对一道数学高考题的探究

对一道数学高考题的探究文/肖建华一、原题再现(2009年高考湖北卷数学理科第20题)过抛物线22(0)ypxp对称轴上一点(,0)Aa(0)a的直线与抛物线相交于M、N两点，自M、N分别向直线:lxa作垂线，垂足分别为1M、1N.(Ⅰ)当2pa时，求证：11AMAN.二、证题分析当2pa时，点A即为抛物线22(0)ypxp的焦点，直线:lxa为抛物线22(0)ypxp的准线.设211(,)2yMyp、222(,)2yNyp，则11(,)2pMy、12(,)2pNy.要证明11AMAN，只需证明110AMAN，即证明12(,)(,)0pypy，故只需证明2120yyp，或者证明112MAN.三、题根追溯1.(人教版第二册上第119页习题7)过抛物线22(0)ypxp的焦点的一条直线和此抛物线相交，两个交点的纵坐标分别为1y、2y，求证：212yyp.2.(新课标选修2-1第70页例5)过抛物线焦点F的直线交抛物线于A、B两点，通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D.求证：直线DB平行于抛物线的对称轴.该题虽然没有要求证明212yyp，但是要证明直线DB平行于抛物线的对称轴，也就是证明D、B两点的纵坐标相同.因为D、O、A三点共线，于是可用A点的纵坐标表示D点的纵坐标，从而得出A、B纵坐标的关系.四、一题八证(证法一)设11(,)Mxy、22(,)Nxy，则11(,)2pMy、12(,)2pNy，于是有11(,)AMpy，12(,)ANpy.显然直线ＭＮ的斜率不为０，于是可设直线ＭＮ的方程为2pxty.由222pxtyypx，得2220yptyp.xl1N1MOMNAy因为1y、2y是方程2220yptyp的两个根，由韦达定理可得212yyp，所以有2111212(,)(,)0AMANpypypyy，即11AMAN.(证法二)设211(,)2yMyp、222(,)2yMyp.因为M、A、N三点共线，所以//AMAN.所以221221()()02222yyppyypp，整理得212yyp.从而有2111212(,)(,)0AMANpypypyy，即11AMAN.(证法三)由抛物线的定义可得11MNMAANMMNN.设211(,)2yMyp、222(,)2yMyp，则11(,)2pMy、12(,)2pNy.将MNMAAN代入坐标，得222222212121()()2222yyyyyyppppp.整理得2212()0yyp，于是有212yyp.从而有2111212(,)(,)0AMANpypypyy，即11AMAN.(证法四)设A点内分MN的比为，于是有221212221201yypppyy.消去得212yyp.从而有2111212(,)(,)0AMANpypypyy，即11AMAN.(证法五)由新课标选修2-1第70页例5可知1M、M的纵坐标相同.由N、O、1M三点共线，得212pyy，即212yyp.从而有2111212(,)(,)0AMANpypypyy，即11AMAN.(证法六)设抛物线的参数方程为222xptypt(t为参数)，于是可设211(2,2)Mptpt，222(2,2)Nptpt.因为M、N为两个不同的点，所以12tt.由M、A、N三点共线，可知//AMAN，于是有221212()(4)0ttpttp.整理得221240pttp，即1214tt.所以22121212224yyptptpttp.从而有2111212(,)(,)0AMANpypypyy，即11AMAN.(证法七)以抛物线的焦点为极点，则其极坐标方程为1cosp，于是可知(,)M、(,)N.所以212sin(sin)1cos1cosppyyp.从而有2111212(,)(,)0AMANpypypyy，即11AMAN.(证法八)由抛物线的定义可得1MMMA，1NNNA，于是有11MMAMAM，11NNANAN.因为11//MMNN，所以11MMANNA，即11(2)()MAMNAN.于是得112MAMNAN.所以112MAN，即11AMAN.五、证后反思根据上述题目的证明过程，我们可以得出如下结论：若过抛物线22(0)ypxp的焦点F的直线与此抛物线相交于A、B两点，过A、B两点分别向抛物线的准线引垂线，垂足分别为1A、1B，则11AFBF(等价于A、B两点的纵坐标之积为2p).根据上述结论，我们猜想：椭圆和双曲线是否也具有上述类似的性质呢？现以椭圆为例，说明上述性质是抛物线特有的性质.若过椭圆22221(0)xyabab的焦点F的直线与该椭圆相交于A、B两点，过A、B两点分别向椭圆的焦点F的相应准线引垂线，垂足分别为1A、1B.因为直线AB的斜率不能为0，所以可设直线的方程为xtyc.由22221xtycxyab，得222224()20btaybctyb.①若设11(,)Axy，22(,)Bxy，则有211(,)aAyc，212(,)aByc.若11FAFB，则有4111220bFAFByyc.整理得4122byyc.由方程①得412222byybta，于是有442222bbbtac，解得21t.故不存在这样的直线，使得11FAFB.若F为椭圆的左焦点，我们同样可以证明直线不存在.另外，双曲线也不具有上述类似的性质.所以，上述性质是抛物线特有的性质.小结本文通过对一道高考题的初步探究，通过“题根追溯”“一题八证”和“证后反思”，我们发现很多高考题都是“源于课本，高于课本”.在高考复习和平时学习过程中，同学们必须重视课本，既要重视习题，又要重视内容.同时，同学们要从多个角度思考问题，要重视数学思想和方法，解题后要善于总结，这样就可以放弃题海、减轻负担，从而取得理想的成绩.