和数学方法之美.并在美的享受中，学会观察、发现、分析、归纳、综合、推理等探索数学规律的基本方法.而学生的学习活动，是一个自主学习的过程，也是一个科学探究的过程.教师的重要任务，就是为学生主动地探究学习创设情景和条件.一、回顾：由学生“小动作”引起的数学探究活动浙教版八年级数学上册教材中，有一道用火柴棒搭三角形的课内练习题：“在平面内，分别用3根，5根，6根火柴棒首未顺次相接搭三角形，多少根火柴棒能搭成等腰三角形？等边三角形呢？通过尝试，完成下面的表格.7根火柴棒呢？8根呢？9根呢？你发现了什么规律？”火柴根数356789示意图形状等边三角形等腰三角形课堂上，学生的探索活动非常活跃，通过尝试，大部份学生发现了“当火柴数为3的倍数时，可以组成等边三角形，否则只能组成等腰三角形”的规律.想不到第二天课堂上还有学生做起了“小动作”——在课桌上摆弄火柴棒拼图，2教师并没有贸然批评学生，而是抓住学生乐于动手实践的契机，鼓励学生在课外收集有关搭火柴棒中的数学问题，专门组织学生进行一次数形整合的实践探究活动.在这次数学探究活动中，师生共同努力，通过火柴棒搭接的实践操作，并运用方程，不等式（组）与三角形，四边形知识对其中规律进行理论推导，在拼图的实践中，学生认识了数学之美，同时，还激发了学习解决同类问题的基本方法的欲望.在探索基本方法的过程中，师生意外地发现了“火柴棒搭等腰三角形”的一个规律：设n根火柴棒搭成的等腰三角形个数为M,则有M=)4(44)14(41)24(42)34(41tnntnntnntnn（为正整数t）而后，运用这个规律可比较方便地解决一些难度较高的数学问题.在此基础上，又拓展到四边形搭接等问题中，进一步培养了学生数学探究的兴趣和能力.这次数学探究过程如下：（一）引例在平面内，用12根火柴首尾相接，围成一个三角形.（1）若围成一个等腰三角形，则腰长需要多少根火柴？（2）能否围成一个直角三角形，若能，则围成的三角形的面积是多少？（设每根火柴的长度为1个单位）若不能，请说明理由.解：（1）设腰长为x根，底长为y根.则xyyx20122，xx22120，63x.∵x是整数,∴x=4，5,即围成的等腰三角形的腰长需4根或5根火柴.(2)能.不妨设三角形的三边为cba.∵acba312∴4a3,2,1a，a为正整数.∵ccba312∴4c又∵abcab∴6,12ccc.3∴64c,∵c为正整数，∴5c,而符合222cba的只有5,4,3cba,∴此三角形的面积=64321.注：也可由9,4,1))((bcbc，及bcbcbcbc和,同奇偶得19bcbc，从而解之.在教学中,要善于挖掘学生的新见解,捕捉学生思维的亮点,让学生的思维在纵横方向都得到较好的发挥.结合教材中的“火柴棒搭三角形”问题，教师及时提出，如果动手拼一拼，可能更加直观、有趣.（二）操作在平面内，用12根火柴首尾相接，围成一个三角形.动手拼一拼，最多能围成多少个不同的三角形？组织学生动手的目的，是让学生在主动学习过程中发现问题.通过实践操作，培养学生动手能力，激发学生学习兴趣，借助数形结合，分类讨论，寻找解决问题的办法.在操作中，学生发现，这12根火柴棒最多只能围成3个不同的三角形：引导学生分析其中的原因：我们不妨设三角形的三边为cba，则acba312，4a.那么，可以分四种情况：1a2a3a4a故最多能围成3个不同的三角形.这是三个最常见的等腰三角形、直角三角形、等边三角形，具有简洁美，对称美.如果不动手实践，是体会不到这种美感的.然而有学生问：如果这个问题中，减少或增加火柴棒的数量，比如，用16根火柴首尾相接，20根火柴首尾相接，结果应该是怎样呢？于是，师生基于上述操作，探索解决一般问题的办法，从中寻找规律性的东西.325544544无3255445444（三）探索在动手搭接过程中学生已经认识到，12根火柴棒搭成首尾相接的三角形，实际上是边长为整数,周长为12的三角形，则n根火柴棒搭成首尾相接的三角形，也就是边长为整数周长为n的三角形,我们的探索就从下面的问题开始.各边长为整数，周长为n的不同等腰三角形有多少个？设搭成的等腰三角形个数为M，我们分周长为奇数和偶数两种情况分别讨论：（1）当n=2k-1(k为正整数)时，k12345678…n=2k-113579111315…M01122334…规律1：M=)(2)(21为偶数为奇数kkkk.（2）当n=2k(k为正整数)时，k12345678…n=2k246810121416…M00112233…规律2：M=)(22)(21为偶数为奇数kkkk，合并规律1和规律2，并把k转换成n，综合得：M=)4(44)14(41)24(42)34(41tnntnntnntnn（为正整数t）这是一个意外的发现.我们可以把它应用于同类的数学问题.（四）应用运用上述探究方法和结果，我们可以比较方便地解决一些难度较高的数学问题：1．周长为2008，各边长为整数的不同等腰三角形有多少个？∵2008=4×502，∴M=50144200844n（个）52．当搭成的各边长为整数的不同等腰三角形有501个时，周长n的最小值是多少？最大值是多少？当M=501时，50141n，∴,2003n同理可得2008,2006,2005n.∴n的最小值是2003，最大值是2008.应用训练：1．一个四边形各边长都是整数，且它的任意三条边都不能构成三角形，求这个四边形周长的最小值.2．用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为多少？运用上述规律来解决三角形的搭接问题，是十分方便的.我们将三角形的搭接横向拓展，探讨四边形的搭接问题.（五）拓展如图搭一个正方形需四根火柴棒，那么搭n个这样的正方形需要多少根火柴棒？我们设计了这样一组提问：（1）按照图中方式搭2个正方形需几根火柴棒？（2）搭3个这样的正方形需多少根火柴棒？（3）搭100个正方形需要多少根火柴棒？(4)搭n个这样的正方形需多少根火柴棒？你是怎样得到的？（5）根据你的计算方法，搭2008个这样的正方形需要多少根火柴棒？第（1）（2）问的解答较容易，可以直观地数出来，但从（3）问开始就不能简单地数而是要寻找搭出的正方形个数与火柴棒的根数之间蕴含的关系式，实质就是题中所问的结果，并在观察、类比、猜测、归纳、验证过程中得出一个正确的答案,由学生小组合作完成.尝试1：在搭建的过程中我们发现搭一个正方形需4根火柴棒，之后每增加一个正方形就相应需增加3根火柴棒，因此，n-1个正方形需增加3（n-1）根火柴棒，列式得4+3（n-1），即搭n个正方形需（3n+1）根火柴棒.尝试2：因为搭1个正方形需4根火柴棒，本来搭两个正方形需8根，但根据搭6建方式我们知道每两个连续的正方形就有一根火柴棒是重复的，依此类推，搭n个正方形就有（n-1）根火柴棒重合，那么搭n个正方形需4n-（n-1）根火柴棒，即（3n+1）根火柴棒.尝试3：因为搭1个正方形需4根火柴棒，其中横2根，竖2根，搭2个正方形需横4根，竖3根，搭n个正方形需横2n根,竖(n+1)根,共2n+（n+1)=3n+1根火柴棒.这样，通过学生大胆的尝试，归纳得出多种不同的方法表示搭n个正方形的代数式，效果很好，从这一点说明，学生的潜力是可以挖掘的，关键的问题是看我们教师如何去开发.在此基础上，进一步设置问题：现有a根长度相同的火柴棒，按如图1摆放时可摆成m个正方形，按如图2摆放时可摆成2n个正方形.图3图1....................................图2(1)用含n的代数式表示m；(2)当这a根火柴棒还能摆成如图3所示的形状时，求a的最小值.简解:(1)图1中,a=3m+1,图2中,a=5n+2,∴3m+1=5n+2,m=5n+13.(2)设图3中有3p个正方形,那么火柴棒总数为(7p+3)根.a=3m+1=5n+2=7p+3,∴p=3m-27=5n-17,∵m,n,p均为正整数,∴m=17,n=10,p=7.此时,a的值最小,a=3×17+1=5×10+2=7×7+3=52.这次数学探究活动，经实践操作，从感性到理性，向纵深探索，获得了意外的发现，并注意了成果的应用和拓展，让学生领略了数学之美，促成了学生数学品质的发展.7二、思考：教师的重要任务，是为学生主动探究和自主发展创造条件这次因学生的“小插曲”引起的数学探究活动取得了成功，它促使我们对新课程理念指导下的数学教学组织工作进行深入的思考.新课标理念下的数学教学，是师生之间、学生之间交流互动与共同发展的过程;是一个实验、探索的过程;是体验从实际问题中抽象出数学问题、建立数学模型，综合应用已有知识解决问题的过程.这就要求教师必须具备新课程实施所需的技能，能够设计实施最佳数学活动方案.对所要探究课题按新课程全面准确地加以理解，对学生思想、学习能力状况做出科学分析，特别是了解和发现其创造潜能并加以发掘，为学生主动探究和自主发展创造条件.教师必须更多地关注如下几个方面：（一）创设数学学习情境根据学习内容、学生特点、教师个体优势以及教学设备资源的不同，可从生活角度、动手角度、教学前后内在联系角度，创设课堂情境，通过形象的语言描述，借助文字、图表、模型、现代信息技术、演示实验等多种方式，设置疑难，激发学生的学习情趣，创设宽松的教学环境，采取丰富多样的教学形式，增进学生的探究动机和欲望，正所谓：“云无定姿姿万态，教无定法法自在.”数学是现实的,学生从现实生活中学习数学,再把数学应用到现实中去,让学生感觉数学就在自己身边，学习有用的数学，体会有趣的数学，欣赏美妙的数学.（二）重视数学探索过程在数学活动的探索过程中，教师是学生数学活动的组织者、引导者和合作者.教师既要善于鼓励学生积极思考问题和敢于提出问题，又要因材施教，及时给予指导.从创新层面看，探索性教学不仅需要师生具有较强的观察力、理解力、想象力和机敏性，而且有赖于他们创造性思维能力的充分展示，探究的过程是知识量扩大的过程，是各种思维不断完善的过程，也是科学态度、科学方法逐步养成的过程，教师应指导学生运用多种思维方式对问题进行分析、解释和假设；指导学生在解决问题的过程中掌握各种探索技能和方法，苏霍姆林斯基说过，孩子的智慧来源灵巧的指尖，应让学生多实践，多动手操作，从而激发探究的兴趣和热忱，培养合作精神，相互启发，共同提高，探索过程中学生发现的规律可能不一样，教师应鼓励引导学生进行发散性和创造性思维.探究性既体现在逻辑思维方面，又体现在数学实验方面，把二者有机地结合起来，就会找到解决问题的钥匙，最好的教学是最适合学生发展的教学.8（三）体现数学学习层次尊重学生的个体差异，满足不同的学习需要，学生